有限元方法

主講人：蘇春建機電學院機械專業大綱要求第二講

有限元法基本原理1、學習目的和要求通過本章學習，掌握有限元方法的基本理論；了解有限元方法的發展歷程和使用范圍；理解有限元求解的實施步驟，熟悉常用的有限元軟件。2、課程內容（1）有限元方法的基本概念、數學原理、基本思想；（2）有限元的解題步驟；（3）有限元法實施的主要技術；（4）典型的有限元分析軟件。3、考核知識點和考核要求（1）識記：有限元方法的基本原理；（2）領會：有限元方法在工程應用的實施；（3）了解：主要的有限元軟件及其特點。09/03/2012本節內容1、有限元法的基本概念2、桁架實例各種求解比較3、有限元法計算流程4、一個簡單結構的有限元分析求解的完整過程5、有限元分析的基本步驟及表達式6、有限元求解的收斂性7、有限元軟件應用流程09/03/20121.有限元法的基本概念定義有限元分析是利用數學近似的方法對真實物理系統（幾何和載荷工況）進行模擬。是利用簡單而又相互作用的元素，即單元來描述整個真實系統，從而就可以用有限數量未知量的數學模型去逼近無限未知量的真實系統。物理系統舉例

幾何體

載荷

物理系統結構熱電磁真實物理系統是由對具有一定幾何形體的研究對象施加一定的載荷構成的。要對真實物理系統的場變量進行數值分析，必須首先建立有限元模型。09/03/2012定義有限元模型有限元模型

是真實系統理想化的數學抽象。真實系統有限元模型由節點、單元和載荷組成盡管梯子的有限元模型低于100個方程（即“自由度”），然而在今天一個小的ANSYS分析就可能有5000個未知量，矩陣可能有25，000，000個剛度系數。09/03/2012節點和單元節點:

空間中的坐標位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。單元:

一組節點自由度間相互作用的數值、矩陣描述（稱為剛度或系數矩陣)。單元有線、面或實體以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節點連接，并承受一定載荷。載荷載荷每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。作為一個整體，單元形成了整體結構的數學模型。信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。節點自由度是隨連接該節點的單元類型變化的。09/03/2012分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節點合并處理）具有公共節點的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。09/03/2012節點自由度是隨連接該節點

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實體結構單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ三個自由度六個自由度一個自由度09/03/2012FEA僅僅求解節點處的DOF值。單元形函數是一種數學函數，規定了從節點DOF值到單元內所有點處DOF值的計算方法。因此，單元形函數提供出一種描述單元內部結果的“形狀”。單元形函數描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實的二次曲線.節點單元二次曲線的線性近

(不理想結果).2節點單元

DOF值二次分布..1節點單元線性近似(更理想的結果)真實的二次曲線.....3節點單元二次近似

(接近于真實的二次近似擬合)

(最理想結果)..4單元形函數2.桁架實例各種求解比較3.1一維桁架3.1.1一維桁架傳統法求解理論3.1.2一維桁架傳統法求解方法3.1.3基于ANSYS的有限元分析過程3.2二維桁架

3.2.2二維桁架工程實例傳統解法3.2.4基于MATLAB的求解方法3.2.4基于ANSYS的求解方法09/03/2012輸入離散模型數據按選擇的單元計算單元剛度矩陣按總體存儲模式集成總剛計算單元等效節點載荷集成結構節點載荷列陣引入位移邊界條件按選定解法解線形方程組其他輔助計算結果輸出結束按單元循環形成系列矩陣K形成等效結點載荷列陣P消除K奇異性求解Kq=P得到q根據q計算σ和ε等靜力平衡問題有限元求解方程離散模型數據文件包括：離散模型的結點數及結點坐標；單元數及單元結點編碼；載荷信息等。3.有限元軟件計算流程09/03/20124.一個簡單結構的有限元分析求解的完整過程一個階梯形狀的二桿結構如圖所示。其材料的彈性模量和結構尺寸如下。

