(3)

蘇科版九下《圖形的相似》知識點歸納

知識點1有關相似形的概念

（1）形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.

（2）如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比（相似系數(shù)）．

知識點2比例線段的相關概念、比例的性質(zhì)

可得ABDE或ABDE或BCBCEFACDFAB特別在三角形中：

由DE∥BC可得：ADAE或BD

DBECAD

知識點4相似三角形的概念

1）定義：在四條線段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么這四條線段

a,b,c,d叫做成比例

線段，簡稱比例線段．

注：①比例線段是有順序的，如果說a是b,c,d的第四比例項，

那么應得比例式為：b

EDFE或ABCC

EC或AD

EA或AB

EF或ABBC等.

DFDEEF

AE

AC

∽”表示，讀作“相似于”．相（或相似系數(shù)）．相似三角形對應角相等，對應邊成比例．

（1）定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號似三角形對應邊的比叫做相似比注：①對應性：即把表示對應頂點的字母寫在對應位置上②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．④全等三角形是相似比為1的相似三角形．

②a

b

c

d

b

d

b，（交換內(nèi)項）

d

c

，（交換外項）

a

b．（同時交換內(nèi)外項）a

核心內(nèi)容：ad

bc

2）黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC,BC（AC

BC），且使AC是AB和BC的比例中項，即

（2）三角形相似的判定方法

1、平行法：（

三角形相似.

2、判定定理

3、判定定理

4、判定定理

5、判定定理

全等與相似的比較：

上圖）平行于三角形一邊的直線和其它兩邊

（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原

簡述為：

簡述為：簡述為：直角三角形中，

兩角對應相等，兩三角形相似．兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似三邊對應成比例，兩三角形相似．

斜邊和一直角邊對應成比例”

2

AC2ABBC，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段

AB的黃金分割點，其中

AC

51AB≈

2

0.618AB．即

AC

AB

BC51

AC2

簡記為：

長＝短＝51

全＝長＝2

三角形全等

三角形相似

兩角夾一邊對應相等（ASA）

兩角對應相等

兩角一對邊對應相等（AAS）

兩邊對應成比例，且夾角相等

兩邊及夾角對應相等（SAS）

三邊對應成比例

三邊對應相等（SSS）、（HL）

“斜邊和一直角邊對應成比例”

注：①黃金三角形：頂角是360的等腰三角形②黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形acabcd

3）合、分比性質(zhì)： ．

bdbd

注：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間

（3）射影定理：如圖，Rt△ABC中，則

∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，

2

AD2=BD·DC，

2

AB2=BD·BC，

2

AC2=CD·BC.

＝＝＞

＝＝＞

＝＝＞

b

a

d

c

發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：

ac

a

c

等等

bd

a

b

c

d

a

b

c

d

a

4）等比性質(zhì)：如果

ce

m(bd

f

n

0)，

b

df

n

ce

ma．

那么

b

df

nb

知識點5相似三角形的性質(zhì)

知識點3比例線段的有關定理

（1）相似三角形對應角相等，對應邊成比例．

（2）相似三角形周長的比等于相似比．

（3）相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方．

知識點6相似三角形的幾種基本圖形：

（1）如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“ A型”與“X型”圖）

平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線

,所截得的對應線段成比例

已知AD∥BE∥CF,

（2）如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）

（3） 一線三等角的變形:（K字型相似）

知識點7等積式證明題常用方法歸納：

（1） 總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”

（2） 找相似：通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個三角形相似，然后由相似三角形對應邊成比例即可證的所需的結論.

（3） 找中間比：若沒有三角形（即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上），則需要進行“轉(zhuǎn)移”（或“替換”），常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.

即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。

（4） 添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線（通常是添加平行線）構成比例.

注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標系中通常是作垂線（即得平行線）構造相似三角形或比例線段。

知識點8相似多邊形的性質(zhì)

（1） 相似多邊形周長比，對應對角線的比都等于相似比．

（2） 相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．

（3） 相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎和關鍵．

知識點9位似圖形有關的概念與性質(zhì)

（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點 .

（2）位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形 .

（3）位似圖形的對應邊互相平行或共線.

（4）位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).位似圖形的性質(zhì)：

位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

在平面直角坐標系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標比等于k或-k.（若位似中心不是原點，則向坐標軸作垂直構造直角三角形，利用相似解決或是先平移到原點，求出對應點的坐標再平移回去）

考點經(jīng)典例題分析

思路點撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形

考點一、相似三角形的概念

1．判斷對錯：

兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？

兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么？

兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？

兩個等邊三角形一定相似嗎？為什么？

兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？

思路點撥：要說明兩個三角形相似，要同時滿足對應角相等，對應邊成比例 .要說明不相似，則只要否定

其中的一個條件.

