第二章流體靜力學張洪軍《流體輸送與傳熱技術》第二章流體靜力學引言流體靜力學是研究流體在靜止狀態下的平衡規律及應用。靜止是指流體質點相對于參考坐標系沒有運動的情況，是一個相對概念，包括：絕對靜止——流體對地球無相對運動相對靜止——流體對地球有相對運動，但流層之間無相對運動流體靜力學理論的適用范圍：理想流體、實際流體第二章流體靜力學章節結構壓強p總壓力P流體靜壓力的概念及其特性§2.1流體平衡微分方程§2.2重力作用下流體的平衡§2.3流體的相對平衡§2.4靜止流體作用在平面上的總壓力§2.5靜止流體作用在曲面上的總壓力§2.6第二章流體靜力學§2.1流體靜壓力及其特性流體靜壓力的特性掌握流體靜壓力的概念第二章流體靜力學一、靜壓力(pressure)p定義：靜止流體中，作用在單位面積上的力稱為靜壓力，亦稱壓強。設微小面積ΔA上的總壓力為ΔP

，則：平均靜壓強：點靜壓強：單位：帕斯卡（Pa）、牛頓/米2（N/m2）總壓力（P）：作用于某一面積上的總靜壓力。單位：牛頓（N）

掌握第二章流體靜力學二、靜壓力的兩個特性ppnτ掌握1、靜壓力的方向總是沿著作用面的內法線方向。平衡狀態時只要有切應力作用，流體就會變形，引起流體質點間的相對運動，破壞流體的平衡。所以，流體在平衡狀態下只能承受垂直并指向作用面的壓力。2、靜壓力的大小與作用面的方位無關。流體靜壓力是各向同性的，它與受壓面的方位無關，大小由質點所在的坐標位置確定。第二章流體靜力學帕斯卡定律

了解§2.2

流體平衡微分方程式等壓面及其方程、性質掌握流體平衡微分方程第二章流體靜力學取微元體（研究對象）受力分析導出關系(平衡關系)得出結論

——微元分析法一般流體力學證明思路一、流體平衡微分方程式的建立第二章流體靜力學應用微元分析法建立流體平衡方程。1.取微元體： 取如圖所示的六面體微元，邊長dx、dy、dz。2.受力分析：質量力——重力、慣性力，用單位質量力表示。表面力——僅有靜壓力p作用。第二章流體靜力學A點的壓力為p，則A1、A2點的壓力可通過泰勒級數展開得出：略去二階以上高階小量后，得：第二章流體靜力學3.導出關系： 根據流體平衡的充要條件，靜止流體所受的所有外力在各個坐標軸方向上的投影之和為零，即。以x方向為例：同理，可得：第二章流體靜力學4.得出結論：流體平衡微分方程式，由1755年歐拉提出，又稱為歐拉平衡方程式。流體平衡微分方程式的物理意義：對于單位質量的流體，其質量力與表面力在任何方向上都應保持平衡，即質量力與該方向上表面力的合力應大小相等、方向相反。流體平衡微分方程的適用范圍：理想流體或實際流體絕對靜止或相對靜止流體不可壓縮或可壓縮流體流體平衡微分方程質量力表面力掌握I第二章流體靜力學1.流體平衡微分方程式的積分為尋求靜止流體內靜壓強p的分布規律，取各方向歐拉平衡方程分別乘以dx，dy，dz，并相加，得：靜止流體中，靜壓強p只是坐標的函數：，壓強p

的全微分dp

可寫為：因此有：流體平衡微分方程壓力全微分形式

二、流體平衡微分方程式的積分掌握Ⅱ定義:同種連續靜止流體中，靜壓強相等的點組成的面。2等壓面等壓面的特性：（1）等壓面與質量力相正交。（2）兩種互不相溶的流體平衡時的分界面為等壓面。第二章流體靜力學掌握1132244535p1p2p靜止、連續的均質流體，處于同一水平面上的各點壓力相等等壓面概念第二章流體靜力學油水112233等壓面等壓面非等壓面練習試判斷以下平面哪些是等壓面第二章流體靜力學非等壓面油水112233非等壓面非等壓面練習試判斷以下平面哪些是等壓面閥門關死第二章流體靜力學§2.3

