主講人：朱志雄小組成員：何孝金，朱志雄，王維斌直接法和間接法的改進13.3直接法和間接法的質量直接法和間接法的關系：截短（乘矩形窗d0(n)）求線性相關函數DFTIDFTM=N-1時的估計質量此時，直接法和間接法估計出的結果是相同的，且有令W(ω)

是三角窗w(m)的傅立葉變換，由卷積定理，有式中r(m),P(ω)分別是隨機信號x(n)的真實自相關函數和功率譜。上式可寫成則估計的偏差為：當時，矩形窗d0(n)趨于無限寬，D0(ω)和W0(ω)都趨于δ函數，此時因此，對于固定的數據長度N，周期圖是個有偏估計，偏差由（*）式給出。當時，它的期望值等于真值P(ω)

,所以它又是漸進無偏的。

M<N-1時的估計質量當時，不等于,而是對的平滑。（1）均值：由前述知識知，所以由于，所以W(ω)的主瓣寬度遠小于V(ω)主瓣的寬度。當時，W(ω)趨近于δ函數，此時如果P(ω)是一個慢變的譜，使得在V(ω)的主瓣內接近為一常數，則上式可寫為若能保證

則有（2）方差假定x(n)是零均值、方差為σ2的高斯白噪聲，則有又,令Kr<1，說明小結：1）由于在上施加了一個較短的窗口v(m)，使得間接法估計的偏差大于直接法，而方差小于直接法。2）譜的平滑（也即方差的減小）是以犧牲分辨率為代價的。13.4直接法估計的改進直接法的缺點：數據長度N太大時，譜曲線起伏加劇，N太小時，譜的分辨率不好改進方向：主要是改進其方差特性方法一：間接法（又稱自相關法、BT法）方法二：平均法解：μ=E（X）=E[（X1+X2+…+XL）/L]=E（X1+X2+…+XL

）=[E(X1)+E(X2)+…E(XL)]=μVar[X]=var[（X1+X2+…+XL）/L]=

Eg1.對L個具有相同均值μ和方差δ

2的獨立隨機變量X1，X2，…XL。求隨機變量X=（X1+X2+…+XL）/L的均值及方差。啟示：將一長度為N的數據xN（n）分成L段，分別求每一段的功率譜，然后加以平均，以達到所希望的目的。由此，便有了改善

PER（ω）方差特性的一個方法，即Bartlett法。Bartlett法：將采樣數據xN（n）分成L段，每段的長度均為M，即N=LM，則第i段數據加矩形窗后，變為xiN（n）=xN[n+(i-1)M]d1[n+(i-1)M],0?n?M-1,1?i?L每一段的功率譜:

iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2,1?i?L

PER(ω)的均值為:E{PER(ω)}=E{iPER(ω)}=E{iPER(ω)}

=P(ω)*|D1(ω)|2=P(ω)*W1(ω)

把PER(ω)對應相加，再取平均，得到平均周期圖PER，即

PER(ω)=iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2

對比可知,不取平均值的周期和取平均后的相同點：都是有偏估計，且當

時，二者都是漸進無偏的。區別：因為W1(ω)主瓣的寬度遠大于W(ω)，所以取平均后，偏差加大，分辨率下降。Eg2.若x(n)為一白噪聲序列，由前面知識可知

分的段數越多，方差越小。若L能趨于，則是P(ω)的一致估計。法二：Welch法Welch法是對Bartlett法的改進。Case1:在對xN(n)分段時，允許每一段的數據有重疊。例如，每一段數據重合一半，這時的段數M是每一段的長度。Case2.選擇適當的窗口作為每一段的數據窗口。例如，使用漢寧窗或漢明窗，記之為d2(n)。如此，可以改善由于矩形窗邊瓣較大所產生的譜失真。記每一段的功率譜式中是歸一化因子（？）。Eg3.若上式中d2(n)是一個矩形窗口，計算平均后的功率譜及均值。解：1）平均后的功率譜2）均值D2(ω)是d2(n)的頻譜，

即

記則有：如果有則有為漸近無偏譜。法三：Nuttall法步驟1、2：同Bartlett，即對xN(n)自然分段（加矩形窗），且不交疊，得到平均后的功率譜;步驟3：由做反變換，得到該平均功率譜對應的自相關函數，記為，其最大寬度是2M-1，M=N/L；步驟4:對加延遲窗w2(m)，w2(m)最大單邊寬度為M1,得到，即步驟5：由做正交變換，得到對x(n)功率譜估計，記作

三種方法的關系截短（乘矩形窗d0(n)）不交疊分段，（d1(n)為矩形窗）求平均功率譜作逆變換對每一段加權，d2(n)可以不是矩形窗交疊分段正變換加權W2(m)平均x(n)13.5經典譜估計算法性能的比較總結：（1）經典譜估計，不論是直接法還是間接法，都可以用FFT快速計算，且物理概念明確，因而仍是目前較常用的譜估計方法。（2）譜的分辨率較低，它正比于2π/N，N是所使用的數據長度。（3）由于不可避免的窗函數的影響，使得真正譜P(ω)在窗口主瓣內的功率向邊瓣部分“泄露”，降低了分辨率。較大的邊瓣有可能掩蓋P(ω)中較弱的成分，或是產生假的峰值。當分析的數據較短時，這些影響更為突出。（4）方差性能不好，不是P(ω)的一致估計，且N增大時譜曲線起伏加劇。（5）周期圖的平滑和平均是窗函數的使用緊緊相關聯的。平滑和平均主要是用來改善周期的方差性能，但往往又減少了分辨率和增大了偏差。沒有一個窗函數能使估計的譜在方差、偏差和分辨率各個方面都得到改善。因此使用窗函數只是改進估計質量的一個技巧問題。13.6短時傅立葉變換平穩信號：主要特點是信號的均值、方差及均方都不隨時間變換，其自相關函數僅和兩個觀察時間的差有關，而和觀察的具體位置無關。非平穩信號:這類信號的均值及方差都在隨時間變化，其自相關函數也和觀察的具體時間位置有關，而且信號的頻率也會隨時間而變化。傅立葉變換的不足：缺乏時頻定位能力。信號聯合時頻分布雙線性時頻分布表達式：

（1）x(t)出現了兩次，且是相乘的形式，故稱為雙線性。若，則（1）式可簡化為