隨機變量的數學期望一、數學期望的概念

二、隨機變量函數的數學期望

三、數學期望的性質

四、應用實例一、數學期望的概念1.問題的提出

1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念—數學期望

A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現意外情況,在A勝2局、B勝1局時,不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?引例1分賭本問題(產生背景)A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、B勝1局)與上述結果相結合,即A、B賭完五局:AAAB

BABBA勝B勝分析假設繼續賭兩局,則結果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負A勝B負A勝B負B勝A負B勝A負A勝B負B勝A負B勝A負因此,A能“期望”得到的數目應為而B能“期望”得到的數目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應獲得賭金的而B只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設隨機變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:

設某教練員有甲、乙兩名射擊運動員,現需要選拔其中的一名參加運動會,根據過去的記錄顯示,二人的技術水平如下:

乙射手

甲射手試問哪個射手技術較好?引例2選拔運動員解運動員的水平是通過其平均水平來衡量的,故甲射手的技術比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手乙射手引例3

加權平均成績為該生各門課程的算術平均成績.

設某學生四年大學各門功課成績分別為其學分分別為,則稱

顯然算術平均成績是加權平均成績的一種而為該生的加權平均成績.,可見加權平均才充分的體現了特例,即平均值的意義.通過上述3個引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機變量的數學期望若級數,則稱絕對收斂,即級數的和為隨機變量X的數學期望,記為EX,即定義1設離散型隨機變量

X的分布律為注1o

EX是一個實數,而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同,它從本質上體現了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.注2o

級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數學期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.設隨機變量X服從參數為n,p二項分布,例1(二項分布)設隨機變量X~Bn,p,求EX.解則有3.常見離散型隨機變量的數學期望其分布律為同時可得兩點分布B1,p的數學期望為p.

np解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數學期望為.設X

,且其分布律為設隨機變量XP(),求EX.解這是因為例3(幾何分布)

設隨機變量X的分布律為則有設隨機變量X服從幾何分布,求E(X).常見離散型分布的數學期望小結4.連續型隨機變量數學期望的定義定義3.2設連續型隨機變量X的分布密度為則稱積分的值為隨機變量X的即數學期望,px,記為EX,即例4(均勻分布)解則有5.常見連續型隨機變量的數學期望設隨機變量X服從均勻分布,因而均勻分布數學期望位于區間的中點.求E(X).則有解例5

(正態分布)設隨機變量

,求EX.設

,其分布密度函數所以令因而參數為正態分布的數學期望.例6(指數分布)求EX.解解例7(伽瑪分布)當1時,X服從指數分布Exp,這時

設隨機變量X

,則密度函數為設隨機變量X,求EX.常見連續型分布的數學期望小結(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩解電子元件的壽命X(年）服從參數為3的指數分布.例1(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少？二、隨機變量函數的數學期望(一)一維隨機變量函數的數學期望

1.問題的提出XE(X)數學期望f是連續函數,f(X)是隨機變量,如:aX+b,X2等等.f(X)數學期望如何計算隨機變量函數的數學期望?方法1

(定義法):

f(X)是隨機變量,按照數學期望的定義計算Ef(X).2.一維隨機變量函數數學期望的計算關鍵:由X的分布求出f(X)的分布.見2.3節的相關內容難點:一般f(X)形式比較復雜的,很難求出其分布.方法2(公式法):定理3.1

設X是一個隨機變量,Yf(X),則

當X為離散型時,P(Xxk)pk,(k

1,2,…);當X為連續型時,X的密度函數為p(x).求E[f(X)]時,只需知道X的分布即可.

對于二維隨機變量而言,其函數的數學期望計算方法可以由類似于定理3.1得到.

1.二維離散型情形(二)二維隨機變量函數的數學期望設X,Y為二維離散型隨機變量,ZfX,Y為二元函數,如果EZ存在,其中X,Y的聯合概率分布為pij

.2.二維連續型情形設X,Y為二維連續型隨機變量,ZfX,Y為二元連續函數,如果EZ存在,則其中X,Y的聯合概率密度為px,y.例

10設X,Y的分布律為解

X的分布律為求EX,EY,因為(X,Y)的分布律為Y的分布律為Y/X的分布律為計算可得5.例11設XN(0,1),YN(0,1),X

與Y相互獨立,解(作極坐標變換)三、數學期望的性質性質3.1

設C是常數,則有ECC.證性質3.2

設X是一個隨機變量,C是常數,則有證性質3.3

設X、Y是兩個隨機變量,則有證推廣性質3.4

設X、Y是相互獨立的隨機變量,則有注

連續型隨機變量X的數學期望與離散型隨機變量數學期望的性質類似.上述證明只證了一類.證例12解旅客有9個車站可以下車.到達一個車站,如沒有旅客下車就不停車,以X表示停車的次數,求EX(設每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設各旅客是否下車相互獨立).引入隨機變量Xi,一民航送客車載有25位旅客自機場開出,解例13且X,Y,Z相互獨立,求隨機變量W2X+3Y4Z1

的數學期望.設隨機變量X~N0,1,Y~U0,1,

Z~B5,0.5,四、應用實例廠家的銷售策略按規定:出售的設備在售出的一年內損壞可予以調換.若出售一臺設備贏利100元,調換一臺設備廠方需花費300元.求廠方出售一臺設備凈贏利Y的數學期望.解依題設,有某設備壽命X(以年計)服從的指數分布.壽命不超過1年的概率＝出售的設備在售出一年之內調換的概率壽命超過1年的概率＝不需調換的概率因此出售一臺設備凈贏利Y的分布律為.發行彩票的創收利潤

某一彩票中心發行彩票10萬張,每張2元.設頭等獎1個,獎金1萬元,二等獎2個,獎金各5千元;三等獎10個,獎金各1千元;四等獎100個,獎金各1百元;五等獎1000個,獎金各10元.每張彩票的成本費為0.3元,請計算彩票發行單位的創收利潤.解設每張彩票中獎的數額為隨機變量X,則每張彩票平均能得到獎金因此彩票發行單位發行10萬張彩票的創收利潤為0.5(元).每張彩票平均可賺20.50.31.2(元).如何確定投資決策方向?

某人現有10萬元現金,想投資于某項目,為期