重力作用下的流體平衡各種壓強表示方法重點掌握靜力學基本方程及其應用第二章流體靜力學研究對象：流體相對于地球沒有運動的靜止狀態，即絕對靜止狀態。是工程中最為常見的流體平衡狀態，此時質量力只有重力。一、靜力學基本方程式（重力作用下的流體平衡方程）取重力作用下的靜止流體為研究對象，如圖。建立直角坐標：原點選在自由液面上，z軸垂直向上。受力分析：質量力（重力）和壓力p重點掌握第二章流體靜力學導出關系：根據流體平衡微分方程式有：得出結論：對于不可壓縮流體γ=Const時，可積分上式得：圖2-4重力作用下的靜止流體xyzp0mho水靜力學基本方程IA說明：水靜力學基本方程的適用條件：γ=Const，即不可壓縮靜止流體。靜壓強分布規律靜壓強基本公式中的積分常數C用平衡液體自由表面上的邊界條件：z=z0，p=p0來確定。于是有（邊界條件）淹入系數，移相，整理得：巴斯加（帕斯卡）定律一定的流體靜壓強代表使液柱上升一定高度的勢能。C點的總勢能：A點的總勢能：可見可以用液柱高度表示單位重力流體所具有的能量。二、靜力學基本方程式的意義物理意義

單位重力流體所具有的能量也可以用液柱高度來表示，并稱水頭。

Z：位置水頭：壓強水頭幾何意義

第二章流體靜力學pa0012z2z1基準面位置水頭壓力水頭測壓管h1h2位置水頭壓力水頭測壓管水頭液面敞口時:vw例第二章流體靜力學液面計00z1h

p0<0位置水頭壓力水頭基準面液面封閉時:00z1h

p0>0位置水頭壓力水頭基準面vw例第二章流體靜力學三、壓強的表示——絕對壓強、相對壓強、真空度壓強的大小從不同的基準算起，有不同的表示方法：絕對壓強

——以絕對真空為零點而計量的壓強。相對壓強

——亦稱表壓，以當地大氣壓pa為零點計量的壓強，。真空壓強

——即真空度，為流體絕對壓強小于當地大氣壓時，產生真空的程度，即：，時，。定義真空高度（真空壓力對應的液柱高度）為：。重點掌握第二章流體靜力學A說明：絕對壓強、相對壓強及真空壓強之間的關系如圖。絕對壓強永為正值，最小值為0，即。真空壓強，最大真空度為1個大氣壓（pa）。只當時才用真空度概念。圖2-5壓強表示關系絕對壓強p<pap>papa絕對壓強相對壓強（表壓）真空壓強0p根據巴斯加定律，大氣壓pa

將在液體內部等值傳遞，因此：除特別聲明，通常在計算時直接以表壓計。第二章流體靜力學油水H1H2ABγ油H1+γH2γ油H1試繪制平板AB上的相對壓強分布圖練習第二章流體靜力學A說明：壓強的度量單位：應力表示形式：N/m2、Pa、hPa、kPa、MPa大氣壓表示形式：atm（標準大氣壓）、at（工程大氣壓）、Bar液柱高度表示形式：mH2o、mmHg換算公式：第二章流體靜力學根據適用范圍、適用條件的不同，測壓計通常有液式測壓計和金屬測壓計。金屬測壓計原理：彈性元件在壓力作用下彈性變形。分類：彈簧管式壓力表、薄膜式壓力表。液式測壓計工作原理：靜力學基本方程：及。等壓面：同種相連通的絕對靜止流體的水平面為等壓面。四、測壓計——靜力學基本方程應用二重點掌握圖2-6彈簧管式測壓計第二章流體靜力學測壓管：同種液體引出液柱高度以測量壓力，一端與測壓點相連，一端通大氣。

i求A點的壓強工作原理：1。選取等壓面2。在等壓面上應用水靜力學基本方程，應滿足：00zAhhAp0等壓面測壓管預測量容器中氣體的真空度容器中的真空度P=gh第二章流體靜力學水銀測壓計、組合水銀測壓計：U形管中，以水銀、空氣等作為工作液，一端接測壓點，一端通大氣。

i求A點的壓強U形水銀測壓計h1h2等壓面A水銀工作原理：1。選取等壓面2。在等壓面上應用水靜力學基本方程，應滿足：第二章流體靜力學

i求A點的壓強

A氣體的密度、重度很小，通常可以忽略空氣柱的重量，認為整 個充氣空間壓力相等。組合水銀測壓計工作原理：1。選取等壓面1、22。在等壓面上應用水靜力學基本方程，應滿足：h1h2等壓面1A水銀h3等壓面2空氣pp差壓計測量兩點壓差的儀器叫差壓計。取等壓面1-1，列方程：p1+1gh1=p2+2gh2+′gh則

