目錄第一章因式分解1因式分解22提公因式法4第1課時提公因式法因式分解(1)4第2課時提公因式法因式分解(2)63公式法8第1課時用平方差公式因式分解8第2課時用完全平方公式因式分解10第3課時綜合運用提公因式法和公式法因式分解12第二章分式與分式方程1認識分式15第1課時分式的概念15第2課時分式的基本性質與約分172分式的乘除法19第1課時分子分母為單項式的分式的乘除法19第2課時分子分母為多項式的分式的乘除法213分式的加減法23第1課時同分母分式的加減法23第2課時異分母分式的加減法25第3課時分式的混合運算274分式方程29第1課時分式方程及其解法29第2課時分式方程的應用(1)31第3課時分式方程的應用(2)33第三章數據的分析1平均數362中位數與眾數393從統計圖分析數據的集中趨勢424數據的離散程度45第1課時方差與標準差45第2課時方差的實際應用48第四章圖形的平移與旋轉1圖形的平移51第1課時平移的定義和性質51第2課時圖形平移與坐標變化532圖形的旋轉55第1課時圖形的旋轉55第2課時與旋轉有關的證明573中心對稱604圖形變化的簡單應用62第五章平行四邊形1平行四邊形的性質65第1課時平行四邊形的定義及邊、角的性質65第2課時平行四邊形對角線的性質及平行線間的距離672平行四邊形的判定69第1課時平行四邊形的判定69第2課時平行四邊形的性質、判定的綜合應713三角形的中位線734多邊形的內角和與外角和75第1課時多邊形的內角和75第2課時多邊形的外角和77第一章因式分解主題因式分解課型新授課上課時間教學內容1因式分解;2提公因式法;3公式法教材分析本章教材是在學生學習了整式運算的基礎上提出來的,事實上,它是整式乘法的逆向運用,與整式乘法運算有密切的聯系.因式分解的變形不僅體現了一種“化歸”的思想,而且也是解決后續分式的化簡、解方程等恒等變形的基礎,為數學交流提供了有效的途徑.因式分解這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用.本章要適當把握好對因式分解的教學要求．新課程標準降低了對因式分解的要求，教學中要注意控制難度，避免技巧性過強的題目．“十字相乘法”進行因式分解是高中階段常用的變形技巧，可給學有余力的學生進行適當補充．教學目標1.經歷探索因式分解方法的過程，體會數學知識之間的整體聯系（整式乘法與因式分解之間的聯系）.2.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數為正整數）.教學重難點重點:運用提公因式法和公式法因式分解是學習本章內容的一個重要目標.難點:探索因式分解的方法的活動中,教師要通過對整式乘法與因式分解之間的互逆關系的探究過程培養學生有條理的思考、表達與交流的能力,引導學生在活動中運用類比的思想進行思考.知識結構課題1因式分解課時1課時上課時間教學目標1.了解因式分解的意義,理解因式分解的概念.認識因式分解與整式乘法的相互關系——互逆關系,并能運用這種關系尋求因式分解的方法.2.由學生自主探索解題途徑,在此過程中,通過觀察、類比等手段,尋求因式分解與因數分解之間的關系,培養學生的觀察能力,進一步發展學生的類比思想.由整式乘法的逆運算過渡到因式分解,發展學生的逆向思維能力.通過對因式分解與整式的乘法的觀察與比較,培養學生的分析問題能力與綜合應用能力.3.初步感受對立統一的辨證觀點以及實事求是的科學態度.教學重難點重點:1.理解因式分解的意義.2.識別因式分解與整式乘法的關系.難點:通過觀察,歸納因式分解與整式乘法的關系.教學活動設計二次設計課堂導入計算(a+b)(a-b)=a2-b2.這是大家學過的平方差公式,我們是在整式乘法中學習的.從式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看,由等號左邊可以推出等號右邊,那么從等號右邊能否推出等號左邊呢?即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢?a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的,那么如何去推導呢?這就是我們即將學習的內容:因式分解的問題.探索新知合作探究自學指導自學課本P2~4,嘗試完成習題.合作探究1.討論993-99能被100整除嗎?你是怎樣想的?與同伴交流.2.議一議你能嘗試把a3-a化成n個整式的乘積的形式嗎?與同伴交流.大家可以觀察a3-a這個代數式.a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1).3.做一做(1)計算下列各式:①(m+4)(m-4)=;②(y-3)2=;③3x(x-1)=;④m(a+b+c)=;⑤a(a+1)(a-1)=.

(2)根據上面的算式填空:①3x2-3x=()();②m2-16=()();③ma+mb+mc=()();④y2-6y+9=()2;⑤a3-a=()()().能分析一下兩個題中的形式變換嗎?在(1)中我們知道從左邊推右邊是整式乘法;在(2)中從左邊推右邊是因式分解.結論:把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.4.辨一辨下列變形是因式分解嗎?為什么?(1)a+b=b+a;(2)4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1;(3)a(a-b)=a2-ab;(4)a2-2ab+b2=(a-b)2.(5)x2-3x+1=x(x-3)+1;(6)2m(m-n)=2m2-2mn.續表探索新知合作探究教師指導1.易錯點因式分解不徹底.2.歸納小結(1)因式分解與整式的乘法是一種互逆關系.(2)因式分解的結果要以積的形式表示.(3)必須分解到每個多項式不能再分解為止.3.方法規律在理解因式分解概念的基礎上,有意識地培養學生知識遷移的數學能力,如類比思想、逆向運算能力等.當堂訓練1.下列各式從左到右的變形是因式分解的是()(A)a(a-b)=a2-ab()a2-2a+1=a(a-2)+1(C)x2-x=x(x-1)(D)x2-1y·y=x+1yx-12.若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m=,n=.

3.下列變形是因式分解嗎?為什么?(1)4x2+4x+1=(2x+1)2;(2)3a2+6a=3a(a+2);(3)x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x;(4)18a3bc=6a2b·3ac.(5)(m+n)(a+b)+(m+n)(x+y)=(m+n)(a+b+x+y).4.連一連:a2-1(a+1)(a-1)a2+6a+9 (3a+1)(3a-1)a2-4a+4 a(a-b)9a2-1 (a+3)2a2-ab (a-2)2板書設計因式分解1.討論993-99能被100整除嗎?2.議一議3.做一做4.辨一辨教學反思關于如何上好數學概念課一直是數學教學中熱點討論的話題,也是難題,而真正有效的數學概念課教學要讓學生從根本上理解概念的意義,并學會靈活運用.本節課以學生的思維進程發展為主線,采用逐步滲透,螺旋式類比方法,在概念引入時,從分解因數到分解因式的類比,到概念強化階段,又以整式乘法與分解因式的過程類比,因式分解過程中正反兩例的類比,逐漸加深學生的認識,主要體現在從一開始一連串的知識性問題引入,到后來環節中多次提出思考性的問題,啟發、引導學生做進一步的猜想、探究,這種循序漸進的思維進程有助于學生理解接受新知識.課題2提公因式法課時第1課時上課時間教學目標1.了解多項式公因式的意義,會用提公因式法因式分解公因式是單項式的多項式.經歷從簡單到復雜的螺旋式上升的認識過程.2.通過找公因式,培養學生的觀察能力.從提取的公因式是一個單項式因式分解,發展學生的類比思想.3.提公因式法因式分解時,先讓學生自己找公因式,然后大家討論結果的正確性,讓學生養成獨立思考的習慣.能合理地進行因式分解的推導,并能清晰地闡述自己的觀點.教學重難點重點:能觀察出多項式的公因式,并根據分配律把公因式提出來.難點:識別多項式的公因式.教學活動設計二次設計課堂導入1.計算:(1)m(a+b+c)=;(2)x(3x-6y+1)=.

