第五講非線性振動分析非線性系統的定性分析方法的局限性包括相平面法在內的一類非線性系統的分析方法是定性分析方法；定性分析方法一般只能針對自治系統進行分析；定性分析方法不能揭示動態特性參數(頻率、振幅)與系統運動之間的關系。非線性系統的定量解析分析方法平均法多尺度法漸近法諧波平衡法攝動法林滋泰德—龐卡萊法定量解析分析方法的局限性研究對象通常為弱非線性系統；非線性項為小量，可視為線性系統的某種攝動，從而基于線性系統解尋求非線性系統的近似解；通常只能針對單自由度系統進行分析求解。平均法常數變易法；參數變易法；慢變振幅法

參考書：J.ASanders，Averagingmethodsinnonlineardynamicalsystems,Springer-Verlag,New-York,1986.1.攝動問題的標準型

(perturbationprobleminthestandardform)攝動問題：無攝動問題：假設該無攝動問題有解析解，且該解與初值有關。因此有定義變換（參數變易法、常數變易法）進行微分得到：對解假設矩陣是滿秩的，則有該式被稱為“攝動問題的標準型”。由于該式針對的問題過于一般，在應用上并不方便。因此基于這種參數變易法的思想研究一些特殊問題，更具有工程價值。2.偽線性系統的標準型

(Thestandardforminquasi-linearcase)考慮偽線性系統，其中。其無攝動系統可寫為且有滿維獨立解構成的基礎矩陣(fundamentalmatrix)為簡便起見，選擇基礎矩陣利用標準的常數變易過程，設我們能得到若矩陣為定常矩陣，則我們有基礎矩陣則標準型變為例5.1（慢變振幅法）考慮非線性振動系統其無攝動系統為該無攝動系統的解為則常數變易變換為則該系統的標準攝動方程為例5.2相-幅變換法例5.3（vander

Pol）方程利用相幅變換：，該系統的攝動方程變為其平均矢量場為：則其近似系統為可見通過平均方法，把原來的時變系統分析問題轉化為了定常系統的分析問題。例5.4具體研究系統：其平均近似系統為顯然，，是兩個穩態解。初值為時，系統的解為系統原點；初值為時，為周期解，一般地，該系統的解為系統的解例5.5例5.6反例5.2自激振動徐銘陶，肖明葵，《工程動力學——振動與控制》，機械工業出版社，2004.（4.7節非線性自主振動系統）

海盜船水車蒸汽機車機械表擒縱機構自激振動：

自主地從定常能源汲取能量，以系統狀態為調節器，控制能量的交變輸入，當輸入的能量與耗散的能量達到平衡時，系統維持等副振動，稱為自激振動。自激振動的三特征：耗散的振動系統；外部定常能源；狀態反饋調節器。自激振動系統的定性與定量分析其平均近似系統為一般地，該系統的解為傳輸帶干摩擦自激振動系統斜波上的被動步行腿式機器人5.3參數振動徐銘陶，肖明葵，《工程動力學——振動與控制》，機械工業出版社，2004.（4.8節線性參數振動系統）參數振動：存在外激勵的條件下，由于系統內部參數的周期變化而引起的系統振動。參變系統的一般方程其中，為周期函數。——W.Hill方程，1877年Hill在研究月球運動時建立的.進一步，很多系統可表示為——E.Mathieu方程，1868年研究橢圓薄膜振動時建立的。在某些實際情況下，該方程可簡化為參數振動系統的特征：參數振動系統中存在能量的輸入與耗散，是非保守系統；參數振動系統為非自治系統(時變系統)；參數振動的穩定性取決于能量的輸入與耗散的相互作用關系。例：基座振動的倒置單擺

設單擺的長度為，支撐的振動規律