該結構由兩根桿件組成，作為一種直覺，需要研究相應的“特征結構”，即桿單元，將該“特征結構”

抽象為具有兩個節點的單元，如下圖所示。

下面考察該簡單問題的FEA求解過程。離散化兩個桿單元，即：單元①和單元②09/03/2012(2)單元的特征及表達對于二節點的桿單元(上圖)，設該單元的位移場為ue(x)，那么它的兩個節點條件為：(2-1)(2-2)設該單元的位移場具有模式(考慮兩個待定系數)(2-3)利用節點條件(2-1)和(2-2)，可確定出(2-3)中的a0和a1，即(2-4)將(2-4)代入(2-3中)?？蓪e(x)表達成節點位移(u1,u2)的關系，即其中(2-5)(2-6)(2-7)形函數或插值函數形函數矩陣09/03/2012根據彈塑性力學中一維問題幾何方程和物理方程，可計算單元的應變和應力為：其中：(2-8)(2-9)(2-10)(2-11)單元的勢能：(2-12)其中：(2-13)(2-14)叫做單元剛度矩陣叫做單元節點外載應變矩陣應力矩陣09/03/2012在得到“特征單元”的矩陣表達式(2-13)-(2-14)后，就可以計算該單元的勢能，因此計算各單元的矩陣K和P是一個關鍵，下面就上面的實際問題給出各單元的K和P：具體就此圖中的單元單元①，有單元①的節點位移向量單元①的剛度矩陣(2-16)(2-17)(2-15)單元①的節點外載P1為節點1的支反力單元②

，有單元②的節點位移向量單元②的剛度矩陣單元②的節點外載(2-18)(2-19)(2-20)09/03/2012(3)裝配集成以得到系統的總體勢能計算整體的勢能(2-21)(4)處理位移邊界條件并求解由上圖可知，其邊界條件為左端固定，即u1=0,將該條件代入(2-21),有：(2-22)這時由全部節點位移[0u2u3]分段插值出的位移場為全場許可位移場，由最小勢能原理(即針對未知位移u2和u3求一階導數)，有：(2-23)09/03/2012(5)計算每個單元的應變和應力在求得了所有的節點位移后，由幾何方程(2-8)(2-8)可求得各單元的應變：(2-24)(2-25)由幾何方程(2-9)可求得各單元的應力：(2-9)(2-26)(2-27)09/03/2012(6)求節點1的支反力就單元①的勢能，對相應的節點位移求極值，可以建立該單元的平衡方程：有：則節點1的外力為：(7)討論如果我們在處理位移邊界條件之前，先對總勢能取極值，由(2-21),有：在方程(2-30)的基礎上再處理位移邊界條件(BC)，即令u1=0,則可從(2-30)中求解出u2、u3和P1，其求解的值與前面的結果完全相同。這就給我們提供了一個方便，即可以先進行各單元的裝配集成，以形成該系統的整體極值方程，類似于(2-30)，最后才處理位移邊界條件，同時也可以通過該整體方程直接求出支反力。這樣可以適應更多的邊界工況條件，更具有通用性。(2-28)(2-29)(2-30)09/03/20125.有限元分析的基本步驟及表達式從上面的簡單實例中，可以總結出有限元分析的基本思路(以桿單元為例)：逼近誤差控制09/03/2012基本步驟及表達式(1)物體幾何的離散化(2)單元的研究(所有力學信息都用節點位移來表達)●單元的節點描述qe=[u1u2…un]●單元的位移場模式(唯一確定性原則，完備性原則)（ξ為幾何坐標位置）●所有物理量的表達(所有力學量都用節點位移來表達)其中●單元的平衡關系(2-38)(2-31)(2-32)(2-33)(2-34)(2-35)(2-36)(2-37)09/03/2012(3)裝配集成其中：●整體平衡關系(4)處理BC并求解節點位移目的是獲得滿足位移邊界條件的許可位移場。其中：qu為未知節點位移，qk為已知節點位移，pu為未知節點力(即支反力)，pk為已知節點力將(2-40)可以寫成以下兩個方程表達式：可以先由(2-41)直接求出未知節點位移：(2-39)(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)09/03/2012(5)求支反力在求出未知節點位移qu后，由上面的(2-42)可求出支反力。(6)其他力學量的計算由(2-34)和(2-35)可計算單元和整體的應變及應力，即(2-44)(2-45)(2-46)09/03/20126.有限元解的收斂性在有限單元法中，場函數的總體泛函是由單元泛函集成的。如果采用完全多項式作為單元的插值函數(即試探函數)，則有限元解在一個有限尺寸的單元內可以精確地和真正解一致。但在實際上，有限元的試探函數只能取有限項多項式，因此有限元解只能是真正解的一個近似解答，我們需要研究在什么條件下，當單元尺寸趨于零時，有限元解趨于真正解。