2.簡便方法計算:12×34+12×32+12探索新知合作探究自學指導閱讀課本P5例1上面部分,回答以下問題.(1)多項式ab+bc中,各項由哪些因式組成?各項有相同的因式嗎?(2)多項式3x2+x各項含有的相同因式是什么?多項式mb2+nb-b呢?(3)多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的.

(4)多項式2x2+6x3中各項的公因式是什么?(5)如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以,從而將多項式化成,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

合作探究1.找出下列多項式的公因式,嘗試把它提出來,從而將下列多項式進行因式分解:(1)ab+ac;(2)x2+4x;(3)mb2+nb-b.2.合作討論:(1)提公因式法因式分解的步驟是什么?(2)提公因式法因式分解要注意什么?(3)提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系?3.寫出下列多項式各項的公因式.(1)2a2+6a3;(2)am+2bm;

(3)6xy3-12xy2;(4)9n2-12n;

(5)5xy+9xy2.

4.例題解析[例題]把下列各式因式分解.(1)3x+x3;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab.總結:要做到準確迅速地確定公因式,需考慮以下因素:(1)公因式系數是各項系數的最大公約數;(2)公因式中的字母是各項都含有的字母;(3)公因式中的字母的次數是各項相同字母的最低次冪;(4)若有某項與公因式相同時,該項保留的因式是1,而不是0;(5)第一項有負號,先把負號作為公因式的符號;續表探索新知合作探究(6)多項式也可能作為項的一個公因式,各項均含有的相同的多項式因式,也可把它作為一個整體提出.歸納:提取公因式的步驟:①找公因式;②提公因式.易出現的問題:①第二題只提出7x作為公因式;②第(3)題中的最后一項提出ab后,漏掉了“+1”;教師指導1.易錯點(1)提公因式后括號內的多項式的項數與原多項式的項數要相同.(2)如果多項式的某一項的系數是“1”,則先提取公因式后,易漏掉了“+1”.2.歸納小結(1)確定公因式的方法①定系數;②定字母;③定指數.(2)提公因式法因式分解第一步,找出公因式;第二步,提公因式(把多項式化為兩個因式的乘積).3.方法規律提公因式法因式分解:(1)多項式是幾項,提公因式后也剩幾項.(2)當多項式的某一項和公因式相同時提公因式后剩余的項是1.當堂訓練1.若x2-kx+ab=(x+a)(x+b),則k的值為()(A)a+b ()-a-b (C)a-b (D)b-a2.多項式a2x2+ay—a3xy2的公因式是()(A)a2 ()a (C)ax (D)ay3.多項式14abx-8ab2x+2ax各項的公因式是.

4.把下列各式因式分解:(1)2x2-4x;(2)8m2n+2mn;(3)a2x2y-axy2;(4)-24x2y-12xy2+28y3.5.利用因式分解進行計算.121×0.13+12.1×0.9-12×1.21.板書設計提公因式法因式分解(1)1.公因式與提公因式法因式分解的概念2.例題講解3.議一議(找公因式的一般步驟)4.想一想(方法規律)教學反思由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形,它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡,比如在以后將要學習的分式運算、解分式方程、二次根式化簡等中都要用到因式分解的知識.因此應該注重因式分解的概念和方法的教學.本節運用類比的數學方法,在新概念提出、新知識點的講授過程中,可以使學生易于理解和掌握.如學生在接受提取公因式法時,由提公因數到找公因式,由整式的乘法的逆運算到因式分解的概念,都是利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解.課題2提公因式法課時第2課時上課時間教學目標1.了解多項式公因式的意義,會用提公因式法進行公因式是多項式的因式分解.經歷從簡單到復雜的螺旋式上升的認識過程.2.通過找公因式,培養學生的觀察能力.從提取的公因式是一個單項式過渡到提取的公因式是多項式,進一步發展學生的類比思想.3.養成獨立思考的習慣,同時培養合作交流意識.能合理地進行因式分解的推導,并能清晰地闡述自己的觀點.教學重難點重點:用提公因式法把多項式分解因式.難點:探索多項式因式分解方法的過程.教學活動設計二次設計課堂導入把下列各式分解因式:(1)8mn2+2mn;(2)a2b-5ab+9b;(3)-3ma3+6ma2-12ma;(4)-2x3+4x2-8x.探索新知合作探究自學指導閱讀課本P7例3上面部分,回答以下問題.在下列各式等號右邊的括號前插入“+”或“-”號,使等式成立:(1)2-a=(a-2);(2)y-x=(x-y);

(3)b+a=(a+b);(4)(b-a)2=(a-b)2;

(5)-m-n=(m+n);(6)-s2+t2=(s2-t2).

由以上各題的計算過程總結如下:(1)首先注意分清前后兩個多項式的底數部分是相等關系還是互為相反數的關系;(2)當前后兩個多項式的底數相等時,則只要在第二個式子前添上“+”;(3)當前后兩個多項式的底數部分是互為相反數時,如果指數是奇數,則在第二個式子前添上“-”;如果指數是偶數,則在第二個式子前添上“+”.合作探究1.合作討論:(1)提公因式法因式分解的步驟是什么?(2)提公因式法因式分解要注意什么?(3)提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系?2.寫出下列多項式各項的公因式.(1)2(x+y)2+6(x+y)3;

(2)a(x-5)+2b(x-5);

(3)9(p+q)2-12(q+p);

(4)5(m-2)+9(2-m).

3.例題解析[例1]把a(x-3)+2b(x-3)因式分解.[例2]把下列各式因式分解:(1)a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2.續表探索新知合作探究教師指導1.易錯點(1)提公因式后括號內的多項式的項數與原多項式的項數要相同.(2)如果多項式的第一項帶“-”,則先提取“-”號,然后提取其他公因式.(3)當公因式的指數是奇數時,提公因式時,易出現符號錯誤.2.歸納小結(1)確定公因式的方法①定系數;②定公因式;③定指數.注意:一般地,關于冪的指數與底數的符號有如下規律(填“+”或“-”):(y-x)n=(2)提公因式法因式分解第一步,找出公因式;第二步,提公因式(把多項式化為兩個因式的乘積).3.方法規律提公因式法因式分解:(1)多項式是幾項,提公因式后也剩幾項.(2)當多項式的某一項和公因式相同時提公因式后剩余的項是1.(3)當多項式第一項系數是負數,通常先提出“-”號,使括號內第一項系數變為正數,注意括號內各項都要變號.當堂訓練1.把下列各式因式分解:(1)3a(x-y)-(x-y);(2)a(m-2)+b(2-m);(3)2(y-x)2+3(x-y);(4)-24x2y-12xy2+28y3;(5)x(a+b)+y(a+b);(6)6(p+q)2-12(q+p);(7)mn(m-n)-m(n-m)2;(8)(b-a)2+a(a-b)+b(b-a).2.先分解因式,再計算求值:(2x-1)2(3x+2)-(2x-1)(3x+2)2-x(1-2x)(3x+2),其中x=32板書設計提公因式法因式分解(2)1.確定公因式及多項式的符號2.例題講解3.議一議(找公因式的一般步驟)4.想一想(方法規律)教學反思對學生數學能力及數學思想方法的培養在初中數學教材中盡管沒有專門章節進行訓練,但始終滲透在整個初中數學的教學過程中.由于一些數學問題的解決思路常常是相通的,類比思想可以教會學生由此及彼,靈活應用所學知識,它是初中數學一個重要的數學思想.教學中那種只重視講授表層知識,而不注重滲透數學思想、方法的教學,是不完備的教學,它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握,使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段,難以提高;反之,如果單純強調數學思想和方法,而忽略表層知識的教學,就會使教學流于形式,成為無源之水,無本之木,學生也難以領略深層知識的真諦.因此數學思想的教學應與整個表層知識的講授融為一體.課題3公式法課時第1課時上課時間教學目標1.了解運用公式法因式分解的意義.會用平方差公式進行因式分解.了解提公因式法是因式分解首先考慮的方法,再考慮用平方差公式因式分解.2.經歷用平方差公式因式分解的過程,發展學生的觀察能力和逆向思維能力.通過對應的練習培養學生對平方差公式的運用能力.3.在引導學生逆用乘法公式的過程中,培養學生逆向思維的意識,同時了解換元的思想方法.教學重難點重點:掌握運用平方差公式因式分解的方法.難點:將某些單項式化為平方形式,再用平方差公式因式分解;培養學生多步驟因式分解的能力.教學活動設計二次設計課堂導入1.填空:(1)(x+3)(x-3)=;(2)(4x+y)(4x-y)=;