p1-p2=2gh2+′gh-1gh1常用來測量兩容器的壓強差或管路中兩點的壓強差。取等壓面1-1，列方程：p1+1gh1=p2+2gh2+′gh則

p1-p2=2gh2+′gh-1gh1第二章流體靜力學比壓計、壓差計：將測壓管兩端接在兩個不同測壓點上，比較其壓差。

i求A、B兩點的壓強差h1A空氣Bh2pp空氣比壓計工作原理：因充氣空間壓力相等，有以下關系：第二章流體靜力學水銀比壓計等壓面2h1ABh2p1p2等壓面1△h工作原理：1。選取等壓面1、22。在等壓面上應用水靜力學基本方程，應滿足：i求A、B兩點的壓強差傾斜式微壓計測量較小壓強或壓強差的儀器叫微壓計。實質：應用幾何原理測壓。例1.為了測量高度差為z的兩個水管中的微小壓強差PB-PA,用頂部充有較水輕而與水不相混合的液體的倒U形管。已知A、B管中的液體相對密度d1=d3=1,倒U形管中液體相對密度d2=0.95,h1=h2=0.3m,h3=1m，試求壓強差PB-PA。解：逐段采用壓強公式，可算出：[例題2]如圖所示測定裝置，活塞直徑d=35mm，油的相對密度d油=0.92,水銀的相對密度d水銀=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當活塞重為15N時，h=700mm，試計算U形管側壓計的液面高度△h值。（P35例題2.2)

p15598(Pa)15598[例題3]如下圖所示，用雙U形管測壓計測量A、B兩點的壓差。已知:第二章流體靜力學等加速水平運動容器中流體的相對平衡掌握如圖，盛有液體的容器沿水平面以加速度a作勻速直線前進，容器中的流體也處于勻加速直線運動之中。坐標固定在容器上，坐標原點o在自由液面的中心，z軸豎直向上。其中：zs為自由液面上點的z坐標，h為液體中任意一點m離自由液面的垂直深度。圖2-7等加速直線運動容器axzp0Hαozshm§2.4

流體的相對平衡第二章流體靜力學流體平衡微分方程：作用在相對靜止流體中任一質點m上的質量力包括重力mg(↓)及慣性力ma(←)，合力R與z軸成α角。容器內流體在兩種質量力作用下處于對運動坐標系xoz的相對平衡狀態。各方向上的單位質量力為X＝-a，Y＝0，Z＝-g，則：圖2-7等加速直線運動容器axzp0HαozshmαmgmaR第二章流體靜力學等壓面方程：對于不可壓縮流體ρ＝Const，令dp＝0，積分平衡微分方程得： 結論：a.等壓面是一簇平行斜面。

b.等壓面與x軸夾角=質量力與z軸夾角。

c.等壓面與質量力（重力和慣性力的合力）R相正交。自由液面方程：在自由液面上，x＝0時z＝0，則C＝0，因此有：第二章流體靜力學——符合靜力學基本方程壓強分布特性：對于不可壓縮流體ρ＝Const，積分平衡微分方程：代入邊界條件x＝0、z＝0時，p＝p0，得C=p0

，因此有：第二章流體靜力學例4，如圖，汽車上有一長方形水箱，高H＝1.2m，長L＝4m，水箱頂蓋中心有一供加水用的通大氣壓孔，試計算當汽車以加速度為3m/s2向前行駛時，水箱底面上前后兩點A、B的靜壓強（裝滿水）。分析：水箱處于頂蓋封閉狀態，當加速時，液面不變化，但由于慣性力而引起的液體內部壓力分布規律不變，等壓面仍為一傾斜平面，符合。解：等壓面與x軸間的夾角vw例三峽船閘§2-5

靜止流體作用在平面上的總壓力運河船閘第二章流體靜力學2、坐標系建立原點o——取在自由液面上（注：某些情況需通過等效液面換算確定自由液面位置）x軸——平面或其延伸面與自由液面的交線y軸——垂直于ox軸沿平面向下。3、總壓力的方向根據靜壓力的基本特性，總壓力垂直且指向作用平面。1、問題描述靜止液體中任意形狀平面，與水平面夾角為α、面積為A、C為形心、D為壓力中心（即壓力作用點）。圖2-10作用在平面上的總壓力yp0yCyDCDAPαxhCo§2-5

靜止流體作用在平面上的總壓力第二章流體靜力學圖2-10作用在平面上的總壓力yp0yCyDCDAPαxhCo 在面積A上積分： 面積A對ox軸面積矩:所以： 結論： 平面總壓力＝形心壓強×平面面積4、總壓力的大小在A上取微元面積dA，坐標為y，其上所受總壓力為dP，dA對應的水下深度為h。則：ydAdPh第二章流體靜力學5、總壓力的作用點（壓力中心D）據平行力系力矩原理：每一微小面積上所受的壓力dP

