4.1定常離散系統的能控性4.2定常連續系統的能控性4.3定常系統的能觀性4.5能控性及能觀性的對偶關系4.6線性定常系統的結構分解4.7能控性、能觀性與傳遞函數矩陣的關系4.8能控標準形和能觀標準形4.9系統的實現2023/2/21960卡爾曼(Kalman)兩個基礎性概念：能控性與能觀性兩個基本問題：在有限時間內，控制作用能否使系統從初始狀態轉移到要求的狀態？指控制作用對狀態變量的支配能力，稱之為狀態的能控性問題2023/2/2在有限時間內，能否通過對系統輸出的測定來估計系統的初始狀態？系統的輸出量（或觀測量）能否反映狀態變量，稱之為狀態的能觀性問題。例4.0.1

2023/2/22023/2/2

橋形電路(a)兩個電容相等。選各自的電壓為狀態變量，且設電容上的初始電壓為零，根據電路理論，則兩個狀態分量恒相等。相平面圖(b)中相軌跡為一條直線，因此系統狀態只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統的狀態變量離開這條直線,顯然，它是不完全能控的。2023/2/2例4.0.2

2023/2/2

選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態變量，輸出變量取為電容兩端的電壓。當電橋平衡時，電感中的電流作為電路的一個狀態是不能由輸出變量來確定的，所以該電路是不能觀測的。2023/2/24.1定常離散系統的能控性

4.1.1

定常離散系統的能控性定義線性定常離散系統的狀態方程(4.1.1)定義4.1.1對于系統(4.1.1)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系統從第k步的狀態向量開始，在第N步到達零狀態，其中N是大于k的有限數，那么就稱此系統在第k步上是能控的。如果對每一個k，系統的所有狀態都是能控的，則稱系統是狀態完全能控的，簡稱能控。2023/2/24.1.2單輸入離散系統能控性的判定條件單輸入線性定常離散系統的狀態方程(4.1.2)定理4.1.1單輸入線性定常離散系統完全能控的充分必要條件是，矩陣[b,Ab,…,An-1b]的秩為n。該矩陣稱為系統的能控性矩陣，以Uc表示，于是此能控性判據可以寫成rankUc=rank[b,Ab,…,An-1b]=n.(4.1.5)2023/2/2例4.1.1

2023/2/2滿足能控性的充分必要條件，故該系統能控。2023/2/24.1.3多輸入離散系統能控性的判定條件多輸入線性定常離散系統的狀態方程(4.1.9)定理4.1.2多輸入線性定常離散系統完全能控的充分必要條件是，矩陣[B,AB,…,An-1B]的秩為n。該矩陣稱為系統的能控性矩陣，以Uc表示，于是此能控性判據可以寫成rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.

(4.1.10)2023/2/2…,

多輸入與單輸入系統的能控性判據形式上完全相(1)多輸入系統的能控性矩陣是一個nxnp矩陣。根據判據，只要求它的秩等于n，所以在計算時不一定需要將能控性矩陣算完，算到哪一步發現充要條件已滿足就可以停下來，不必再計算下去。(2)為了把系統的某一初始狀態轉移到零狀態，存在著許許多多的方式，因此我們可以在其中選擇最優的控制方式。例如選擇控制向量的范數最小。同。但多輸入系統有以下特點：2023/2/2例4.1.2

只要計算出矩陣[B,AB]的秩，即可

2023/2/24.2定常連續系統的能控性4.2.1線性定常連續系統的能控性定義線性定常連續系統的狀態方程(4.2.1)定義4.2.1對于系統(4.2.1)，若存在一分段連續控制向量u(t)，能在有限時間區間[t0,t1]內將系統從初始狀態x(t0)轉移到任意終端狀態x(t1)，那么就稱此狀態是能控的。若系統任意t0時刻的所有狀態x(t0)都是能控的，就稱此系統是狀態完全能控的，簡稱能控。2023/2/2定理4.2.1系統(4.2.1)狀態完全能控的充分必要條件是能控性矩陣的秩為n，即4.2.2線性定常連續系統的能控性判據

能控性判據的第一種形式2023/2/2此時，能控性矩陣為nxn維，即要求陣是非奇異的。注如果系統是單輸入系統，即控制變量維數,則系統的狀態完全能控性的判據為例4.2.1考察如下系統的能控性2023/2/2易知2023/2/2其秩為3，該系統能控從而2023/2/2其秩為2，所以系統不能控

例4.2.2判斷線性定常系統2023/2/2注

對照一下定常連續系統與定常離散系統能控性判別條件，發現兩者是一致的，這有其內在聯系。如果離散系統的系矩陣和控制矩陣與連續系統的系統矩陣和控制矩陣相同，則它們的能控性相同。

