..雙縫干涉條紋間距公式的推導雙縫干涉條紋間距公式的推導O·O··xy如圖建立直角坐標系,其x軸上橫坐標為的點與的點為兩波源。這兩個波源的振動情況完全相同,則這兩個波源發生干涉時的加強區為到兩個波源的距離差為波長整數倍〔零除外的雙曲線簇。其中、為所有雙曲線的公共焦點。這個雙曲線簇的方程為：O·O··xy用直線去截這簇雙曲線,直線與雙曲線的交點為加強的點。將代入雙曲線簇的方程,有：解得：上式中,d的數量級為,為。故,x的表達式簡化為：其中的數量級為,d的數量級為。故,x的表達式簡化為：可見,交點橫坐標成一等差數列,公差為,這說明：〔1條紋是等間距的；〔2相鄰兩條紋的間距為。至此,證明了條紋間距公式：。楊氏雙縫干涉條紋間距到底是不是相等的？海軍航空工程學院李磊梁吉峰選自《物理教師》20XX第11期在楊氏雙縫干涉實驗中,在現行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋〔或者暗紋中心間距為：Δx＝Lλ/d,其中L為雙縫與屏的間距,d為雙縫間距,對單色光而言,其波長λ為定值,所以我們得出的結論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋,但是在現行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此,如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的,但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問題到底出在哪里呢？首先我們來看現行的教科書上對于楊氏雙縫干涉的解釋,如圖2。設定雙縫S1、S2的間距為d,雙縫所在平面與光屏P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L,我們在屏上任取一點P1,設定點P1與雙縫S1、S2的距離分別為r1和r2,O為雙縫S1、S2的中點,雙縫S1、S2的連線的中垂線與屏的交點為P0,設P1與P0的距離為x,為了獲得明顯的干涉條紋,在通常情況下L>>d,在這種情況下由雙縫S1、S2發出的光到達屏上P1點的光程差Δr為S2M＝r2－r1≈dsinθ,〔1其中θ也是OP0與OP1所成的角。因為d<<L,θ很小,所以sinθ≈tanθ＝EQ\F<x,L>〔2因此Δr≈dsinθ≈dEQ\F<x,L>當Δr≈dEQ\F<x,L>＝±kλ時,屏上表現為明條紋,其中k＝0,1,2,……,〔3當Δr≈dEQ\F<x,L>＝±〔k＋EQ\F<1,2>λ時,屏上表現為暗條紋,其中是k＝0,1,2,……。〔3′我們繼續算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。當x＝±kEQ\F<L,d>λ時,屏上表現為明條紋,其中k＝0,1,2,…。〔4當x＝±〔k＋EQ\F<1,2>EQ\F<L,d>λ時,屏上表現為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。〔4′我們還可以算出相鄰明條紋〔或者暗條紋中心問的距離為Δx＝xk＋1－xk＝EQ\F<L,d>λ。〔5至此我們得出結論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問題就在于以上的推導過程中,我們用過兩次近似,第1次是在運用公式Δr＝r2－r1≈dsinθ的時候,此式近似成立的條件是∠S1P1S2很小,因此有S1M⊥S2P1,S1M⊥OP1,因此∠P0OP1＝∠S2S1M,如果要保證∠S1P1S2很小,只要滿足d<<L即可,因此Δr≈dsinθ是滿足的。第2次近似是因為d<<L,θ很小,所以sinθ≈tanθ。下面我們通過表1來比較sinθ與tanθ的數值。表1θ1°2°3°4°5°6°7°sinθ0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tanθ0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784θ8°9°10°11°sinθ0.1391730.1564340.1736480.190808tanθ0.1405400.1583840.1763260.194380從表1中我們可以看出當θ＝6°時,EQ\F<tanθ－sinθ,sinθ>≈0.6%。因此當θ≥6°時,相對誤差就超過了0.6%,因此我們通常說sinθ＝tanθ成立的條件是θ≤5°,當θ＞5°時,sinθ≈tanθ就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實驗中,θ很小所對應的條件應該是x<<L,這應該對應于光屏上靠近P0的點,在此種情況下上述的推導過程是成立的,干涉條紋是等間距的。而當x較大時,也就是光屏上離P0較遠的點所對應的θ角也較大,當θ＞5°時,sinθ≈tanθ就不再成立,上述推導過程也就不完全成立了,〔2式就不能再用了。此時sinθ＝所以,Δr≈dsinθ＝＝±kλ,屏上表現為明條紋,其中k＝0,1,2,…,Δr≈dsinθ＝＝±〔k＋EQ\F<1,2>λ,屏上表現為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x＝±,屏上表現為明條紋,其中k＝0,1,2,…,x＝±,屏上表現為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。則相鄰的明條紋中心問距為Δx明＝xk＋1明一xk明＝－鄰暗條紋中心間距為Δx暗＝xk＋1暗一xk暗＝－由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了,這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。下面我們通過一個實例來定量計算等間距條紋的條數。例1：用氦氖激光器〔頻率為4.74×1014Hz的紅光照射間距為2mm的雙縫時,試求我們能觀察到的等間距的條紋的條數。解：因為Δr＝dsin