第三節平面力系一、力系基礎知識力系是指作用在剛體上的一組或一群力。（一）力的平移

如圖所示，力作用于剛體上A點，根據加減平衡力系公理，可平行移到剛體上任一點O，可在O點加上一對大小相等，方向相反，與F等值的平行力F'、F"，作用于A點的力F'與力F"構成了一力偶即作用在A點的力F平移到O點后，應同時在O點加上一力偶，這個力偶稱為附加力偶。附加力偶矩的大小及轉向與原力F對O點的力矩相同。即

力的平移

小結：作用于剛體的力的作用線可等效地平移到任一點O，但須加一附加力偶。此附加力偶矩等于原力對O點的矩。

（二）約束與約束反力1．約束與約束反力的基本概念位移不受限制的物體稱為自由體，位移受限制的物體稱為非自由體。約束是指對非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體。而約束限制物體運動的力稱為該物體的約束反力。

能夠使物體產生運動趨勢或運動的力稱為主動力，如重力、拉力、推力。而阻礙物體運動或運動趨勢的力，稱為被動力。約束反力是阻礙物體運動的力，屬被動力。確定約束反力有如下原則：(1)約束反力的作用點就是約束與被約束物體的相互接觸點或相互連接點；(2)約束反力的方向與該約束所阻礙的運動趨勢方向相反；(3)約束反力的大小可采用平衡條件計算確定。

（二）約束與約束反力2.常見約束類型(1)柔性體約束工程上常見的傳動帶、柔軟的繩索和鏈條等構成的約束稱柔性體約束。繩索本身只能承受拉力，不能承受壓力。繩索給物體的約束力也只能是拉力。由圖所示，繩索對物體的約束力大小與重物相等，作用點為繩索和重物的接觸點，方向沿著繩索背離物體，通常用T表示這類約束力。柔性體約束（二）約束與約束反力(2)光滑面約束當兩物體直接接觸，且表面光滑，接觸處摩擦力很小，可略去摩擦不計，這種光滑面構成的約束稱為光滑面約束。這類約束不能限制物體沿約束表面切線的位移，只能阻礙物體沿接觸面法線并向約束內部的位移。因此，光滑接觸面的約束力必通過接觸點，方向沿著接觸面在該點的公法線并指向受力物體。這類約束力稱法向力，常用N表示，如圖所示。光滑面約束（二）約束與約束反力(3)光滑鉸鏈約束由鉸鏈構成的約束稱鉸鏈約束。圓柱銷釘將兩個具有相同大小圓柱孔的構件連接在一起，如圖a所示。物體B的運動受到圓柱銷釘C的限制，只能轉動，不能移動。圖b所示的連桿與曲柄用曲柄銷連接(A處)，連桿與活塞用活塞銷連接(B處)，它們都是鉸鏈連接。鉸鏈約束

常見的鉸鏈支座約束有固定鉸鏈支座(構件中其中一個固定在地面或機架上)和活動鉸鏈支座(支座中有幾個圓柱滾子可沿某一方向作滾動)兩種.（二）約束與約束反力(4)固定端約束物體的一部分嵌入另一物體所構成的約束，成為固定端約束。例如：建筑物中的陽臺、車床上車刀的固定等。（三）物體受力分析和受力圖在工程實際中，為了求未知的約束力，需根據已知力，應用平衡條件求解。為此需對構件的受力個數、受力方向和作用位置進行分析，這個分析過程稱物體的受力分析。為研究物體的受力情況，需把研究的物體(稱受力體)從周圍的物體(稱施力體)中分離出來，單獨畫出它的簡圖，這個步驟叫做取研究對象或取分離體。然后畫出分離體上所受的力(包括主動力和約束力)，這種表示物體受力的簡明圖形，稱為受力圖。

畫物體受力圖主要步驟為：①選研究對象；②取分離體；③畫上主動力；④畫出約束反力。[例1]（三）物體受力分析和受力圖[例2]畫出下列各構件的受力圖QAOBCDE（三）物體受力分析和受力圖QAOBCDE（三）物體受力分析和受力圖QAOBCDE（三）物體受力分析和受力圖[例3]畫出下列各構件的受力圖說明：三力平衡必匯交當三力平行時，在無限遠處匯交，它是一種特殊情況。（三）物體受力分析和受力圖畫受力圖應注意的問題接觸處必有力，力的方向由約束類型而定。⒉不要多畫力對于受力體所受的每一個力，都應能明確地⒈不要漏畫力除重力、電磁力外，物體之間只有通過接觸才有相互機械作用力，要分清研究對象（受力體）都與周圍哪些物體（施力體）相接觸，指出它是哪一個施力體施加的。要注意力是物體之間的相互機械作用。因此（三）物體受力分析和受力圖不要把箭頭方向畫錯。⒊不要畫錯力的方向⒋受力圖上不能再帶約束。即受力圖一定要畫在分離體上。約束反力的方向必須嚴格地按照約束的類型來畫，不能單憑直觀或根據主動力的方向來簡單推想。在分析兩物體之間的作用力與反作用力時，要注意，作用力的方向一旦確定，反作用力的方向一定要與之相反，（三）物體受力分析和受力圖內力，就成為新研究對象的外力。部或單個物體的受力圖上要與之保持一致。⒌受力圖上只畫外力，不畫內力。⒍同一系統各研究對象的受力圖必須整體與局部一致，相互協調，不能相互矛盾。⒎正確判斷二力構件。一個力，屬于外力還是內力，因研究對象的不同，有可能不同。當物體系統拆開來分析時，原系統的部分對于某一處的約束反力的方向一旦設定，在整體、局（三）物體受力分析和受力圖二、平面匯交力系