舉一反三：

【變式1】兩個相似比為1的相似三角形全等嗎？

解析：全等.因為這兩個三角形相似，所以對應角相等，又相似比為 1，所以對應邊相等.因此這兩個三角

形全等.

總結升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

兩個直角三角形，兩個等腰三角形不一定相似 .

兩個等腰直角三角形，兩個等邊三角形一定相似 .

兩個全等三角形一定相似，且相似比為 1；相似比為1的兩個相似三角形全等.

【變式2】下列能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形； B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形；D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

考點二、相似三角形的判定

2．如圖所示，已知 中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中

各對相似三角形，并求出相應的相似比.

總結升華：本題中△BEF、△CDF、△AED都相似，共構成三對相似三角形.求相似比不僅要找準對應邊，還需注意兩個三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來的倒數(shù).

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？

思路點撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長，所以可利用勾股定理分別求出第三邊

AC和DE，再看三邊是否對應成比例.

總結升華：

本題易錯為只看3，6，4，10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似 .利用三邊判定兩三角形相似，

應看三角形的三邊是否對應成比例，而不是兩邊.

本題也可以只求出AC的長，利用兩組對應邊的比相等，且夾角相等，判定兩三角形相似.

4．如圖所示，點D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉

思路點撥：此題屬于探索問題，由相似三角形的識別方法可知，△ ACD與△ABC已有公共角∠A，要使

此兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識別方法尋找一個條件即可.

舉一反三：

【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點．求證：△ADQ∽△QCP．

思路點撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知 AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩

個角對應相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點，而BP=3PC，所以可用對應邊成比例夾角相等的方法來判定．具體證明過程如下：

【變式2】如圖，弦 和弦相交于內(nèi)一點，求證： .★初三圓

思路點撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，從而找到應證哪兩個三角形相似 .同時圓當

中同弧或等弧所對的圓周角相等要會靈活應用.

變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點．求證：△DFE∽△ABC．

舉一反三：【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點，CM交AB于N，若 ，求ND:BD.

11思路點撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，

22

1

DF=AC．因此考慮用三邊對應成比例的兩個三角形相似．

2

總結升華：圖中有兩個“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個“”字形，利用M為DE中點的條件將條件由一個“”字形轉(zhuǎn)化到另一個“”字形，從而解決問題考點四、相似三角形的應用

7．如圖，我們想要測量河兩岸相對應兩點

A、B之間的距離（即河寬），你有什么方法？

總結升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個角的兩邊成比例，即DEFD，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽

ABCA

△ABC．

考點三、相似三角形的性質(zhì)

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由.

思路點撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進行討論.

方案1：如上左圖，構造全等三角形，測量

CD，得到AB=CD，得到河寬

方案2：

思路點撥：這是一道測量河寬的實際問題，還可以借用相似三角形的對應邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條.

總結升華：一定要深刻理解“對應”，若題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類

6．如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.

如上右圖，先從B點出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m到達D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？

總結升華：方案2利用了“”型基本圖形，實際上測量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，

思路點撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長和寬，從而求出矩形的面積

借助相似；也可用等腰三角形等等

總結升華：解決有關三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計算問題，經(jīng)常利用相似三角形“對應高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒有高可以先作出高.

舉一反三：

【變式1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔 18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長是

【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上．

(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；

變式1

變式

(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度．

【變式2】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下 1.5m

的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC？

寬的亮區(qū)

DE.亮區(qū)一邊到窗下

思路點撥：光線AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.則 ，

利用邊的比例關系求出

BC.

考點六、綜合探究

9．如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點(不與A、足，PE交DC于點E，

(1)設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍；(2)請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構成矩形？如果能，求出說明理由.

D重合)，PE⊥BP，P為垂

AP的長；如果不能，請

考點五、相似三角形的周長與面積

EF∥BC

再轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，通過建立方程解決，

8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點，且AE︰EB=1︰2，交AC于F點，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．

總結升華：

(1)求以線段長為變量的兩個函數(shù)間的關系時，常常將未知線段和已知線段作為三角形的邊，利用相似三角形的知識解決.

(2)解決第(2)小問時要充分挖掘運動變化過程中點的特殊位置，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.

10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)設BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍；

(2)當P在BC邊上什么位置時，值最大。

思路點撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關的已知條件，可以求出△ BCE的面積．△ABC的邊AB

上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．

總結升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高 (或等高)三角形的面積比等于

對應底邊的比．當兩個三角形相似時，它們的面積比等于對應線段比的平方，即相似比的平方．

舉一反三：

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為相似比和面積比.

1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的

總結升華：建立三角形的面積與線段長之間的函數(shù)關系，可考慮從以下幾方面考慮：

(1)從面積公式入手；(2)從相似三角形的性質(zhì)入手；將面積的比轉(zhuǎn)化為相似比的平方；手，將面積比轉(zhuǎn)化為底之比或高之比.