(3)(1+2x)(1-2x)=;(4)(3m+2n)(3m-2n)=.

2.根據上面式子填空:(1)9m2-4n2=;(2)16x2-y2=;

(3)x2-9=;(4)1-4x2=.

探索新知合作探究自學指導觀察上述第2題式子的左邊有什么共同特征?把它們寫成乘積形式以后又有什么共同特征?結論:a2-b2=(a+b)(a-b).合作探究平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).特征:兩項、平方、異號.一、分解因式(1)9-x2=;(2)4m2-n2=;(3)m3-4mn2=.

二、能力提升:1.x2(y-4)-(y-4)因式分解的正確結果是()(A)(y-4)(x2-1)()(y-4)(x2+1)(C)(y-4)(x+1)(x-1)(D)(y+2)(y-2)(x+1)(x-1)2.下列運算正確的是()(A)a3·a2=a6 ()(a3)2=a5(C)(a+b)(a-b)=a2-b2 (D)(a+b)2=a2+b23.若m為任意整數,(m+11)2-m2的值總可以被k整除,則k的值為.

4.分解因式(1)x2-xy;(2)x2-4x4;(3)36(x+y)2-49(x-y)2;(4)(x2+x+1)2-1;(5)(x-1)+b2(1-x);(6)(x-y續表探索新知合作探究教師指導1.歸納小結多項式各項含有公因式,則第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的結構特點,若符合則繼續進行.第一步因式分解以后,所含的多項式還可以繼續分解,則需要進一步因式分解,直到每個多項式都不能分解為止.注意:因式分解中(1)有公因式(包括負號)則先提取公因式.(2)整式乘法的平方差公式與因式分解的平方差公式是互逆關系.(3)平方差公式中的a與b既可以是單項式,又可以是多項式.2.方法規律讓學生經歷通過整式乘法的平方差公式的逆向運用得出因式分解的平方差公式的過程,發展學生的觀察能力和逆向思維能力,讓學生進一步了解因式分解與整式的乘法運算之間的互逆關系.當堂訓練1.把下列各式因式分解:(1)4-m2;(2)9m2-4n2;(3)a2b2-m2;(4)(m-a)2-(n+b)2;(5)-16x4+81y4;(6)3x3y-12xy.2.如圖,從一塊邊長為a的正方形紙片的四角,各剪去一個邊長為b的正方形.用a與b表示剩余部分的面積,并求當a=3.6,b=0.8時的面積.板書設計用平方差公式因式分解1.推導2.特點3.公式講解4.例題講解教學反思本節課的教學設計借助于學生已有的整式乘法運算的基礎,給學生留有充分探索與交流的時間和空間,讓他們經歷從整式乘法到分解因式的轉換過程并能用符號合理的表示出分解因式的關系式,同時感受到這種互逆變形的過程和數學知識的整體性.有意識的培養學生逆向思考問題的習慣,不僅對提高解題能力有益,更重要的是改善學生學習數學的思維方式,有助于形成良好的思維習慣,激發學生的創新開拓精神,培養良好的思維習性,提高學習效率、學習興趣及思維能力和整體素質.課題3公式法課時第2課時上課時間教學目標1.了解運用公式法因式分解的意義.會用完全平方公式進行因式分解.清楚地知道提公因式法是因式分解首先考慮的方法,再考慮用平方差公式或完全平方公式進行因式分解.2.經歷用完全平方公式因式分解的過程,發展學生的觀察能力和逆向思維能力.通過對應的訓練,培養學生對完全平方公式的運用能力.3.通過觀察,分析因式分解與整式乘法的關系,感受事物間的因果聯系.教學重難點重點:會用完全平方公式進行因式分解.難點:對完全平方公式的運用能力.教學活動設計二次設計課堂導入1.填空:(1)(a+b)(a-b)=;(2)(a+b)2=;

(3)(a-b)2=.

2.根據上面式子填空:(1)a2-b2=;(2)a2-2ab+b2=;

(3)a2+2ab+b2=.

結論:形如a2+2ab+b2與a2-2ab+b2的式子稱為完全平方式.探索新知合作探究自學指導觀察下列哪些式子是完全平方式?如果是,請將它們進行因式分解.(1)x2-4y2;(2)x2+4xy-4y2;(3)4m2-6mn+9n2;(4)m2+6mn+9n2.結論:找完全平方式可以緊扣下列口訣:首平方、尾平方,首尾相乘兩倍在中央.完全平方式可以進行因式分解,a2-2ab+b2=(a-b)2;a2+2ab+b2=(a+b)2.合作探究[例1]把下列完全平方式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9;(3)x2+2xy+5y2+4y+1.先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式,然后再根據公式因式分解.公式中的a,b可以是單項式,也可以是多項式.[例2]把下列各式因式分解:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.續表探索新知合作探究一個三項式,如果發現它不能直接用完全平方公式分解時,要仔細觀察它是否有公因式,若有公因式應先提取公因式,再考慮用完全平方公式因式分解.如果三項中有兩項能寫成兩數或式的平方,但符號不是“+”號時,可以先提取“-”號,然后再用完全平方公式因式分解.教師指導1.歸納小結多項式同時具備條件:(1)含字母a和b;(2)三項式;(3)可提公因式后,再用公式法分解.注意:(1)有公因式則先提取公因式.(2)整式乘法的完全平方公式與因式分解的完全平方公式是互逆關系.(3)完全平方公式中的a與b既可以是單項式,又可以是多項式.2.方法規律整式乘法中的完全平方公式從左到右轉換為從右到左就形成因式分解的完全平方公式,這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的能力的體現.當堂訓練1.下列多項式能用完全平方公式因式分解的是()(A)m2-mn+n2 ()(a+b)2-4ab(C)x2-2x+14 (D)x2+2x-2.如果x2+6x+k是一個完全平方式,那么k的值是.

