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文檔簡介

1§5.1

基本概念與計算§5.3n維向量空間的正交化§5.4實對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量§5.2矩陣的相似對角化2一、特征值與特征向量的定義三、特征值與特征向量的計算§5.1基本概念與計算二、特征值與特征向量的性質3一、特征值與特征向量的定義例

矩陣4定義設A是n階方陣，成立，

是方陣A的一個特征值，

是方陣A的對應于特征值的一個特征向量.若數和n維非零列向量

，使得例

則稱5定義設A是n階方陣，成立，

是方陣A的一個特征值，

是方陣A的對應于特征值的一個特征向量.若數和n維非零列向量

，使得則稱說明2.特征值與特征向量是成對出現的6二、性質推廣k為非0數7特征子空間8三、特征值與特征向量的計算9稱為矩陣A的特征方程,定義數是關于的一個n次多項式，稱為矩陣A的特征多項式,特征方程的根稱為特征值，或特征根。10求特征值、特征向量的步驟：(2)求齊次線性方程組的一個基礎解系即可求出特征值;11解例(2次多項式)12基礎解系13基礎解系14解設求A的特征值與特征向量．例15特征值為：(2稱為二重根)(-7稱為單根)(3次多項式)16基礎解系特征值為：1718基礎解系19解

求A的特征值與特征向量．練一練20(1是三重根)(4次多項式)2122232425求矩陣的特征值.解矩陣A的特征多項式為對角矩陣、上(下)三角形矩陣的特征值為其主對角元練一練26特殊矩陣2.數量矩陣kI,所以k是（且僅是）kI的特征值，任意非0向量是對應的特征向量。3.單位矩陣I,1是（且僅是）I的特征值，1.零矩陣O,所以0是（且僅是）O的特征值，任意非0向量是對應的特征向量。任意非0向量是對應的特征向量。27所以0是不可逆矩陣的特征值。而0不是可逆矩陣的特征值。4.不可逆矩陣A,5.可逆矩陣A,28例

設矩陣A可逆,且

解29解

練一練30例31結論32例解33解練一練3435設

A2=A,證明：A

的特征值為0或1.證例36設

A2=A,證明：0或1的為A特征值.證A

的特征值為0或1.例37設A是奇數階實矩陣，證練一練38

1.特征值的重數與其對應的線性無關特征向量個數的關系:下面結論不證,知道結論即可392.

設n階方陣的n個特征值為

則主對角元素之和注

A可逆的條件:稱為矩陣A的跡.

40設A為3階方陣,A的特征值分別為-1、4、2,求例

解

41小結1.特征值與特征向量的定義2.特征值與特征向量的求法3.特征值與特征向量的性質4.特征值與A的關系42作業P1771(2)(4)(6),8,1143想一想44設

求A的特征值與特征向量.解練一練4546

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