第二章波函數和

薛定諤方程§2.1波函數的統計解釋§2.2態疊加原理§2.3薛定諤方程§2.4粒子流密度和粒子數守恒定律§2.5定態薛定諤方程§2.6一維無限深方勢阱§2.7線性諧振子§2.8勢壘貫穿微觀粒子的特性是波粒二象性，經典物理無法描述。量子力學引入幾個假設，微觀粒子是物質波，用波函數完全描述波函數滿足波動方程-薛定諤方程幾個問題：

如何體現波粒二象性的？

是怎樣描述粒子的狀態呢？§2.1波函數的統計解釋（一）波函數（二）波函數的解釋（三）波函數的性質如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：回憶：自由粒子的波函數一、波函數微觀粒子的波本質是什么？1、歷史上兩種錯誤的看法（1）.波由粒子組成來源：如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布矛盾：單電子衍射實驗。電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。根源：波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面。電子源感光屏PPOQQO佐證：正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象。（2）.粒子由波組成電子是波包。即認為描述粒子的波是由無限多波長不同的平面波迭加而成的波包。來源：孤波。矛盾：波包經過一段時間就會散開。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是粒子也不是波”，既不是經典的粒子也不是經典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一”

這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。二、波粒二象性經典概念粒子

1.有一定質量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度經典概念波

1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化2．干涉、衍射現象，即相干疊加性。電子源感光屏QQOPP再看一下電子的衍射實驗1.

強電子束，屏上迅速顯示出衍射圖樣2.

弱電子束(電子一個一個電子射向雙縫)屏上就出現了一個個亮點,表明電子是作為完整的顆粒一個一個地到達屏上的3.

弱電子束作長時間曝光屏上出現和強電子束相同的衍射圖樣電子的波動性電子的粒子性電子的波粒二象性現代的觀點：電子、電磁波等在運動傳播過程中，表現出波動性，有干涉、衍射特性。當和物質發生相互作用時，表現出粒子性。電子衍射實驗的理解：單個電子以場的形式運動，在空間各個位置出現有一定概率——波動性；而一旦出現在某個位置就是整個電子——粒子性三、波函數的幾率解釋描寫粒子的波是概率波。波函數在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例。不同于經典物理，量子力學中，微觀粒子的物理量沒有確定的值，而是有多個可能值，每個值有一定的出現概率。波函數給出每個物理量的可能值及其概率。1926年，Born

提出的波函數的幾率解釋，它是量子力學的基本原理。微觀粒子的波是一種物質波它以波的形式在空間傳播，表現出波的特性，如干涉、衍射等；和其他物質相互作用時，表現出一份一份的，即量子性，或粒子性。波函數形式上是波，具有相干疊加性，可以表現出相干性；給出空間位置和其他物理量出現的概率（一旦到那里，就以粒子形式出現在那里），表示出粒子性。在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內，找到粒子的概率是：

2.概率密度：單位體積內找到粒子的幾率3.歸一性：粒子在全空間出現的概率為1-平方可積1.概率：波函數的模方表示粒子出現在空間的相對概率。4.歸一化因子：概率的相對強度有意義，所以，可以給波函數乘上任意常數C，不改變基本性質：Ψ和Φ描述同一態。Ψ是歸一化的波函數，用Φ描寫：歸一化因子5.相因子：歸一化后的波函數，也可以乘上任意相因子：相因子6.某些波函數不是平方可積的，如自由粒子波函數作業補充題§2.2態疊加原理一、態疊加原理二、動量空間（表象）的波函數一、態疊加原理微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態，稱波函數為狀態波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態疊加原理。PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度相干項：正是由于相干項的出現，才產生了衍射花紋。例：電子雙縫衍射一個電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態，它們的線性疊加也是一種可能狀態空間找到電子的幾率則是：粒子各種可能態構成空間-Hilbert空間，每個態標記為：態疊加原理：這是態空間中的一個矢量若是體系的一系列可能的狀態，則這些態的線性疊加(其中C1,C2,...,Cn,...為復常數)。 也是體系的一個可能狀態。處于Ψ態的體系，部分的處于Ψ1態，部分的處于Ψ2態...，部分的處于Ψn，...，相應的概率分別為：態疊加原理一般表述：例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p