3.把下列各式因式分解:(1)x2-4x+4;(2)9a2+6ab+b2;(3)m2-23m+1板書設計用完全平方公式因式分解1.推導用完全平方公式因式分解的公式以及公式的特點2.例題講解:例1例2教學反思本節課我們學習了運用公式法分解因式的第二種方法,即逆用完全平方公式分解因式的方法,使用該方法的關鍵就是觀察完全平方式的結構特征:兩數的平方和與這兩個數的乘積的2倍,具體應用時要特別關注第二項的符號.把一個多項式進行因式分解的一般方法是:先看有無公因式可提取,然后嘗試用公式法分解因式,直到最終結果再也不能分解因式為止.課題3公式法課時第3課時上課時間教學目標1.了解綜合運用提公因式法與公式法因式分解的意義.學會綜合運用提公因式法與公式法進行因式分解.使學生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考慮的方法,再考慮用平方差公式或完全平方公式進行因式分解,如果不行需要去括號合并同類項,然后進行分解因式.2.經歷綜合運用提公因式法與公式法進行因式分解的過程,發展學生的觀察能力、分析能力和逆向思維能力.通過對應的訓練,培養學生對綜合運用提公因式法與公式法進行因式分解的運用能力.3.感受事物間的因果聯系,養成敢于動手的能力.教學重難點重點:會綜合運用提公因式法與公式法進行因式分解.難點:對綜合運用提公因式法與公式法進行因式分解的運用能力.教學活動設計二次設計課堂導入1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式:a2-2ab+b2=(a-b)2;a2+2ab+b2=(a+b)2.根據上面式子填空:(1)a3-ab2=;(2)3a2-6ab+3b2=;

(3)10a2b+20ab2+10b3=.

2.多項式x(x+6)+9能進行因式分解嗎?去括號,得x2+6x+9,對于上式是三項式,可以運用完全平方公式進行分解,所以x(x+6)+9=x2+6x+9=(x+3)2.結論:對于有括號的多項式,可以先去括號,再進行因式分解.探索新知合作探究自學指導觀察下列哪些式子可以進行因式分解?(1)x2-(3x+4y2)+3x;(2)x2+(2xy-4y2);(3)6m2-6mn+9n2-2m2;(4)m(m-10)-10(10-m).結論:先去括號,然后再提公因式或利用公式分解.合作探究[例1]把y(y+4)-4(y+1)因式分解.先把多項式去括號合并同類項,然后再根據具體情況因式分解.[例2]把(x2+1)2-4x2因式分解.續表探索新知合作探究一個兩項式,如果發現它里面有多項式時,把多項式看作一個整體,要仔細觀察它是否有公因式,若有公因式應先提取公因式,再考慮用平方差平方公式因式分解.但分解后要看每一個括號內的多項式是否分解徹底,可以分解的要繼續分解,直到分解到不能分解為止.教師指導1.易錯點(1)沒有去括號合并同類項,直接認為不能分解因式.(2)進行第一次分解后,沒有分析括號內的多項式是否分解徹底.2.歸納小結因式分解的步驟:(1)提公因式;(2)套公式;(3)去括號合并同類項后,再進行因式分解.3.方法規律整式乘法和因式分解互為逆運算,這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的能力的體現.當堂訓練1.-ax2+2axy-ay2的一個因式是x-y,則另外的因式是.

2.把下列各式因式分解:(1)8(a2+1)-16a;(2)9a3+6a2b+ab2;(3)m2n2-0.25(m2+n2)2; (4)x2+3x(x-3)-9;(5)(x2+y2)(x2+y2-8)+16.板書設計綜合運用提公因式法和公式法因式分解1.綜合運用提公因式法和公式法進行因式分解2.例題講解例1例2教學反思把一個多項式進行因式分解的一般方法是:先看有無公因式可提取,然后再嘗試用公式法分解因式,如果有括號先去括號,直到最終結果再也不能分解因式為止.運算類型的課往往比較枯燥,學生容易產生浮躁的心理,不利于知識的掌握與運算能力的提高.本節課的設計盡量做得平實無華,將新知教學層層深入,適當的鞏固練習,每一個環節讓學生感覺不吃力.同時設計過程中注意題型的變化,引導學生暴露學習中的問題,這樣易于激發學生的興趣,使學生的思維不斷被拓展,從而達到強化所學知識和提高能力的目的.第二章分式與分式方程主題分式與分式方程課型新授課上課時間教學內容1認識分式;2分式的乘除法;3分式的加減法;4分式方程教材分析1．類比分數學習方式分數與分式是具體與抽象、特殊與一般的關系，分式的研究內容、路徑和方法與分數的內容、路徑和方法具有很強的可類比性、一致性，這是數式通性的反映，所以要重視兩者的聯系，要通過適當的問題情境，引導學生通過類比分數，構建研究分式的研究路徑，發現和提出值得研究的數學問題，如分式的概念、性質和運算法則，幫助學生把握好本章內容．2．培養學生良好的運算習慣分式的運算具有綜合性和復雜性，在式的運算中具有特殊地位，是訓練學生運算技能的重要載體．教學中要通過適當的練習，讓學生總結出運算方法和步驟，例如：分子、分母是多項式時，通常先分解因式，再約分；混合運算的順序是：先乘方，再乘除，然后加減；等等．3．重視分式、分式方程與實際的聯系以分式、分式方程為工具分析和解決實際問題，是提高學生建立數學模型解決實際問題能力的契機．列方程歷來是教學中的難點，教學中，可以從多角度幫助學生進行思考，例如借助圖形、表格、式子等進行分析，尋找等量關系，檢驗解的合理性等等．教學目標1.了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質進行約分和通分；能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.2.能根據現實情境理解分式方程的意義，能針對具體問題列出分式方程.3.能解可化為一元一次方程的分式方程.4.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.教學重難點重點:1.分式的基本性質的理解和掌握.2.會進行分式的乘除運算.3.分式加減法的法則的形成過程及靈活運用法則進行計算.4.分式方程的解法及靈活應用分式方程解決實際問題.難點:1.分式方程的解法及靈活運用所學的知識解決問題.2.分式方程的增根,列出可化為一元一次方程的分式方程解應用題.知識結構課題1認識分式課時第1課時上課時間教學目標1.認識分式并能概括分式的意義.2.通過回憶分數的意義,類比探索分式的意義.3.滲透數學中的類比、分類討論等數學思想.教學重難點重點:1.了解分式的概念,明確分式和整式的區別.2.經歷用字母表示實際問題中數量關系的過程,體會分式是表示現實世界中的一類量的數學模型.難點:分式有意義、無意義、值為零三者的區別.教學活動設計二次設計課堂導入1.問題:下列式子中哪些是整式?a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,2m-n,kyy,a92.問題情境(1):面對日益嚴重的土地沙化問題,某縣決定分期分批固沙造林,一期工程計劃在一定期限內固沙造林2400公頃,實際每月固沙造林的面積比原計劃多30公頃,結果提前完成一期原計劃的任務.這一問題中有哪些等量關系?如果設原計劃每月固沙造林x公頃,那么原計劃完成一期工程需要個月,實際完成一期工程用了個月.