(3)從同底或等高入

參考答案：

考點一：

1．解：(1)不一定相似.反例。直角三角形只確定一個直角，其他的兩對角可能相等，也可能不相等 .所以

直角三角形不一定相似.

條件二：∠2=∠ACB.

條件三：ADAC，即

ACAB

總結升華：本題的探索鑰匙是相似三角形的識別方法 .在探索兩個三角形相似時，用分析法，可先假設△

(2)不一定相似.反例。等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定

例，兩底邊的比不一定等于對應腰的比，所以等腰三角形不一定相似

.因此兩個等腰三角形中有兩邊對應成比

ACD∽△ABC，然后尋找兩個三角形中邊的關系或角的關系即可 .本題易錯為出現(xiàn)條件四：

不符合條件“最小化”原則，因為條件三能使問題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯誤的。

ADACCD

ACADBC

A′B′C′中，

一定相似。在直角三角形ABC與直角三角形

，設

AB=a，

B′=b，則

BC=a，B′C′=b，AC= a，A′C′= b，

變式1：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點，∴AD=2，∵BP=3，∴BC=4又∵BC=2DQ，∴DQ=2，QC PCPCPC

A'B' B'C' C'A'a，∴ABC∽A′B′C′。

A'B'B'C'C'A'b

在△ADQ和△QCP中，

AD

QC

DQ

PC

∠C=∠D=90

，∴△ADQ∽△QCP．

(4)一定相似。因為等邊三角形各邊都相等，各角都等于成比例，因此兩個等邊三角形一定相似.

60度，所以兩個等邊三角形對應角相等，對應邊

變式2：證明：連接，

在中

，∴∽，

PA

PD

PC

,PA?PBPC?PD.

PB

一定相似。全等三角形對應角相等，對應邊相等，所以對應邊比為 1，所以全等三角形一定相似，且相

似比為1.

2)

變式3：證明：在Rt△ABD

中，DE為斜邊AB上的中線，∴

3)

EF為△ABC的中位線，∴

EF=1BC，即EF12

DE

1

DE=AB，

2

EFFD

即DE=1．同理DF=1

AB2AC2

BC2

AB

BCCA

△DFE∽△ABC．

BE

CD

1；當△BEF∽△AED時，相似比

3

BE

AE

24cm三種可能

變式2：解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個角對應相等，三條對應邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對應相等不可知； B中什么條件都不滿足；D中只有一條

對應邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對應邊的比也相等 .答案選C.

考點二：

2．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

△BEF∽△CDF∽△AED.∴當△BEF∽△CDF時，相似比k1

1；當△CDF∽△AED時，相似比k3CD

43AE

考點三：

5．解：設另兩邊長是xcm，ycm，且x<y。(1)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應邊

4xy2428

時，有，從而x=cm，y=cm.；(2)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對應邊

TOC\o"1-5"\h\z

5 6 7 5 5

x 4 y 10 14

時，有，從而x=cm，y=cm.；(3)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對應邊

5 6 7 3 3

x y 4 20 24 24 28 10

時，有，從而x= cm，y= cm。綜上所述，△DEF的另外兩邊的長度應是 cm,cm或cm，

5 6 7 7 7 5 5 3

1420cm或 cm，

37

3．解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90

由勾股定理得

.由勾股定理，得 .

在△

6．解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.AMBH矩形兩鄰邊之比為1：2，設EF=xcm，則EH=2xcm.由相似三角形對應高的比等于相似比，得AMBH，

ADBC

BC

6

AC

8

AB

10

ABC和△EDF中，

2,

2,

2，

DF

3

EF

4

ED

5

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90

BCACABDFEFED

△ABC∽△EDF(三邊對應成比例，兩三角形相似 ).

1010x320x，∴ ， .∴EF=6cm，EH=12cm.∴

4．解：當滿足以下三個條件之一時，△ ACD∽△ABC.

條件一：∠1=∠B.

變式1：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

DEAD2。∵M為DE中點，

BCAB3

DM1

BC3

ND

DM

1

DM

∥BC，

∴△NDM∽△NBC，∴

∴ND

:BD=1：2.

NB

BC

3

考點四：

7．解：

∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠

ABO=

∠DCO=90

°∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC

AB

BO∵

BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m。答：

河寬為85m．

DC

CO∵

∠DPE=90°，又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，∴△ABP∽△DPE

AB

AP

2

x，

12

5

，即

∴y

x

x(0x5)。

DP

DE

5x

y

2

2

(2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即

12

x

2

5x2，解得

2

變式1：解：(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE。

∵，∵均符合題意，故AP=1

10．解：(1)∵BC=2，

BC邊上的高

AD=1∴△ABC

4.

的面積為

1∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

(