運動。具有確定動量的運動狀態用de

Broglie平面波表示根據疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。dΨΨp若動量是連續變化的，求和變成積分：任意的波函數Ψ(r,t)可看做各種不同動量的平面波的疊加：二、動量空間（表象）的波函數其中，動量為p的平面波：它出現的概率：系數C(p)：總結：Ψ和c互為傅里葉變換它們是波函數的兩種不同描述方式-坐標表象和動量表象。Ψ是坐標空間波函數；c是動量空間（表象）波函數。兩種表象的意義：t時刻，粒子出現在r處的概率密度為；具有動量p的概率密度為。一維情況：經典力學物體運動狀態用位置、動量等力學量描述。運動狀態隨時間變化規律由牛頓方程描述。若知道力學體系的初始條件，利用牛頓方程即可求出體系在任何時刻的運動狀態量子力學量子體系的運動狀態由波函數(r,t)決定。波函數隨時間變化滿足什么樣方程？若知道量子體系的初始狀態，通過波函數隨時間變化規律就可預測出量子體系在任何時刻的狀態§2.3Schrodinger方程在德布羅意提出粒子波動性后，德拜指出，既然是波，就應該有個波動方程。1926年，薛定諤提出這樣一個方程。注意，量子力學中的基本方程實際上是個公設，它既不能由其它理論導出，更不能由經典概念給出，基本方程的正確如否只能由它導出的結論和實驗是否符合來檢驗。一、自由粒子滿足的方程對坐標二次微商，得：自由粒子波函數:對

t微商，得：上面的推導過程意味著

能量、動量和微分算符有對應關系：自由粒子有關系：該方程稱為Schrodinger方程，也稱為波動方程。若粒子處于勢場V(r)

中運動，則能動量關系為：二、勢場V(r)中運動的粒子三、多粒子體系的Schrodinger方程設體系由N個粒子組成，質量和坐標分別為：體系的總勢能包括單個粒子在外場中的勢能，粒子間相互作用勢能：（一）定域幾率守恒（二）再論波函數的性質§2.4粒子流密度和粒子數守恒定律在經典物理中有各種各樣的守恒定律，如：電荷、質量等守恒定律，類似定律也存在于量子力學中。在討論了狀態或波函數隨時間變化的規律后，我們可以導出這些定律。在討論了波函數隨時間變化的規律后，我們進一步討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在t時刻r點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：一、概率（粒子數）守恒考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數保持不變-概率（粒子數）守恒取共軛考慮Schrodinger方程及其共軛式：定義概率流密度：概率（粒子數）守恒的微分形式，與流體力學中連續性方程的形式相同分量形式：練習：求自由粒子波函數的概率流密度1.一維情況2.三維情況可以求出各個分量：實際上：在空間閉區域τ中將上式積分，則有：閉區域V上找到粒子的總概率在單位時間內的增量概率（粒子數）守恒的積分表示式：令V趨于∞，真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零：使用Gauss定理單位時間內通過V的封閉表面S流入（面積分前面的負號）V內的幾率SV令V趨于∞，真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零：討論：表明，波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。概率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。粒子數守恒是最基本的，可以導出其他守恒：量子力學的質量守恒定律：量子力學的電荷守恒定律：由Born的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布已知ψ(r,t)，則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態波函數或態函數。知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態。1、波函數完全描述粒子的狀態二、再論波函數的性質2、波函數標準條件概率密度和概率流密度是連續的，要求波函數在空間任一點有限、連續且微商也連續。根據Born統計解釋ω=ψ*ψ是粒子出現的概率，要求ψ是r,t的單值函數且有限。概括之，波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。量子力學基本假定I

波函數完全描述粒子的狀態量子力學基本假定II

波函數隨時間的演化遵從Schrodinger方程三、量子力學基本假定I、II（一）定態Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定態問題的步驟（四）定態的性質§2.5定態Schrodinger方程Schrodinger方程就像牛頓方程一樣，原則上可以解決量子力學問題。在某些特殊情況下，可以有簡化形式。一類普遍、重要的情況是，勢能與時間無關（如氫原子）——定態U與t無關可以分離變量令：一、定態Schrodinger方程Schrodinger方程的一般形式為：于是：等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與

t,r無關的常數（設為E）該方程稱為定態Schrodinger方程，ψ(r)也可稱為定態波函數，或可看作是t=0時刻ψ(r,0)的定態波函數。此波函數與時間t的關系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關系可知：E就是體系處于波函數Ψ(r,t)所描寫的狀態時的能量。體系能量有確定的值，所以這種狀態稱為定態，這種形式的波函數Ψ(r,t)稱為定態波函數。空間波函數ψ(r)可由方程量子力學自然給出定態1.Hamilton算符（2）對定態波函數：這兩個算符是相當的，都稱為能量算符，稱H為哈密頓算符。（1）由薛定諤方程：二、Hamilton算符和能量本征值方程2、能量本征值方程（1）一個算符作用于一個函數上得到一個常數乘以該函數這與數學物理方法中的本征值方程相似。 數學物理方法中：微分方程+邊界條件構成本征值問題；（2）量子力學中：波函數要滿足三個標準條件，對應數學物理方法中的邊界條件，稱為波函數的自然邊界條件。因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量E稱為算符