問題情境(2):文林書店庫存一批圖書,其中一種圖書的原價是每冊a元,現每冊降價x元銷售,當這種圖書的庫存全部售出時,其銷售額為b元.降價銷售開始時,文林書店這種圖書的庫存量是多少?探索新知合作探究自學指導問題情境(1)(2)中出現的代數式如下,它們有什么共同特征?它們與整式有什么不同?2400x,2結合課本,通過觀察、歸納,總結出整式與分式的異同,從而得出分式的概念.合作探究[例1]當a=1,2時,分別求分式a+12[例2]當a取何值時,分式a+12教師指導1.易錯點(1)分式中的字母可以表示使分式有意義的任何數.(2)分式可與分數類比,分式的分母也不能為零.分母可能是單項式,也可能是多項式.續表探索新知合作探究2.歸納小結(1)分式無意義的條件:分母等于零.(2)分式有意義的條件:分母不等于零.(3)分式的值為零的條件:分子等于零且分母不等于零.3.方法規律在學習新知識時,可把它與所學的舊知識比較,通過觀察、類比、歸納它們的異同的方法來學習新知識.當堂訓練1.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?①5x-7,②3x2-1,③b-32a+1,④m(n+p)2.當x取何值時,分式x2+13.當x為何值時,分式x+23板書設計分式的概念1.分式的概念2.分式有意義的條件3.分式值為0的條件教學反思在學習分式的概念時,在教學中應避免對于概念直接給出,讓學生死記硬背,從而忽略了學生學的過程,應考慮學生是否真正理解.本課時是讓學生通過觀察、歸納、總結整式與分式的異同,從而得出分式概念.在學習中,要注意觀察學生的情感變化,是否遇到困難,積極性、熱情是否發揮出來,投入的程度有多少,是否每個學生都參與其中等等,作為教師應時刻關注這些,以便適時的引導他們,調動他們,鼓勵他們.課題1認識分式課時第2課時上課時間教學目標1.掌握分式的基本性質,掌握分式約分的方法,熟練進行約分并了解最簡分式的意義.2.理解分式約分的意義,掌握分式約分的方法及步驟.3.能通過回憶分數的意義,類比地探索分式的性質,滲透數學中的類比、分類等數學思想.教學重難點重點:理解并掌握分式的基本性質.難點:靈活運用分式的基本性質和變號法則進行分式的恒等變形.教學活動設計二次設計課堂導入中國古代的數學論著中就有對“約分”的記載,如《九章算術》中就曾記載“約分術”,并給出了詳細的約分方法,這節課我們就來學習分式化簡的相關知識,下面先來探索分式的基本性質.探索新知合作探究自學指導類比分數的基本性質,由學生總結出分式的基本性質:分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變,即ba=b·ma·m,ba=合作探究[例1]下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的?(1)a2b=ac2bc(c≠0);(2)由學生口述分析,并反問:為什么c≠0?學生口答,教師設疑:為什么題目未給x≠0的條件?(引導學生學會分析題目中的隱含條件)[例2]填空:(1)a+bab=()a2b;(3)9mn236n3=m()把學生分為四人一組開展比賽,看哪個組做得又快又準確,并能小結出填空的依據.教師給出定義:把分式分子、分母的公因式約去,這種變形叫分式的約分.問:分式約分的依據是什么?需要注意什么?教師指出:一般約分要徹底,使分子、分母沒有公因式.徹底約分后的分式叫最簡分式.教師指導1.歸納小結(1)分式的基本性質:AB=A·CB·C,AB=A÷CB÷續表探索新知合作探究(2)分式的基本性質中“分式的值不變”表示分式的基本性質是恒等變形.為了使分式的值不變,必須注意分式基本性質中的“都”和“同一個”,這是不能忽視的兩點.2.方法規律(1)由分式的基本性質我們可以總結出分式的符號法則:分式的分子、分母和分式本身的符號,改變其中的任何兩個,分式的值不變.(2)分式的約分是對分式的分子與分母整體進行的約分,分式的分子和分母必須都是乘積的形式,才能進行約分,約分后的結果可能是整式.當堂訓練1.下列分式是最簡分式的是()(A)2a2+aab (C)x2-1x+1 2.不改變分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”號.(1)-3b(2)5y-(3)-a板書設計分式的基本性質與約分1.分式的基本性質2.符號法則3.約分教學反思1.在分式的約分教學中,要及時發現學生的錯誤,并當作錯誤例題進行全班范圍的分析,找出原因,讓其他學生也認識到這種錯誤,不能只是改正答案.2.在讓學生小組討論之前應給學生一定的時間獨立思考,不要讓一些思維活躍的同學的回答代替了其他學生的思考,從而掩蓋了其他學生的疑問和錯誤.教師應對學生的討論給予引導,對學習困難的學生給予及時的幫助,使小組合作學習更具實效性.3.找公因式是約分的關鍵,應設計一些找公因式的練習,作為鋪墊,這樣學生可能對約分掌握得更好.課題2分式的乘除法課時第1課時上課時間教學目標1.通過實踐總結分式的乘除法,并能較熟練地進行分式的乘除法運算.2.理解分式乘方的原理,掌握乘方的規律,并能運用乘方規律進行分式的乘方運算.3.通過觀察分析、歸納、討論、交流,培養用類比的方法探索新知識的能力及合作探究的意識和能力.教學重難點重點:理解并掌握分式的基本性質.難點:靈活運用分式乘除法法則進行運算.教學活動設計二次設計課堂導入觀察下列運算:23×45=2×43×5;57×29=5×27×9;23÷45=以上是以前學習的分數的乘法與除法,分數乘法與除法的運算法則分別是什么?今天我們仿照分數的乘除來研究分式的乘除.探索新知合作探究自學指導問題1:上述運算,它們的依據是什么?問題2:能用文字表述這一法則嗎?問題3:一個長方體容器的容積為V,底面的長為a,寬為b,當容器內的水占容積的mn時,水高為多少問題4:大拖拉機m天耕地a公頃,小拖拉機n天耕地b公頃,大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍?合作探究問題1:分數的乘除為我們熟悉,那分式的乘除是怎樣計算的?你能歸納出分式的乘除運算法則嗎?問題2:你能用字母表達式表示分式的乘除法法則嗎?[例1]計算:(1)3a4y·2y23a2;(2[例2]計算:(1)3xy2÷6y2x;(2)-a2b÷ab2;(3)xy·x思考:(1)例2與例1有什么區別?(2)能不能直接約分?(3)不能約分怎么辦?(4)如何化簡?探究關注點:(1)強調計算要對照乘除法法則進行.(2)強調運算結果如果不是最簡分式時,一定要進行約分,使運算結果化為最簡分式或整式.續表探索新知合作探究教師指導1.歸納小結法則內容字母表示乘法法則分式乘分式,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母ba·dc除法法則分式除以分式,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘ba÷dc=ba·若兩個分式的分子、分母都是單項式,直接運用乘、除運算法則計算;分式的乘除運算:(1)類似于分數的乘除運算;(2)實際上就是約分的過程;(3)結果一定要化為最簡分式或整式.