1.3

流體流動中的守恒定律討論了流體靜止時內部壓強的變化規律流體在流動過程中常遇到的問題對于流動著的流體內部壓強變化的規律液體由低能位向高能位輸送時所需能量由高位槽向設備輸送一定量的流體時高位槽應安裝的高度等而反映流體流動規律:有質量守恒方程（連續性方程）和柏努利方程1.體積流量

單位時間內流經管道任意截面的流體體積。

qV——m3/s或m3/h2.質量流量單位時間內流經管道任意截面的流體質量。

qm——kg/s或kg/h。

二者關系：（一）流量一、流量與流速（二）流速2.質量流速

單位時間內流經管道單位截面積的流體質量。流速（平均流速）單位時間內流體質點在流動方向上所流經的距離。

kg/（m2·s）流量與流速的關系：

m/sG=qvρ/A=uρ對于圓形管道：流量qV一般由生產任務決定。流速選擇：3.管徑的估算

↑→d↓→設備費用↓流動阻力↑→動力消耗↑

→操作費↑均衡考慮uu適宜費用總費用設備費操作費一般液體：0.5~3m/s氣體流速：10~30m/s注意：管徑的計算：工程上管徑的表示方法：Φ89×3.5意味著：管外徑為89mm，壁厚為3.5mm在計算管內流速時使用的管徑為內徑：d=89-3.5×2=82mm未注明內徑或外徑，均按內徑計算注意圓整二、質量守恒方程（連續性方程）ContinuityEquation此方程的推導方法很多最簡單的即利用物料衡算即質量守恒的原理進行推導1、推導：一變徑管流體充滿整個管道連續地從1-1截面流向2-2截面u1ρ1A1=u2ρ2A2（累積量）＝0

推廣至1-1和2-2截面之間的任何一個截面均有：uρA=常數當流體為不可壓縮流體時，密度為常數，則uA=常數對1-1和2-2截面有：u1A1=u2A2均稱做定態流動時的質量守恒定律，或連續性方程continuityequation2、討論（使用注意事項）（1）物理意義：反映了在定態流動系統中，管路各截面上流速的變化規律2）不可壓縮流體的平均流速，其數值只隨管截面變化而變化即：截面增大，流速減小在均勻管中定態流動時平均流速隨管長保持定值，并不因阻力損失而減速（3）質量守恒定律的成立，與管路的安排、以及管路上是否有管件、閥門和輸送機械無關[思考]

如附圖所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一段φ108×4mm的管2和兩段φ57×3.5mm的分支管3a及3b連接而成。若水以9×10－3m3/s的體積流量流動，且在兩段分支管內的流量相等，試求水在各段管內的速度。

3a123b二、機械能守恒

—柏努利方程二、伯努利方程式（一）伯努利方程式dxpA(p+dp)Agdmdz在x方向上對微元段受力分析：（1）兩端面所受壓力分別為及（2）重力的分量故合力為動量變化率動量原理——伯努利方程式

不可壓縮性流體，（1）

流體因處于重力場內而具有的能量。

①位能：質量為m流體的位能

單位質量流體的位能

②動能：流體以一定的流速流動而具有的能量。

質量為m，流速為u的流體所具有的動能

單位質量流體所具有的動能

③壓力能（流動功）

通過某截面的流體具有的用于克服壓力功的能量。流體在截面處所具有的壓力

流體通過截面所走的距離為則單位質量流體所具有的壓力能為：

單位質量流體本身所具有的總能量為：其中

稱為比容v=1/ρ（二）伯努利方程式的物理意義——單位質量流體所具有的位能，J/kg；——單位質量流體所具有的靜壓能，J/kg；——單位質量流體所具有的動能，J/kg。各項意義：將(1)式各項同除重力加速度g:（2）式中各項單位為z——位壓頭——動壓頭——靜壓頭總壓頭式（1）為以單位質量流體為基準的機械能衡算式，式（2）為以重量流體為基準的機械能衡算式，表明理想流體在流動過程中任意截面上總機械能、總壓頭為常數，三種能量形式可以相互轉換。Hz2210世居瑞士的柏努利家族

(Bernoullifamily)數學史和科學史上最杰出的家族之一從十七、十八兩世紀以來，三代中出現了八位非常了不起的數學家和科學家柏努利家族在十七、十八世紀的微積分的發展應用上扮演著領導的角色三、實際流體的機械能衡算式（一）實際流體機械能衡算式（2）外加功（外加壓頭）1kg流體從流體輸送機械所獲得的能量為W

(J/kg)。（1）能量損失（壓頭損失）設1kg流體損失的能量為Σhf（J/kg）。（3）（4）或——伯努利方程式

其中H——外加壓頭或有效壓頭，m;Σhf——壓頭損失，m。（二）伯努利方程的討論

（1）若流體處于靜止，u=0，Σhf=0，W=0，則柏努利方程變為說明柏努利方程即表示流體的運動規律，也表示流體靜止狀態的規律。

W、Σhf

——在兩截面間單位質量流體獲得或消耗的能量。（2）zg、、——某截面上單位質量流體所具有的位能、動能和靜壓能；（3）伯努利方程式適用于不可壓縮性流體。對于可壓縮性流體，當時，仍可用該方程計算，但式中的密度ρ應以兩截面的平均密度ρm代替。

