極點配置基本概念開環系統：（1）

（狀態反饋）閉環系統：（2）反饋規律極點配置閉環系統的極點的分布情況決定了系統的穩定性和動態品質。所謂極點配置（或稱為特征值配置）就是如何使得已給系統的閉環極點處于所希望的位置。系統（1）通過狀態反饋可任意配置極點的充分必要條件是系統完全能控。（對單輸入單輸出和多輸入多輸出均成立）。構造狀態反饋來調整系統的極點。單輸入系統的極點配置開環系統：閉環系統：若希望(給定)閉環極點為：

狀態反饋：求實向量K,使得

單輸入系統的極點配置1.適合維數較高，控制矩陣中非零元素較多（4）（5）令(6)求2.適合維數較低，控制矩陣中只有一個非零元素的情況問題的提出精確的極點配置必須以精確的數學模型為依據由于不確定性及各種擾動的存在，使得精確的極點配置不可實現精確的極點配置并非是唯一的途徑，將系統的閉環極點配置在復平面上的一個適當區域，即可保證系統的動態特性和穩態特性系統的區域穩定

1.區域R是以虛軸為邊界的左半平面，則R—穩定性即是連續系統的穩定性。2.R—穩定性是以直線為邊界的左半平面，則系統的R—穩定性即是—穩定性。3.如果R是左半平面內的某個開圓盤D，則系統R—穩定性稱為D—穩定性。LMI區域的描述定義對復平面中的區域D，如果存在一個實對稱矩陣，使得 則稱D是一個線性矩陣不等式區域(簡記為LMI區域)。矩陣值函數 稱為LMI區域D的特征函數,特征函數維的Hermite矩陣，表示矩陣是負定的。是復數變量。的取值是和實矩陣說明：LMI區域是凸的LMI區域是關于復平面上的實軸對稱的常見的LMI區域左半開復平面相應的特征值函數相應的特征值函數左半復平面的垂直條形區域相應的特征值函數

D－穩定性分析定義

對復平面中給定的LMI區域D和實矩陣如果實矩陣A的所有特征值都位于區域D中，即，則稱實矩陣A是D-穩定的。設是一個正定矩陣，則它的實部Re（x）是一個對稱正定矩陣。證明：從（3）定理：給定LMI區域其中：，使得則實矩陣是D-穩定的充分必要條件是存在一個對稱正定實矩陣證明：假定存在對稱陣X滿足MD(A,X)<0.設λ是矩陣A的任意特征值，且有應用Kronecker乘積的性質，可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性，根據D-穩定的定義，可得矩陣A是D-穩定的，定理得證。D穩定性定理的應用

LMI區域為左半開復平面對于左半開復平面，其特征函數是則由D穩定性定理，可得，矩陣A的所有特征值均在左半開復平面的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X，使得Lyapunov不等式

推論給定兩個LMI區域D1和D2，矩陣A同時是D1-穩定和D2-穩定的充分必要條件是存在一個對稱正定陣X，使得第三方條形區域極點配置狀態反饋控制器設計及仿真第二部分條形區域矩陣A的所有特征值均在h1，h2的垂直條形區域的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X，使得：成立結論：對于系統，存在增益矩陣K，使得系統的極點配置到D（h1，h2）區域的充分必要條件是存在正定對稱矩陣X和矩陣P，使得數學模型：履帶車輛懸掛系統實例仿真對于已知線性定常系統履帶車輛懸掛系統給定希望的閉環極點配置在h1=-3，h2=-1的條形區域內，設計狀態反饋矩陣K，畫出極點分布圖。程序closeall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)未加狀態反饋矩陣KQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X);P=dec2mat(Q,xfeas,P);sys=ss(A,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-3,-3],[-10,10]);plot([-1,-1],[-10,10]);axisequal加狀態反饋矩陣Kcloseall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);K=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)XYC=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(XYC);X=dec2mat(XYC,xfeas,X);P=dec2mat(XYC,xfeas,P)