注意:(1)乘方時一定要把分式加上括號(2)分式乘方時確定乘方結果的符號與有理數乘方相同,即正分式的任何次冪都為正;負分式的偶次冪為正,奇次冪為負.(3)一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時,應先算乘方,再算乘除.2.方法規律(1)運用分式的乘除法法則進行分式運算時,首先要確定運算結果的符號,確定方法與分數乘除的符號的確定方法一致.(2)分式乘除法的混合運算先統一成為乘法運算,再進行約分,注意最后的結果要是最簡分式或整式.當堂訓練1.計算:ab22cd÷-3(A)2b23x ()32b2x (C)-2b22.計算:(1)ab22c2·4cd-3a2b2板書設計分子分母為單項式的分式的乘除法1.分式的乘法法則:分式乘分式,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母2.分式的除法法則:分式除以分式,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘教學反思對新知識的學習,一定要讓學生提前預習,有了知識點的提前預習,課堂上我們有更充足的時間,應該設計幾個提高題,讓優生吃得飽,例如作業中,指數是字母的題,就可以讓優生在提前做完應做的習題時,提前思考,合理利用課堂時間,提高單位時間內的效率.在引導學生通過類比、觀察、猜想學習新知識時,讓學生提出問題,效果會更好.合作學習的運用仍要堅持研究,從合作內容的選擇、合作的時機、合作的時間方法等,我將努力學習充實自己,認真備好每節課,做合格的導師.課題2分式的乘除法課時第2課時上課時間教學目標1.通過實踐總結分子、分母中含多項式的分式的乘除法,并能較熟練地進行分式的乘除法運算.2.理解分式乘除時,先分解因式的原因,掌握因式分解的技巧,并能運用因式分解的技巧熟練地進行分式的乘除運算.3.通過分析、歸納,培養用類比的方法探索新知識的能力.教學重難點重點:理解并掌握分子、分母中含多項式的分式的計算方法.難點:靈活運用分式乘除法法則進行分子、分母中含多項式的分式的運算.教學活動設計二次設計課堂導入把下列分式化簡:(1)-6ab3c2-24a2bc;(2)m2-以上是以前學習的分式的化簡,分式化簡的根據是什么?今天我們來學習分子、分母中含有多項式的分式的乘除.探索新知合作探究自學指導問題1:怎樣計算:a+2a-2a+2a-2·1a2+2問題2:兩個分式相乘時,如果分子或分母是多項式,應該怎樣進行計算?合作探究問題:分子、分母是單項式的分式的乘除我們已熟悉,那分子、分母是多項式的分式的乘除是怎樣計算的?小結:在進行分式乘除時,如果分子或分母是多項式,應當先進行因式分解.[例1]計算:(1)x-y10xy·50x2y2x[例2]計算:(1)a2-4a+4a2-2a+1思考:(1)分子、分母中有多項式與單項式計算一樣嗎?(2)能不能直接約分?(3)不能約分怎么辦?(4)如何化簡?探究關注點當分子、分母是多項式時,一般應先分解因式,并在運算過程中約分,可以使運算簡化,避免走彎路.續表探索新知合作探究教師指導1.易錯點(1)當除式(或被除式)是整式時,可以看作分母是1的式子,然后按分式乘除法法則計算.如:(a-1)2a-3÷(a-1)=(a(2)要注意運算順序,在同級運算中,如果沒有附加條件(如括號),則應按由左到右的順序進行計算.如a÷b·1b=ab·1b=ab2,而a÷b·1b2.歸納小結分子或分母是多項式的分式乘除法的解題步驟是:(1)把各分式中分子或分母里的多項式分解因式;(2)除法轉化為乘法;(3)約分得到積的分式3.方法規律(1)若分子、分母都是多項式時,要先進行因式分解,能約分的要先約分;(2)分式的除法要統一成分式的乘法;(3)整式與分式相乘(除)時,可以把整式看成是分母是1的分式形式;(4)分式的乘除法的計算結果,要通過約分,化為最簡分式或整式.注意:在分式的乘除法中,當分子或分母是多項式時,能分解因式的要分解因式,能約分的一定要約分,同時要注意不要把符號弄錯,運算時應按從左到右的順序進行.當堂訓練1.化簡-nm÷nm2-m的結果是(A)-m-1 ()-m+1 (C)-mn+m (D)-mn-n2.計算:(1)x2+3xx2-9·3-xx+2板書設計分子分母為多項式的分式的乘除法1.分式的乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母2.分式的除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘教學反思在分式的乘除法這一課的教學中,我采用了類比的方法,讓學生回憶以前學過的分數的乘除法的運算方法,提示學生分式的乘除法法則與分數的乘除法法則類似,要求他們用語言描述分式的乘除法法則.學生反應較好,基本上能完整地講出分式的乘除法法則.課題3分式的加減法課時第1課時上課時間教學目標1.由分數加減運算類比分式的加減運算是這節課的重要內容.2.經歷類比和猜測的活動,會進行簡單分式的加減運算,具有一定的代數化歸能力,能解決一些簡單的實際問題,進一步體會分式的模型作用.3.類比同分母分數加減法的法則歸納出同分母分式的加減法法則.理解同分母的分式加減法的運算法則,能進行同分母的分式加減及分母互為相反式的分式加減法運算.通過學習認識數與式的聯系,理解事物拓延的內在本質,豐富數學情感與思想.教學重難點重點:掌握同分母分式的加減法法則.難點:熟練地運用法則進行計算,提高運算能力.教學活動設計二次設計課堂導入做一做:13+23=;17-27=;18712-512=猜一猜:1a+2a=;2x-1x=;3273y-43探索新知合作探究自學指導運算法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.用式子表示為:ba±ca=合作探究[例1]計算(1)a+bab-a-bab;(2(3)m-2nm+n-4m+nm+n[例2]計算:xx-y+yy-x;(續表探索新知合作探究教師指導1.易錯點(1)在進行運算時若分子是多項式,分子要先帶括號,再去括號后合并同類項.(2)運算結果也類比分數加減法的結果,要化成最簡形式,即約去分子與分母的所有公因式——化簡.2.歸納小結(1)同分母分式加減法法則是:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.(2)學會用轉化的思想將分母互為相反式的分式加減運算轉化成同分母分式的加減法.(3)分子是多項式時,一定要記得添括號后再進行加減運算.3.方法規律學會用類比方法分析和解決問題.當堂訓練1.練一練:(1)m-1x+n-mx;(2)a2a+b+2.練一練:(1)2a2a-b+bb-2a;(2)2x-1+板書設計同分母分式的加減法1.同分母分式加減法法則2.例題教學反思1.不能脫離教材:教材為我們提供了最基本有效的教學素材,我們應該充分挖掘這些素材,把它們轉化成本節課的實質內容,并能滲透教學目標,讓學生通過對這些素材的把握,做到舉一反三,靈活運用.2.