各力作用線均在同一平面內的力系，稱為平面力系。若平面力系中的各力作用線都匯交于一點，則稱平面匯交力系。平面匯交力系是力系中較簡單的一種。如圖所示起重機的掛鉤，受到T1、T2、T3的作用，三力的作用線在同一平面內且匯交于一點。本節將采用幾何法和解析法研究平面匯交力系的合成和平衡問題。（一）平面匯交力系合成的幾何法

如圖a所示，剛體上有平面匯交力系F1、F2、F3，各力作用線匯交于A點，現用幾何法求力系的合力。為此，可連續應用力的三角形法則，將這些力依次相加，便可求出合力的大小和方向。

在圖b中，先將F1與F2合成一合力R12，再將R12與F3合成R，R的作用線通過A點。從圖c中可見，中間矢量不必作出，而只需將已知力矢沿環繞多邊形邊界的同一方向首尾相接。而合力則沿多邊形相反方向連接多邊形的缺口。任意個共點力的合成（二）平面匯交力系平衡的幾何條件

因平面匯交力系可用其合力來代替，所以，平面匯交力系平衡的充分和必要條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示。即

平面匯交力系平衡的必要與充分幾何條件是：該力系的力多邊形是自行封閉的。

提示：用幾何圖解法求解平面匯交力系的平衡問題，應在分析清楚物體上所受的力后，按比例畫出封閉的力多邊形，再用尺和量角器在圖上量出所要求的未知量。也可根據圖形的幾何關系，利用三角形公式計算出所需求的未知量。

R=F1+F2+…+Fn=∑F（三）平面匯交力系合成的解析法

用幾何法求解平面匯交力系平衡問題，作圖很難做到精確，若作圖后用幾何關系計算，則當力系中力較多時，運算比較繁瑣。因此在工程實踐中，應用較多的是解析法。平面匯交力系合成的解析法是以力在坐標軸上的投影為基礎建立起來的。

1．力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影（三）平面匯交力系合成的解析法

2．合力投影定理

合力在任一坐標軸上的投影等于所有分力在該軸上投影的代數和。

3．平面匯交力系合成的解析法

（四）平面匯交力系平衡方程及其應用

平面匯交力系平衡的必要與充分條件是力系的合力等于零。平面匯交力系平衡的解析條件：力系中各力在兩直角坐標軸上投影的代數和分別等于零。小結：求解平面匯交力系平衡的步驟：1．選取適當的平衡物為研究對象，并畫出簡圖。2．進行受力分析。畫出研究對象的全部已知力和未知力，并設定未知力的方向。3．選取合適的坐標系，計算各力的投影。4．列平衡方程解出未知量。

三、平面力偶系的合成和平衡條件

1．平面力偶系的合成作用在物體同一平面內的多個力偶，稱為平面力偶系。平面力偶系可以合成一個合力偶，設為平面力偶系中各力偶的力偶矩，M為合力的合力偶矩，它等于各力偶矩的代數和，即

2．平面力偶系的平衡條件當合力偶矩等于零時，說明物體順時針方向轉動的力偶矩和物體逆時針方向轉動的力偶矩相等，物體保持平衡狀態。因此，平面力偶系平衡的條件是所有各力偶矩的代數和等于零，即：

四、平面任意力系

（一）平面任意力系的平衡

1．平面任意力系的平衡條件和平衡方程如圖所示一懸臂梁吊車，現以水平梁AB的受力情況來分析平面任意力系的平衡問題。水平梁AB受力為梁自重G，載荷重P，固定鉸鏈支座反力，拉桿BC拉力T，各力作用在同一平面內，處于平衡狀態。所以水平梁不能沿x軸、y軸方向移動，也不能繞力系中任意一點作轉動。由此得到平面任意力系的平衡條件：力系中所有各力，在兩個互相垂直的坐標軸上投影的代數和等于零，力系中所有各力對力系所在平面內任意點的合力矩等于零。即：

上式是平面任意力系平衡方程的基本形式，這三個公式都是獨立的方程，可以求解三個未知數。（一）平面任意力系的平衡

2．固定端約束固定端約束不但限制物體沿任意方向的移動，而且能限制物體沿圖示平面內轉動，這類約束可用約束力的分力和，及約束力偶來代替。其大小可通過平面任意力系的平衡方程來確定。

固定端約束（二）平面平行力系的平衡方程及應用

在平面力系中各力的作用線互相平行，這種力系稱平面平行力系。平面平行力系是平面任意力系的特殊情況，它的平衡方程由平面任意力系平衡方程導出。如選坐標軸與各力垂直，各力在軸上的投影為零。即滿足，所以平面平行力系獨立的平衡方程數目只有兩個，即：

另一種形式為

上式的使用條件是：A、B兩點連線不能與力系中的各力平行。本章小結

1．靜力學的基本概念：力是物體間的相互機械作用。力對物體作用的效果，決定于力的三要素——大小、方向和作用點。2．靜力學公理是力學中最基本、最普遍的客觀規律。包括二力平衡公理，加減的平衡力系公理，力的平行四邊形公理和作用與反作用公理。3．畫受力圖的步驟為：確定研究對象，畫出研究對象的簡單輪廓圖形；進行受力分析，分析研究對象上的主動力和約束力，明確受力物體和施力物體。畫出分離體上全部約束力和主動力，在分離體上被解除約束處，畫出相應的約束力。4．力矩是使物體繞某點轉動效應的量度，其表達式為。力對點的矩與矩心位置有關。而力偶矩

本章小結

是力偶使物體轉動效應的量度，表達式為，力偶矩與所取的矩心位置無關。繞定點轉動物體的平衡條件：合力矩等于零，即。平面力偶系平衡的條件是所