對于一個線性系統來說，經過線性非奇異狀態變換后，其狀態能控性不變。

2023/2/2定理4.2.2如果線性定常系統

的系統矩陣A具有互不相同的特征值，則系統能控的充要條件是，系統經線性非奇異變換后A陣變換成對角標準形，它的狀態方程其中，

不包含元素全為0的行。

能控性判據的第二種形式2023/2/2狀態變量x3不受控制

例4.2.3此系統是不能控的2023/2/2此方法的優點在于很容易判斷出能控性，并且將不能控的部分確定下來，但它的缺點是要進行等價變換。例4.2.4下列系統是能控的2023/2/2定理4.2.3若線性定常系統的系統矩陣具有重特征值，且對應于每一個重特征值只有一個約當塊，則系統狀態完全能控的充要條件是，經線性非奇異變換后，系統化為約當標準形2023/2/2其中，

矩陣中與每個約當塊最后一行相對應的那些行，其各行的元素不全為零。4.2.3線性定常連續系統的輸出能控性設系統的狀態空間表達式為定義4.2.2

如果在一個有限的區間[t0,t1]內，存在適當的控制向量u(t),使系統能從任意的初始輸出y(t0)轉移到任意指定最終輸出y(t1)，則稱系統是輸出完全能控的。2023/2/2系統輸出完全能控的充分必要條件是矩陣的秩為q2023/2/2例4.2.9判斷系統是否具有狀態能控性和輸出能控性。

2023/2/2秩為1，等于輸出變量的個數，因此系統是輸出能控的。秩為1，所以系統是狀態不能控的。

2023/2/24.2.4利用Matlab判定系統能控性

ctrb2023/2/24.3.1定常離散系統的能觀性定義4.3.1

對于上述系統，在已知輸入u(t)的情況下，若能依據第i步及以后n-1步的輸出觀測值y(i),y(i+1),…,y(i+n-1)，唯一地確定出第i步上的狀態x(i)，則稱系統在第i步是能觀測的。如果系統在任何i步上都是能觀測的，則稱系統是狀態完全能觀測的，簡稱能觀測。考慮離散系統

4.3線性系統的能控性及能觀性2023/2/2定理4.3.1對于線性定常離散系統，狀態完全能觀測的充分必要條件是矩陣

的秩為n。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為ＵO。2023/2/2例4.3.3判斷下列系統的能觀測性2023/2/2于是系統的能觀測性矩陣為秩為3，所以系統能觀。

2023/2/2例4.3.4系統狀態方程仍如上例，而觀測方程為秩小于3，所以系統不能觀。

2023/2/24.3.2定常連續系統的能觀性定義4.3.2對于線性定常系統，在任意給定的輸入u(t)下，能夠根據輸出量y(t)在有限時間區間[t0,t1]內的測量值，唯一地確定系統在t0時刻的初始狀態x(t0)，就稱系統在t0時刻是能觀測的。若在任意初始時刻系統都能觀測，則稱系統是狀態完全能觀測的，簡稱能觀測的。2023/2/2定理4.3.2線性定常連續系統狀態完全能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣的秩為n。能觀性判據的第一種形式2023/2/2例4.3.5判斷下列系統的能觀性。秩等于2，所以系統是能觀測的。

2023/2/2能觀性判據的第二種形式定理4.3.3若線性定常系統的狀態矩陣有互不相同的特征值，則系統狀態能觀測的充要條件是經線性等價變換把矩陣化成對角標準形后，系統的狀態空間表達式2023/2/2其中，矩陣不包含元素全為零的列。定理4.3.4設線性定常系統的狀態矩陣有不同的重特征值，且對應于每一重特征值只有一個約當塊。則系統狀態完全能觀測的充要條件是，經線性等價變換將矩陣化成約當標準形后，系統的狀態空間表達式2023/2/2中，與每個約當塊第一列相對應的矩陣的所有各列，其元素不全為零。4.5能控性與能觀性的對偶關系4.5能控性與能觀性的對偶關系對偶系統對偶系統結構圖

系統狀態完全能控的充要條件和系統狀態完全能觀的充要條件相同；系統狀態完全能觀的充要條件與系統完全能控的充要條件相同。（對偶原理）

兩個系統的傳遞函數矩陣的關系

把系統能控或能觀測部分同不能控或不能觀測的部分區分開來，將有利于更深入了解系統的內部結構。標準分解

采用系統坐標變換的方法對狀態空間進行分解，將其劃分成能控（能觀）部分與不能控（不能觀）部分。4.6線性定常系統的結構分解4.6.1系統能控性分解設系統的狀態空間表達式為假設系統的能控性矩陣的秩n1<n（n為狀態向量維數），即系統不完全能控。關于系統的能控性分解，有如下結論。

定理4.6.1

存在非奇異矩陣Tc，對系統進行狀態變換，可使系統的狀態空間表達式變換成

其中在變換后的系統中，將前n1維部分提出來，得到下式這部分構成n1維能控子系統。而后n-n1維子系統為不能控子系統。關鍵變換矩陣Tc的構造求法如下：在能控性矩陣[

中選擇n1個線性無關的列向量；將所得列向量作為矩陣Tc的前n1個列，其余列可以在保證Tc為非奇異矩陣的條件下任意選擇]例4.6.1

對下列系統進行能控性分解。

能控性矩陣的秩

可知系統不完全能控

在能控性矩陣中任選兩列線性無關的列向量。為計算簡單，選取其中的第1列和第2列。易知它們是線性無關的。

再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關。

變換矩陣

狀態變換后的系統狀態空間表達式

二維能控子系統

2023/2/2系統能控性分解結構圖

2023/2/2定理4.6.2

能控子系統的傳遞函數矩陣與原系統的傳遞函數矩陣相同，即.