H

的本征值；Ψ稱為算符

H的本征函數。（3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數所描寫的狀態（簡稱能量本征態）時，粒子能量有確定的數值，這個數值就是與這個本征函數相應的能量算符的本征值。改寫成定態問題就是要求出體系可能有的定態波函數Ψ(r,t)

和在這些態中的能量

E。具體步驟：（1）列出定態薛定諤方程（2）根據波函數三個標準條件求解能量E的本征值問題：三、求解定態問題的步驟（3）寫出對應第n個本征值En的定態波函數（5）通過歸一化確定歸一化系數Cn（4）知道了定態解（特解），薛定諤方程的一般解可寫成這些定態波函數的線性疊加，即：（四）定態的性質（2）幾率密度與時間無關（1）粒子在空間幾率密度與時間無關

綜上所述，當Ψ滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ就是定態波函數：1.Ψ描述的狀態其能量有確定的值；2.Ψ滿足定態Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無關。（3）任何不顯含t得力學量平均值與t無關§2.6一維無限深方勢阱在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用薛定諤方程來處理一類簡單的問題——一維定態問題（一維無限深方勢阱，一維諧振子,勢壘散射）。處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來；一維無限深方勢阱問題來源：量子線，一維導體等。一、問題求解求解S—方程步驟：（1）列出各勢域的一維S—方程（2）解方程（3）使用波函數標準條件定解（4）定歸一化系數（5）討論-a0aV(x)IIIIII1、列出各勢域的S—方程方程可簡化為：-a0aV(x)IIIIII22勢U(x)分為三個區域，用I、II和III表示，其上的波函數分別為ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)2、解方程：簡單看，I和III區勢能無限大，波函數的有限性要求ψI和ψIII為0；從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。根據波函數的統計解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數為0.II區同于經典諧振子3、使用波函數標準條件-a0aV(x)IIIIII波函數連續，要求各區域的波函數在邊界處相同：ψI和ψIII為0；為簡單，把ψII記為ψ，薛定諤方程的解為：波函數導數在有無窮跳躍處不連續。A和B不能同時為0，因此有兩組解：總的：粒子有無窮多個分立總的本征能量：能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態依次類推。本征波函數：或寫成同一形式：由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處，ψ=0。這樣的狀態，稱為束縛態。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。4、由歸一化條件定系數A（1）定態波函數是相反方向傳播的平面波形成的駐波5、對解的物理意義討論能級分立性的本質來源于波動性。在駐波邊界下，本征態是一系列駐波，它們的波長分立，因而能量分立；所以，能級分立性不能由薛定諤方程本得到，而是通過邊界條件表現出來的。量子力學自然得到能量的分立性！而不需要額外的假設（2）分立能級（3）.束縛態與分立能級粒子被束縛在(-a,a)小區域內，不可能到達無限遠處。若粒子被束縛在有限區域內，其狀態為束縛態。若粒子可到達無限遠處，其狀態為非束縛態。一般而言，只要是束縛態，其能級肯定是分立的。束縛態的例子很多：如原子外電子被限制在核外空間，其能級就是一系列束縛態，是分立的。（4）基態與激發態n=1,是能量最低的束縛態——基態與經典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現，因為“靜止的波”是沒有意義的。在經典物理中，粒子的能量可以為零，這意味著粒子靜止，即粒子的坐標有確定值且動量為零。但在量子力學中，因為波粒二象性，坐標和動量不能同時確定，因此基態能量不能為零。高于基態的其他束縛態分別稱為第一、二、……，激發態相鄰兩激發態的能量間隔當量子數n很大時，量子效應消失而過渡到經典情況。相對能量間隔為：能量分立性消失波動性消失（5）波函數宇稱本例題之所以有確定的宇稱源于勢場對原點的對稱宇稱：坐標鏡面反射對稱性6.關于納米問題為什么到納米尺度才能觀察到量子效應？