序號

適用條件

方程形式以單位質量流體為基準以單位重量流體為基準

1①穩定流動②有外功輸入③不可壓縮、實際流體

2①穩定流動②無外功輸入③不可壓縮理想流體

3①不可壓縮流體②流體處于靜止狀態

柏努利方程的常用形式及其適用條件1）作圖并確定衡算范圍根據題意畫出流動系統的示意圖，并指明流體的流動方向，定出上下截面，以明確流動系統的衡標范圍。2）截面的截取兩截面都應與流動方向垂直，并且兩截面的流體必須是連續的，所求得未知量應在兩截面上或兩截面之間，截面的有關物理量z、u、p等除了所求的物理量之外，都必須是已知的或者可以通過其它關系式計算出來。（三）應用柏努利方程的注意事項

3）基準水平面的選取

所以基準水平面的位置可以任意選取，但必須與地面平行，為了計算方便，通常取基準水平面通過衡算范圍的兩個截面中的任意一個截面。如衡算范圍為水平管道，則基準水平面通過管道中心線，Δz=0。4）單位必須一致

在應用柏努利方程之前，應把有關的物理量換算成一致的單位，然后進行計算。兩截面的壓強除要求單位一致外，還要求表示方法(表壓或真空度)一致。5）柏努利方程式適用于不可壓縮性流體。對于可壓縮性流體，當時，仍可用該方程計算，但式中的密度ρ應以兩截面的平均密度ρm代替。（四）伯努利方程的應用

管內流體的流量；輸送設備的功率；管路中流體的壓力；容器間的相對位置等。利用伯努利方程與連續性方程，可以確定：柏努利方程的應用（1）計算輸送機械的有效功率[例1]

用泵將貯槽中密度為1200kg/m3的溶液送到蒸發器內，貯槽內液面維持恒定，其上方壓強為101.330kPa，蒸發器上部的蒸發室內操作壓強為26670Pa（真空度），蒸發器進料口高于貯槽內液面15m，進料量為20m3/h，溶液流經全部管路的能量損失為120J/kg，求泵的有效功率。管路直徑為60mm。解：取貯槽液面為1―1截面，管路出口內側為2―2截面，并以1―1截面為基準水平面，在兩截面間列柏努利方程。式中z1=0z2=15mp1=0（表壓）

p2=－26670Pa（表壓）u1=0（1）計算輸送機械的有效功率續例1將上述各項數值代入，則泵的有效功率Pe為：

Pe=We·qm式中

Pe=246.9×6.67=1647W=1.65kW

實際上泵所作的功并不是全部有效的，故要考慮泵的效率η，實際上泵所消耗的功率（稱軸功率）為設本題泵的效率為0.65，則泵的軸功率為：續例1例1解答完畢

[例2]水在本題附圖所示的虹吸管內作定態流動，管路直徑沒有變化，水流經管路的能量損失可以忽略不計，計算管內截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’處的壓強，大氣壓強為760mmHg，圖中所標注的尺寸均以mm計。求各截面P分析：求P求u柏努利方程某截面的總機械能理想流體（2）計算管路某截面處的壓力22’

解：在水槽水面1－1’及管出口內側截面6－6’間列柏努利方程式，并以6－6’截面為基準水平面式中：

P1=P6=0（表壓）

u1≈0代入柏努利方程式例2解答u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基準水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa對于各截面壓強的計算，仍以2-2’為基準水平面，z2=0，z3=3m，z4=3.5m，z5=3m續例2（1）截面2-2’壓強

（2）截面3-3’壓強續例2（3）截面4-4’壓強（4）截面5-5’壓強

從計算結果可見：P2>P3>P4

，而P4<P5<P6，這是由于流體在管內流動時，位能和靜壓能相互轉換的結果。

續例2例2解答完畢[例3]20℃的空氣在直徑為800mm的水平管流過，現于管路中接一文丘里管，如本題附圖所示，文丘里管的上游接一水銀U管壓差計，在直徑為20mm的喉徑處接一細管，其下部插入水槽中。空氣流入文丘里管的能量損失可忽略不計，當U管壓差計讀數R=25mm，h=0.5m時，試求此時空氣的流量為多少m3/h?

當地大氣壓強為101.33×103Pa。（3）確定流體的輸送量分析：求流量qv已知d求u直管任取一截面柏努利方程氣體判斷能否應用？解：取測壓處及喉頸分別為截面1-1’和截面2-2’

截面1-1’處壓強：

截面2-2’處壓強為：例3解答

在截面1-1’和2-2’之間列柏努利方程式。以管道中心線作基準水平面。由于兩截面無外功加入，We=0。

能量損失可忽略不計Σhf=0。柏努利方程式可寫為：式中：z1=z2=0

P1=3335Pa（表壓），P2=-4905Pa（表壓）

續例3化簡得：

由連續性方程有：

續例3聯立(a)、(b)兩式續例3例3解答完畢[例4]如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內表壓強為9.81×103Pa，進料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內流動時的能量損失為30J/kg(不包括出口的能量損失)，試求高位槽內液面應為比塔內的進料口高出多少？

(4)確定容器間的相對位置分析：解：

取高位槽液面為截