因為2023/2/24.6.2

系統能觀性分解設系統的狀態空間表達式為

假設系統的能觀性矩陣的秩n2<n（n為狀態向量維數），即系統不完全能控。關于系統的能觀性分解，有如下結論。

2023/2/2定理4.6.3

存在非奇異矩陣To，對系統進行狀態變換，可使系統的狀態空間表達式變換成

其中

2023/2/2在變換后的系統中，將前n2維部分提出來，得到下式這部分構成n2維能觀子系統。而后n-n2維子系統為不能觀子系統。

方法如下:

從能觀性矩陣中選擇n2個線性無關的行向量。將所求行向量作為的前n2個行，其余的行

對于能觀性分解，變換矩陣的求法有其特殊性。應由構造其逆做起，即先求。可以在保證為非奇異矩陣的條件下任意選擇。2023/2/2例4.6.2

系統同例4.6.1，進行能觀性分解。計算能觀性矩陣的秩

任選其中兩行線性無關的行向量，再選任一個與之線性無關的行向量，得2023/2/2狀態變換后的系統狀態空間表達式

二維能觀子系統

2023/2/2系統能觀性分解結構圖

2023/2/2定理4.6.4

能觀子系統與原系統的傳遞函數矩陣相同

2023/2/24.6.3系統按能控性與能觀性進行標準分解定理4.6.5設系統狀態空間表達式為經過線性狀態變換,可以化為下列形式2023/2/22023/2/24.7

能控性、能觀性與傳遞函數矩陣的關系單輸入單輸出系統的狀態空間表達式

4.7.1單輸入單輸出系統系統的傳遞函數定理4.7.1系統能控能觀的充要條件是傳遞函數g(s)中沒有零極點對消現象。2023/2/2

一個系統的傳遞函數所表示的是該系統既能控又能觀的那一部分子系統。一個系統的傳遞函數若有零、極點對消現象，則視狀態變量的選擇不同，系統或是不能控的或是不能觀的。兩個推論

一個系統的分解與所選擇狀態變量有關

舉例微分方程傳遞函數2023/2/2選擇１系統的狀態方程與輸出方程

能控性矩陣能觀性矩陣

可分解為能控能觀和不能控能觀兩部分子系統2023/2/2引入中間變量z，將傳遞函數寫成

選擇２則有選擇狀態變量

系統的狀態空間表達式

能控性矩陣

能觀測性矩陣

可分解為能控能觀和能控不能觀兩部分子系統2023/2/24.7.2多輸入多輸出系統傳遞函數矩陣

定理4.7.2如果在傳遞矩陣G(s)中，與Cadj(sI-A)B之間沒有非常數公因，則該系統是能控且能觀測的。（僅為充分條件）2023/2/2例4.7.2

能控能觀

存在公因式2023/2/2能觀標準形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的A和C表現為能觀的標準形式適當選擇狀態空間的基底，對系統進行狀態線性變換，把狀態空間表達式的一般形式化為標準形式能控標準形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的A和B表現為能控的標準形式2023/2/24.8

能控標準形和能觀標準形4.8.1

系統的能控標準形2023/2/2定理4.8.1如果系統是能控的，那么必存在一非奇異變換使其變換成能控標準形

線性變換矩陣

2023/2/2例4.8.1

線性定常系統能控性矩陣

逆矩陣

2023/2/22023/2/24.8.2系統的能觀標準形，2023/2/2定理4.8.2

如果系統是能觀測的，那么必存在一非奇異變換將系統變換為能觀標準形2023/2/2例4.8.2

能觀性矩陣

2023/2/24.9

系統的實現

4.9.1單輸入單輸出系統的實現問題由傳遞函數矩陣或相應的脈沖響應來建立系統的狀態空間表達式的工作，稱為實現問題。換言之，若狀態空間描述是傳遞函數矩陣的實現，則必有在所有可能的實現中，維數最小的實現稱為最小實現。

單輸入單輸出系統系統傳遞函數的一般形式為

當其具有嚴格真分式有理函數時，其實現形式為

2023/2/2

的能控標準形實現

2023/2/2

的能觀標準形實現

2023/2/2

對于多輸入多輸出系統而言，討論其實現問題要滿足如下條件：輸出向量為維傳遞函數矩陣為陣，它的每一個元素都是一個有理分式嚴格真分式傳遞函數矩陣，即實現形式為

4.9.2多輸入多輸出系統的實現問題2023/2/2當陣的時，可采用能控性實現。2023/2/2式中，為各元素分母的首一最小公分母的各項系數為多項式矩陣的系