上面說的真正解我們稱為真實解，真正解的那個近似解答稱為有限元解，有限元解趨近于真實解的過程為計算過程，最后的結果如果能趨近于真實解，我們稱之為收斂，否則為不收斂。真實解有限元解收斂過程09/03/2012收斂準則：準則1完備性要求。如果出現在泛函中場函數的最高階導數是M階，則有限元解收斂的條件之一是單元內場函數的試探函數至少是M次完全多項式。單元的插值函數滿足上述要求時，我們稱單元是完備的。準則2協調性要求。如果出現在泛函中場函數的最高階導數是M階，則試探函數在單元交界面必須具有Cm-1連續性，即在相鄰單元的交界面上應有函數直至m-1階的連續導數。當單元的插值函數滿足上述要求時，我們稱單元是協調的。09/03/2012創建參數化的CAD幾何模型輸出幾何模型創建網格結果導入前處理器求解

清潔幾何模型指定邊界條件7.有限元軟件應用流程FEA求解器ANSYSNASTRANABAQUSLS-DYNACFXFluent...........Workbench分析數據管理設計數據管理Pro/EUnigraphicsCatiaSolidWKSolidEGMDTInventor…….CAD軟件參數零件/裝配/參數CAE結果CAE模型WEB數據管理09/03/2012作業：認真總結并熟練掌握有限元分析的基本步驟及表達式，并以三節點單元為例分析有限元計算過程。聽著有點暈！09/03/2012基于DYNAFORM的汽車覆蓋件沖壓仿真研究汽車車身外形是由許多輪廓尺寸較大且具有空間曲面形狀的覆蓋件焊接而成,汽車覆蓋件沖壓成形質量的好壞直接關系到各部件的裝配,從而影響到整車的質量?？梢哉f,汽車車身沖壓成形一定程度上代表了整車的制造水平。隨著計算機技術及有限元技術的發展,應用數值仿真方法對板料成形過程進行計算機模擬,以替代實際試模,為覆蓋件工藝設計、模具設計提供可靠的判據和合理的工藝參數,已成為當前覆蓋件工藝設計、模具設計中的一種重要手段。

板料沖壓計算機仿真的核心是應用數值方法來分析和研究金屬板料塑性成形問題。作為數值分析方法中應用最廣并且最具有生命力一種方法,有限元法成為目前板料成形數值分析最有效的方法。隨著數值分析技術、塑性成形理論和計算機能力發展,以及對沖壓過程越來越深刻的認識和理解,從上世紀七十年代后期開始,經過二十多年的發展,板料成形數值模擬逐步完善。

板料成形的模擬從數值計算上分析是一個高度非線形的問題,涉及到材料、幾何和接觸非線形。在實際數值計算中一般采用更新拉哥朗日法和數率型的本構關系去處理成形過程中的大應變、大轉動問題。采用逐級更新Lagrange法是彈塑性有限元基礎.1.引言09/03/2012

對覆蓋件的沖壓成形進行計算機仿真,主要包括兩部分:第一,建立覆蓋件的CAD模型,有兩種方式,一種是運用Dyanform的前處理功能直接建立,另一種是運用3D軟件(如Pro/E、UG、CATIA等)建立覆蓋件的曲面模型,再以一定的數據格式(如igs,UG的*.prt