因勢利導,由淺入深:鼓勵學生通過分數加減運算法則的類比,理解分式加減運算的法則.3.課后多練:對于運算,應該多練,扎實基本功,才能靈活運用.課題3分式的加減法課時第2課時上課時間教學目標1.會找最簡公分母,能進行分式的通分.理解并掌握異分母分式加減法的法則.會進行分母是多項式的異分母分式的加減法運算及分式與整式的加減法運算.能進行分式的混合運算及較復雜的分式化簡求值.2.經歷異分母分式的加減運算和通分的探討過程,訓練學生的分式運算能力.提高學生對代數式化簡變形的能力.3.培養學生在學習中轉化未知問題為已知問題的能力和意識;進一步通過實例發展學生的符號感和用數學的意識;會運用分式建立數學模型,從而解決實際問題,增強學生用數學的意識.教學重難點重點:會找最簡公分母,能進行分式的通分.難點:1.理解并掌握異分母分式加減法的法則.2.會找最簡公分母,能進行分式的通分.教學活動設計二次設計課堂導入問題1:同分母分式是怎樣進行加減運算的?問題2:異分母分數又是如何進行加減運算的?問題3:那么3a+14a=探索新知合作探究自學指導(1)議一議小明認為,只要把異分母的分式化成同分母的分式,異分母的分式的加減問題就變成了同分母的分式的加減問題.小亮同意小明的這種看法,但他倆的具體做法不同:小明:3a+14a=3×4aa×4a+小亮:3a+14a=3×4a×4+你對這兩種做法有何評論?(2)異分母分式加減法的法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算.用式子表示為ba±dc=bcac±ad合作探究[例1]化簡計算:(1)3a+a-155a;(2)1x-3-[例2]小剛家和小麗家到學校的路程都是3km,其中小麗走的是平路,騎車速度是2vkm/h.小剛需要走1km的上坡路、2km的下坡路,在上坡路上的騎車速度為vkm/h,在下坡路上的騎車速度為3vkm/h.那么(1)小剛從家到學校需要多長時間?(2)小剛和小麗誰在路上花費的時間少?少用多長時間?續表探索新知合作探究[例3]化簡計算:yxy+x+1xy-x;(2)與同伴交流你有幾種解法.教師指導1.易錯點(1)分母是多項式且可以進行因式分解時,應因式分解后再通分.(2)在通分后分子是多項式的應注意添括號,再進行加減運算,最后結果也要約分.2.歸納小結(1)異分母分式相加減的法則.(2)通分的關鍵就是找最簡公分母,對于分母是多項式且能夠進行因式分解的要先分解后再類比最小公倍數找最簡公分母.通分前是單項式的分子通分后就可能是多項式了,運算時記得添括號.(3)分式的化簡求值及變形,運算結果要約分,有一些運算律仍然適用.(4)實際問題中能正確把握分式所表示的意義將更有助于解題.3.方法規律通過類比異分母分數相加減學習異分母分式相加減法則.當堂訓練1.將下列各組分式通分:(1)x-13x2,2ax（2）1a2-9,22.計算:(1)b3a+32b;(2)1a-1-21-a2板書設計異分母分式的加減法1.異分母分式相加減的法則及通分2.例題教學反思1.例題和習題采取梯度設置,有助于學生循序漸進地獲得知識,對知識的掌握更容易且更牢靠,教學效果很好.2.討論讓學生更明確其理所在,容易接受;演練讓老師能更好地發現學生在接受新知識時所遇到的困難和容易犯的錯誤,有助于及時糾正,應該多采取這種方式.3.實際問題解決在于對數學模型的理解,對字母表示數的理解,可以在平時教學中不時滲透,使學生用數學的意識增強,數學思想得到提升.課題3分式的加減法課時第3課時上課時間教學目標1.會進行分母是多項式的異分母分式的加減法運算及分式與整式的加減法運算;提高學生對代數式化簡變形的能力;能進行分式的混合運算及較復雜的分式化簡求值;2.經歷分子、分母中含多項式的異分母分式的加減運算的探討過程,訓練學生的分式運算能力.提高學生對代數式化簡變形的能力.3.培養學生在學習中轉化未知問題為已知問題的能力和意識;進一步通過實例發展學生的符號感和用數學的意識;會運用分式建立數學模型,從而解決實際問題,增強學生用數學的意識.教學重難點重點:會找分子、分母中含有多項式的分式的最簡公分母,能進行分式的通分.難點:理解并掌握分式混合運算的法則.教學活動設計二次設計課堂導入問一問同分母分式是怎樣進行加減運算的?異分母分式呢?練一練(1)4a2+1a;(2)aa-1-1a+1;探索新知合作探究自學指導計算:1.x+5x-3+x23-x-4-x3-x.2.x-1x+4通過計算幫助學生復習分式的有關知識.提問:分數的四則運算是如何進行的?(先乘除,再加減,有括號先算括號里的)合作探究[例1](1)x2x+1-x+1;(2)1a+b+[例2]已知xy=2,求xx-y-y與同伴交流你有幾種解法?做一做根據規劃設計,某工程隊準備修建一條長1120m的盲道.由于采用新的施工方式,實際每天修建盲道的長度比原計劃增加10m,從而縮短了工期.假設原計劃每天修建盲道xm,那么(1)原計劃修建這條盲道需要多少天?實際修建這條盲道用了多少天?(2)實際修建這條盲道的工期比原計劃縮短了幾天?續表探索新知合作探究教師指導1.易錯點(1)分母是多項式的且可以進行因式分解時,應因式分解后再通分.(2)在通分后分子是多項式的應注意添括號,再進行加減運算,最后結果也要約分.2.歸納小結(1)異分母分式混合運算的法則.(2)通分的關鍵就是找最簡公分母,對于分母是多項式且能夠進行因式分解的要先分解后再類比最小公倍數找最簡公分母.通分前是單項式的分子通分后就可能是多項式了,運算時記得添括號.(3)分式的化簡求值及變形,運算結果要約分,有一些運算律仍然適用.(4)實際問題中能正確把握分式所表示的意義將更有助于解題.3.方法規律通過類比異分母分數混合運算學習分式混合運算法則.當堂訓練1.計算:(1)2x-1-1;(2)1a2-a+a-3a22.先化簡,再求值:(1)已知a=110,求a+1a2已知x=3y,求4xyx2-板書設計分式的混合運算1.分式混合運算的法則2.例1例23.歸納小結教學反思1.討論讓學生更明確其理所在,容易接受;演練讓老師能更好地發現學生在接受新知識時所遇到的困難和容易犯的錯誤,有助于及時糾正,應該多采取這種方式.2.實際問題解決在于對數學模型的理解,對字母表示數的理解,可以在平時教學中不時滲透,使學生用數學的意識增強,數學思想得到提升.課題4分式方程課時第1課時上課時間教學目標1.理解分式方程的意義,會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.2.理解增根的概念,了解增根產生的原因,知道解分式方程須驗根并掌握驗根的方法.3.領會“轉化”的思想方法,認識到解分式方程的關鍵在于將它轉化為整式方程來解;培養學生自主探究的意識,提高學生觀察能力和分析能力.教學重難點重點:可化為一元一次方程的分式方程的解法.難點:檢驗分式方程解的原因.教學活動設計二次設計課堂導入1.什么是方程?2.什么是一元一次方程?3.解一元一次方程的一般步驟是什么?我們今天將學習另外一種方程——分式方程.探索新知合作探究自學指導前面我們已經學習了哪些方程?是怎樣的方程?如何求解?(1)前面我們已經學過了方程.