對ox軸的靜力矩之和，等于作用在面積A上的總 壓力P對ox軸的靜力矩。即： 壓力中心D的坐標為：圖2-10作用在平面上的總壓力yp0yCyDCDAPαxhCoydAdPh常見圖形的幾何特征量第二章流體靜力學例5，閘門寬1.2m，鉸在A點。壓力表G＝－14700Pa，右側箱中裝有油，重度γ0＝8.33kN/m3。問：在B點加多大水平力才能使閘門AB平衡？解:把

p0

折算成水柱高：。相當于液面下移1.5m，如圖o-o虛構液面。 vw例題左側水體作用于閘門AB的總壓力P1及其作用點D1應滿足：D1離自由液面的深度：D1距離A點：lD1=3.11－2＝1.11mp0AP15.5m水油P22

m1.5mooB第二章流體靜力學右側油品作用于閘門AB的總壓力P2及其作用點D2應滿足：D2離自由液面的深度：D2距離A點：lD2=1.33m設在B點加水平力F使閘門AB平衡 對A點取矩：

ABP1P21.33m1.11mF第二章流體靜力學§2-6

靜止流體作用在曲面上的總壓力

曲面總壓力的計算重點掌握第二章流體靜力學作用在曲面上各點的流體靜壓力都垂直于器壁，形成復雜空間力系。求曲面上總壓力的問題實際為空間力系的合成問題。流體靜壓強p的分布規律總壓力P的大小、方向、作用點中心內容?思考：在探討了平面上總壓力的計算方法的基礎上，如何考慮曲面上總壓力的計算？(包括總壓力的大小、方向、作用點的確定)第二章流體靜力學工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。此處，以二向柱形曲面為例分析靜水總壓力，其結論對于三向曲面（球面）同樣適用。設有一承受液體壓力的二向柱形曲面ab，面積為A。原點o——取在自由液面上

x軸——平行于自由液面

y軸——平行于二向曲面的母線

z軸——垂直于自由液面向下圖2-11作用在曲面上的總壓力zxyoabA重點掌握2、坐標系建立1、問題描述第二章流體靜力學3、總壓力的大小和方向取xoz坐標平面進行分析。在曲面ab上任取一微元面積dA，沉沒深度為h，則流體作用在微元上的總壓力

。圖2-11作用在曲面上的總壓力zxoabAdAAxhchAzdPdAdPdPzdPxαdAxdAzα總壓力dP可分解為沿ox軸的水平分力dPx和沿oz軸的垂直分力dPz?？蓪⑶娌黄叫锌臻g力系化為各自平行的水平力系和垂直力系。分別積分dPx、dPz得到Px和Pz，通過平行力系合成，得到靜水總壓力第二章流體靜力學a.水平分力Px： 積分：式中， 為面積A在yoz平面上的投 影對oy軸的面積矩。因此：圖2-11作用在曲面上的總壓力zxoabAdAAxhchAzdPdAdPdPzdPxαdAxdAzα第二章流體靜力學b.垂直分力Pz： 積分：實為 圖中陰影部分abcd的面積。 稱此體積為壓力體。 記，則：圖2-11作用在曲面上的總壓力dAdPdPzdPxαdAxdAzαcdzxoabAdAAxhchAzdP第二章流體靜力學c.總壓力的大小和方向： 根據力的平行四邊形合成法則，可得總壓力P的大小為： 總壓力P與水平方向的夾角α滿足： 若計總壓力P與垂直方向的夾角為θ，應滿足：第二章流體靜力學4、總壓力的作用點總壓力P的水平分力Px的作用點應通過面積A在yoz平面的投影Ax的壓力中心。總壓力P的垂直分力Pz的作用點則應通過壓力體abcd的重心?？倝毫ㄟ^Px與Pz的交點E，且與水平面的夾角為α。由此確定曲面上的壓力作用點為D。圖2-11作用在曲面上的總壓力cdzxoabAAxAzPAx壓力中心EDαPzPx重心第二章流體靜力學1、定義：壓力體是由積分式引出的一個純數學意義上的體積，相當于從曲面垂直向上引至自由液面的無數微小柱體的體積總和。2、壓力體abcd的組成：自由液面或其延伸面（cd）承受壓力的曲面（ab）沿曲面的周界垂直至液面（或其延 伸面）的鉛垂面（ad、bc）5、壓力體cdzxoab第二章流體靜力學3、壓力體的確定方法：分面：以曲面鉛垂方向有轉折的點為分界點，先將曲面分段，再分別進行壓力體的分析。確定壓力體的形狀：以曲面為底面，垂直向上（或向下）引申到自由液面或其延伸面，所圍成的封閉體積即為壓力體。確定壓力體的正負：壓力體因曲面承壓位置的不同分為： 正壓力體（實壓力體）——壓力體和液體在曲面的同側

負壓力體（虛壓力體）——壓力體和液體在曲面的異側4、壓力體的疊加：將各段