由上面的討論我們知道對于大量子數n，問題回到經典情況，這就是為什么當我們需要強調量子效應時，必須到納米尺度時才有意義。電子的deBroglie波長～0.1nmn=1a～0.025nmn=10a～0.25nmn=100a～2.5nmn=1000a～25nmn=10000a～250nm§2.7線性諧振子在經典力學和量子力學中，諧振子都是重要的例子，是少有的幾個可以嚴格求解的例子。本節學習用定態薛定諤方程求解，重點要求掌握關鍵性結論，不要求學習求解的細節。后面的章節還要學習更簡單的求解方法1、經典諧振子量子力學中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。一、背景自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。axV(x)0V02、為什么研究線性諧振子例：雙原子分子兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢可以展開成泰勒級數：axV(x)0V0可見，一些復雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。取新坐標原點為(a,V0)，則勢可表示為標準諧振子勢的形式：1、方程的建立為簡單計，引入無量綱變量ξ代替x，二、線性諧振子的量子力學解是變系數的二階常微分方程。如果直接用冪級數方法求解，系數遞推公式將會非常復雜，常用方法是先求方程的漸近解，然后再求方程再整個區間的解（這也是解薛定諤方程的一種常用方法）1.漸近解：為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當ξ→±∞時波函數ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變為：欲驗證解的正確性，可將其代回方程，2、求解其解為：波函數有限性條件要求，當ξ→±∞時，應有c2=0其中H(ξ)必須滿足波函數的單值、有限、連續的標準條件。即：

①當ξ有限時，H(ξ)有限；②當ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。考慮漸近行為，把波函數設為：2.H(ξ)滿足的方程保證波函數有限性，要求λ為奇數，相鄰能級等間隔：基態（n=0）有非零能量——零點能：3、厄密多項式滿足該方程的解是多項式——厄米多項式可寫成封閉形式定態波函數：4、討論（1）ψn具有n宇稱（2）

遞推關系：（3）

非零基態能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應。（4）.波函數的局域性在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零。以基態為例，在經典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運動。粒子被限制在阱內。然而，量子情況與此不同對于基態，其幾率密度是：-101ω0(ξ)n=0n=1n=2（5）.概率密度-3-2-10123E0E1E2ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2-22-44|10|2粒子在原點出現的幾率要么最大（n偶），要么為0（n為奇）；粒子可在經典禁區中出現；當n越大時，其幾率密度分布與經典幾率密度分布越來越接近，當n∞時，量子和經典無差別——當量子數很大時，量子體系過渡到經典情況。§2.8勢壘貫穿——一維勢散射問題前面兩個例子的特點是，無窮遠處勢能為零，波函數也為零，粒子在有限區域運動，本征態是分立的束縛態；本節講散射問題，無窮遠處勢能不為無窮大，因而波函數不為零。沒有這個約束，粒子的能量可以取任意的連續譜一、問題勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的一維運動問題。典型勢壘是方勢壘，其定義如下：現在的問題是已知粒子以能量E沿x正向入射。0aV(x)V0IIIIIIE二、方程求解（1）E>U0情況三個區域的薛定諤方程：定態波函數ψ1,ψ2,ψ3

分別乘以含時因子exp[-iEt/]即可看出：式中第一項是沿x正向傳播的平面波，第二項是沿x負向傳播的平面波。由于在x>a區沒有反射波，所以C'=0，于是解為：

物理分析利用波函數標準條件來定系數。解單值、有限條件：波函數連續；波函數導數連續綜合整理得到關于5個系數的線性方程組：3.求解線性方程組4.透射系數和反射系數求解方程組得:為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數和反射系數。I透射系數：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數D=JD/JIII反射系數：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數R=JR/JI幾率流密度矢量：其中負號表示與入射波方向相反。則入射波幾率流密度由以上二式顯然有D+R=1，說明入射粒子一部分貫穿勢壘到x>a的III區，另一部分則被勢壘反射回來。（2）E<V0情況引入：三、結果討論（1）散射問題主要是計算透過勢壘區的透射系數和反射系數。從以上計算過程看，系數A沒有意義，以后計算中，可以設A=1，相當于設入射粒子概率密度為1，則方程簡化為：0aV(x)xV0入射波+反射波透射波隧道效應（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現象。這是純量子力學效應，是粒子具有波動性的表現。（2）即使E<U0，在一般情況下，透射系數D并不等于零。（3）厚度的影響。估算厚度的影響，假設相對入射能量很高的勢壘透射率隨厚度增加，e指數減小。對電子，在納米范圍有可觀測的透射效應。例1:入射粒子為電子。設E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2?，算得D≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則D≈0.024，可見透射系數迅速減小。

質子與電子質量比

μp/μe≈1840。對于a=2?

則D≈2×10-38。可見透射系數明顯的依賴于粒子的質量和勢壘的寬度。量子力學提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的α衰變現象。例2:入射粒子換成質子。0abV(x)E對每一小方勢壘透射