(2)一元一次方程是方程.

(3)一元一次方程解法步驟是:①去分母;②去括號;③移項;④合并同類項;⑤系數化為1.練習:解方程x+24-2x合作探究1.一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時,它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間,與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等,江水流速為多少?像10020+v=6020-2.分式方程與整式方程的區別在哪里?分式方程又將如何解?解方程:①10020+v=6020-v.②100(20-v)=觀察方程①、②中的v的取值范圍相同嗎?①由于是分式方程v≠±20,而②是整式方程v可取任何實數.這說明,對于方程①來說,必須要求使方程中各分式的分母的值均不為0.但變形后得到的整式方程②則沒有這個要求.如果所得整式方程的某個根,使原分式方程中至少有一個分式的分母的值為0,也就是說,使變形時所乘的整式的值為0,它就不適合原方程,即是原分式方程的增根.因此,解分式方程必須驗根.3.如何驗根:解方程1x-5解:去分母,在方程兩邊同乘最簡公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10,解得x=5,將x=5代入原方程的最簡公分母檢驗,發現這時分母x-5和x2-25的值都是0,相應的分式無意義.因此,x=5雖是整式方程的解,但不是原分式方程的解.實際上,這個方程無解.續表探索新知合作探究教師指導1.歸納小結(1)分式方程:分母中含有未知數的方程叫做分式方程.①分式方程有兩個重要特征:a.必須是方程;b.分母中必須含有未知數.②整式方程和分式方程統稱為有理方程.(2)解分式方程的思路:將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母.(3)驗根:將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為零,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解.[說明]在方程變形時,有時可能產生不適合原方程的根,這種根叫原方程的增根,分式方程的增根,它滿足于去分母后所得的整式方程,不滿足原分式方程.2.方法規律解分式方程的一般步驟:當堂訓練1.如果關于x的分式方程2x-3=1-mx-3有增根,(A)-3 ()-2 (C)-1 (D)32.關于x的方程2x+ax-1=1的解是正數3.解方程:(1)5x=7x-2;(2)1x板書設計分式方程及其解法1.分式方程的概念2.分式方程的解法3.產生增根的條件教學反思本節課循序漸進,合理設計教學問題系列,有效組織教學活動,既發揮教師的主導作用,又體現學生的主體地位,較好地完成了教學目標.在本節課堂教學中,學生之所以能夠很快列出分式方程,是因為學生在掌握了列分式和分式計算式的基礎上,結合過去學過的列一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式(組)、一次函數解應用題方法等,所以才能很快列出分式方程.在教學形式上采用學生口述、互評等多種方法,激活學生的思維,營造良好的課堂氛圍.課題4分式方程課時第2課時上課時間教學目標1.通過日常生活中的情境創設,經歷探索分式方程應用的過程,會檢驗根的合理性.2.經歷“實際問題情境——建立分式方程模型——求解——解釋解的合理性”的過程,進一步提高學生分析問題和解決問題的能力,增強學生學數學、用數學的意識.3.通過創設貼近學生生活實際的現實情境,增強學生的應用意識,培養學生對生活的熱愛.教學重難點重點:實際生活中分式方程應用題數量關系的分析.難點:將復雜實際問題中的等量關系用分式方程表示,并進行歸納總結.教學活動設計二次設計課堂導入1.解分式方程的一般步驟:2.解方程x+1x-1-3.列一元一次方程解應用題的一般步驟分哪幾步?探索新知合作探究自學指導問題:某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年為9.6萬元,第二年為10.2萬元.(1)你能找出這一情境的等量關系嗎?(2)根據這一情境,你能提出哪些問題?(3)你能利用方程求出這兩年每間房屋的租金各是多少嗎?合作探究[例1]某市從今年1月1日起調整居民用水價格,每立方米水費上漲13.小麗家去年12月份的水費是14.7元,而今7月份的水費則是28元.已知小麗家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3m3,求該市今年居民用水的價格[例2]某校招生錄取時,為了防止數據輸入出錯,2640名學生的成績數據分別由兩位程序操作員各向計算機輸入一遍,然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知甲的輸入速度是乙的2倍,結果甲比乙少用2小時輸完.問這兩個操作員每分鐘各能輸入多少名學生的成績?探究關注點(1)小組合作分析問題(2)小組合作答疑解惑(3)師生合作解決問題教師指導1.歸納小結列分式方程解應用題的一般步驟:(1)審:分析題意,找出等量關系.(2)設:選擇恰當的未知數,注意單位.(3)列:根據等量關系正確列出方程.(4)解:解出方程.(5)驗:檢驗.(6)答:規范回答.續表探索新知合作探究2.方法規律常見的應用問題:(1)行程問題:路程=速度×時間以及它的兩個變式;(2)數字問題:在數字問題中要掌握十進制數的表示法;(3)工程問題:工作量=工時×工效以及它的兩個變式;(4)順逆問題:順速=靜速+水速:逆速=靜速-水速;(5)利潤問題:批發成本=批發數量×批發價;批發數量=批發成本÷批發價;打折銷售價=定價×折數;銷售利潤=銷售收入-批發成本;每本銷售利潤=定價-批發價;每本打折銷售利潤=打折銷售價-批發價;利潤率=利潤÷進價.當堂訓練1.幾名同學包租一輛面包車去旅游,面包車的租價為180元,出發前,又增加兩名同學,結果每個同學比原來少分攤3元車費,若設原來參加旅游的學生有x人,則所列方程為()(A)180x-180x+2=3 ()180x+2-180x=3(C)180x-180x-2=32.某商店銷售一批服裝,每件售價150元,可獲利25%.求這種服裝的成本.3.小明和同學一起去書店買書,他們先用15元買了一種科普書,又用15元買了一種文學書.科普書的價格比文學書高出一半,他們所買的科普書比所買的文學書少1本.這種科普書和這種文學書的價格各是多少?板書設計分式方程的應用(1)列分式方程解應用題的一般步驟(1)審(2)設(3)列(4)解(5)驗(6)答教學反思對于解分式方程,學生已經學過等式的基本性質,分式的通分,一元一次方程的解法,所以,解分式方程的根本是在于去分母,將分式方程化為整式方程,而要去分母,方程的兩邊要同乘以最簡公分母,這是關鍵,因此,要在解分式方程之前先將最簡公分母復習一遍,給學生鋪好路,另外要給學生一個例子,就是方程兩邊都乘以最簡公分母時,要求每一項都乘以最簡公分母,讓學生看到去分母的過程,這樣,就可以避免出現很多的問題,也能讓學生理解得更透徹.在教學中,注意引導學生理解化歸的思想,即將未知的知識轉化成已知的知識,分式方程轉化為整式方程.課題4分式方程課時第3課時上課時間教學目標1.能將實際問題中的相等關系用分式方程表示,并進行方法總結.2.通過日常生活中的情境創設,經歷探索分式方程應用的過程,提高學生運用方程思想解決問題的能力和思維水平.3.在活動中培養學生樂于探究、合作學習的習慣,引導學生努力尋找解決問題的方法,體會數學的應用價值.教學重難點重點:1.審明題意,尋找等量關系,將實際問題轉化成分式方程的數學模型.2.根據實際意義檢驗解的合理性.難點:尋求實際問題中的等量關系,尋求不同的解決問題的方法.教學活動設計二次設計課堂導入1.引導學生回顧列方程解應用題的一般步驟.學生積極思考,并交流、討論總結出:第一步,審清題意;第二步,根據題意設未知數;第三步,列式子并找出等量關系,建立方程;第四步,列方程,并解出答案;第五步,檢查方程的解是否符合題意;最后作答.2.提問:分式方程的應用題應該怎么解呢?探索新知合作探究自學指導問題:自從上次龜兔賽跑烏龜大勝兔子以后,它就成了動物界的體育明星,可是偏偏有一只螞蟻不服氣,于是它給烏龜下了一封挑戰書.比賽結束后,螞蟻并沒有取勝,已知烏龜的速度是螞蟻的1.2倍,提前1分鐘跑到終點.請你算算它們各自的速度.合作探究[例1]某列車現平均速度v千米/時,用相同的時間,列車提速前行駛s千米,提速后比提速前多行駛50千米,提速前列車的平均速度為多少?[例2]輪船順水航行40千米所用的時間與逆水航行30千米所用的時間相同,若水流的速度為3千米/時,求輪船在靜水中的速度?探究關注點(1)小組合作分析問題(2)小組合作答疑解惑(3)師生合作解決問題教師指導1.歸納小結列分式方程解應用題的一般步驟:續表探索新知合作探究(1)審:分析題意,找出等量關系.(2)設:選擇恰當的未知數,注意單位.(3)列:根據等量關系正確列出方程.(4)解:解出方程.(5)驗:檢驗.(6)答:規范回答.2.方法規律常見的應用問題:(1)行程問題:路程=速度×時間以及它的兩個變式;(2)數字問題:在數字問題中要掌握十進制數的表示法;(3)工程問題:工作量=工時×工效以及它的兩個變式;(4)順逆問題:順速=靜速+水速:逆速=靜速-水速;(5)利潤問題:批發成本=批發數量×批發價;批發數量=批發成本÷批發價;打折銷售價=定價×折數;銷售利潤=銷售收入-批發成本;每本銷售利潤=定價-批發價;每本打折銷售利潤=打折銷售價-批發價;利潤率=利潤÷進價.當堂訓練1.甲、乙兩人練習騎自行車,已知甲每小時比乙多走6千米,甲騎90千米所用的時間和乙騎60千米所用時間相等,求甲、乙每小時各騎多少千米?2.抗洪搶險時,需要在一定時間內筑起攔洪大壩,甲隊單獨做正好按期完成,而乙隊由于人少,單獨做則超期3個小時才能完成.現甲、乙兩隊合做2個小時后,甲隊又有新任務,余下的由乙隊單獨做,剛好按期完成.求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需多少小時?3.從廣州到某市,可乘坐普通列車或高鐵,已知高鐵的行駛路程是400千米,普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍.(1)求普通列車的行駛路程;(2)若高鐵的平均速度(千米/時)是普通列車平均速度(千米/時)的2.5倍,且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時,求高鐵的平均速度.板書設計分式方程的