文件等)將零件模型導入Dynaform;第二,在建好的CAD模型的基礎上建立有限元模型,進行有限元的前處理、有限元分析和仿真結果分析。進行板料成形過程有限元仿真的過程如圖所示。2.沖壓成形仿真流程09/03/20121)在三維建模軟件(如PRO/E,UG,CATIA等)中建立零件的曲面模型,然后將零件模型導入沖壓仿真軟件Dyanform

中。2)根據所使用的沖壓設備設置拉延類型,并定義接觸方式和接觸間隙。3)在沖壓過程的力學模型基礎上劃分有限元網格,構建有限元模型。如果零件曲面模型中不包括工藝補充面部分,還可以應用Dynaform

提供的模面設計功能,生成零件的工藝補充面。由于Dynaform

的網格自動劃分功能并不能保證完全符合LSDYNA求解器的要求,在網格劃分完成后,要求檢查網格的質量并修補不合格的單元。4)根據選擇的拉延類型,定義成形工具(如凹模,凸模,壓邊圈等),建立分析模型。5)根據零件的材料選擇合適的材料模型及單元公式,然后進行毛坯尺寸計算。利用DYNAFORM的一步成形法估算坯料尺寸和形狀,得到坯料的邊界輪廓,并利用該邊界輪廓生成毛坯的網格單元模型。6)定義拉深筋,設置拉延筋可以改善金屬的流動情況,克服起皺和波紋等現象,提高沖壓件質量。在成形數值模擬中,拉延筋有兩種實現方法:一種是建立真實的拉延筋幾何模型,這種計算方法計算精度高,但計算時間長,另一種是建立等效拉延筋模型,即用等效的約束邊界條件來代替實際拉延筋的影響,這種方法計算效率高,調整方便,應用較為廣泛。在DYNAFORM中,采用等效拉延筋模型方法。7)設置成形參數,如載荷,模具的運動控制,邊界條件以及時間步長的設置等。09/03/20128)提交求解器,分析計算9)后置處理。進入DYNAFORM的后處理窗口,讀取仿真結果文件d3plot,以動畫形式顯示凸凹模、板料和壓邊圈的運動情況,并檢查其合理性。并就應力應變和厚度的云圖和等值線圖,觀察應力應變的分布情況和厚度變化情況,通過成形極限圖(FLD)查看板料的起皺、破裂等成形情況,通過坯料與工具的距離觀察坯料與工具的接觸情況,以及通過板料的流動圖查看材料的流動情況。最后評估仿真結果,根據仿真結果修改模型直到計算結果符合要求。09/03/20123基于DYNAFORM的數值模擬技術實例例一：一個覆蓋件如圖：（1）分析該零件工藝性。如右圖所示，零件曲面形狀復雜，一小部分曲率變化較急，但零件大部分表面平坦，拉深深度較小。故此零件的拉深工藝性較好。（2）劃分網格。網格的劃分應該正確反映結構的受力和變形情況，粗細稠密選擇要適當，網格劃分完后，需要對網格進行檢查，并對有缺陷的網格進行修補。如圖為凹模和板料的網格模型。（3）沖壓方向的選擇。沖壓方向的選擇一般根據用戶的經驗決定，也可以參考TIPPING命令中的最小拉伸深度和最小過切來調節沖壓方向，或者運用Auto-Tipping命令自動調整方向。09/03/2012（4）工藝參數的選擇。沖壓方向的選擇可按照DYNAFORM中Auto-Tipping命令自動調整方向。先不布置拉延筋，可等第一次分析后，根據模擬結果，決定是否需要加拉延筋，拉延筋的位置和尺寸參數。（5）分析模型的建立。將各單元集分別定義為凹凸模、板料和壓邊圈。設置好模具、板料和壓邊圈之間的相對位置，并定義它們之間的接觸類型、參數和運動曲線，設置必要的工藝參數。板料厚度為1.5mm。材料選用材料庫中的materialtype36，材質為08F鋼，其彈性模量E=2.0