第二十三章旋轉23．1圖形的旋轉(1)1．了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念．2.了解旋轉對應點的概念及應用它們解決一些實際問題．重點：旋轉及對應點的有關概念及其應用．難點：從生活中抽象出數學概念．(2分鐘)請同學們完成下面各題．(1)將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點B的對應點為點D，作出平移后的圖形．,第(1)小題圖),第(2)小題圖)(2)如圖，已知△ABC和直線l，請你畫出△ABC關于l的對稱圖形△A′B′C′.(3)①圓是軸對稱圖形嗎？②等腰三角形呢？③你還能指出其他的嗎？答：(1)①是；(2)②是；(3)③等腰梯形、長方形、正多邊形等．點撥精講：(1)平移的有關概念及性質；(2)如何畫一個圖形關于一條直線(對稱軸)的對稱圖形并口述它有哪些性質；(3)什么叫軸對稱圖形．一、自學指導．(10分鐘)觀察：讓學生看轉動的鐘表和風車等．(1)上面情景中的轉動現象，有什么共同的特征？(指針、風車葉片分別繞中間點旋轉)(2)鐘表的指針、秋千在轉動過程中，其形狀、大小、位置是否發生變化呢？(形狀、大小不變，位置發生變化)問題：(1)從3時到5時，時針轉動了多少度？(60°)(2)風車每片葉輪轉到與下一片原來的位置重合時，風車旋轉了多少度？(60°)(3)以上現象有什么共同特點？(物體繞固定點旋轉)思考：在數學中如何定義旋轉？歸納：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．如果圖形上的點P經過旋轉變為點P′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(8分鐘)1．下列物體的運動不是旋轉的是(C)A．坐在摩天輪里的小朋友B．正在走動的時針C．騎自行車的人D．正在轉動的風車葉片2．下列現象中屬于旋轉的有__4__個．①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千運動．3．如圖，如果把鐘表的指針看成四邊形AOBC，它繞著O點旋轉到四邊形DOEF位置，在這個旋轉過程中：旋轉中心是點__O__，旋轉角是__∠AOD(或∠BOE)，經過旋轉，點A轉到__D__點，點C轉到__F__點，點B轉到__E__點，線段OA，OB，BC，AC分別轉到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分別與∠D，∠E，∠F__是對應角．點撥精講：旋轉角指對應點與旋轉中心的連線的夾角．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正方形．(1)這個圖案可以看做是哪個“基本圖案”通過旋轉得到的？(2)請畫出旋轉中心和旋轉角；(3)經過旋轉，點A，B，C，D分別移到什么位置？解：(1)可以看做是由基本圖案正方形ABCD通過旋轉而得到的；(2)畫圖略；(3)點A、點B、點C、點D移到的位置是點E、點F、點G、點H.點撥精講：旋轉中心是固定的，即正方形對角線的交點，但旋轉角和對應點都是不唯一的．2．如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，點E在AB上，如果△ABC經旋轉后能與△ADE重合，那么旋轉中心是點__A__；旋轉的度數是__45°__．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(5分鐘)兩個邊長為1的正方形，如圖所示，讓一個正方形的頂點與另一個正方形中心重合，不難知道重合部分的面積為eq\f(1,4)，現把其中一個正方形固定不動，另一個正方形繞其中心旋轉，問在旋轉過程中，兩個正方形重疊部分面積是否發生變化？說明理由．點撥精講：設任轉一角度，如圖中的虛線部分，要說明旋轉后正方形重疊部分面積不變，只要說明S△OEE′＝S△ODD′，即說明△OEE′≌△ODD′.學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．旋轉及其旋轉中心、旋轉角的概念．2．旋轉的對應點及其它們的應用．學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)23．1圖形的旋轉(2)1．通過觀察具體實例認識旋轉，探索它的基本性質．2．了解圖形旋轉的特征，并能根據這些特征繪制出旋轉后的幾何圖形．重點：圖形的旋轉的基本性質及其應用．難點：利用旋轉的性質解決相關問題．一、自學指導．(10分鐘)動手操作：在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點O作為旋轉中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉的三角形圖案(△ABC)，然后圍繞旋轉中心O轉動硬紙板，在黑板上再描出這個挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬紙板．(分組討論)根據圖回答下面問題：(一組推薦一人上臺說明)1．線段OA與OA′，OB與OB′，OC與OC′有什么關系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么關系？3．△ABC與△A′B′C′的形狀和大小有什么關系？點撥精講：(1)OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是對應點到旋轉中心距離相等．(2)∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我們把這三個相等的角，即對應點與旋轉中心所連線段的夾角稱為旋轉角．(3)△ABC和△A′B′C′形狀相同且大小相等，即全等．歸納：(1)對應點到旋轉中心的距離相等；(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；(3)旋轉前、后的圖形全等．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(6分鐘)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE＝eq\f(1,4)，△ABF是△ADE的旋轉圖形．(1)旋轉中心是哪一點？(2)旋轉了多少度？(3)AF的長度是多少？(4)如果連接EF，那么△AEF是怎樣的三角形？分析：由△ABF是△ADE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角，要求AF的長度，根據旋轉前后的對應線段相等，只要求AE的長度，由勾股定理很容易得到．△ABF與△ADE是完全重合的，所以△AEF是等腰直角三角形．解：(1)旋轉中心是A點；(2)∵△ABF是由△ADE旋轉而成的，∴B是D的對應點，∴∠DAB＝90°就是旋轉角；(3)∵AD＝1，DE＝eq\f(1,4)，∴AE＝eq\r(12＋（\f(1,4)）2)＝eq\f(\r(17),4).∵對應點到旋轉中心的距離相等且F是E的對應點，∴AF＝eq\f(\r(17),4)；(4)∵∠EAF＝90°(與旋轉角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形．點撥精講：關鍵是確定△ADE三個頂點的對應點的位置．2．已知線段AB和點O，畫出AB繞點O逆時針旋轉100°后的圖形．作法：1.連接OA；2．在逆時針方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA；3．連接OB；4．在逆時針方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB；5．連接A′B′.∴線段A′B′就是線段AB繞點O按逆時針方向旋轉100°后的對應線段．點撥精講：作圖應滿足三要素：旋轉中心、旋轉角、旋轉方向．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘)1．如圖，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.(1)此圖能否旋轉某一部分得到一個正方形？(2)若能，指出由哪一部分旋轉而得到的？并說明理由．(3)它的旋轉角多大？并指出它們的對應點．解：(1)能；(2)由△BCQ繞B點旋轉得到．理由：連接AB，易證四邊形ABCD為正方形．再證△ABP≌△CBQ.可知△QCB可繞B點旋轉與△ABP重合，從而得到正方形ABCD.(3)90°.點C對應點A，點Q對應點P.2．如圖，△ABC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為點D，試確定頂點B對應點的位置，以及旋轉后的三角形．解：(1)連接CD；(2)以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射線CE上截取CB′＝CB，則B′即為所求的B的對應點；(4)連接DB′，則△DB′C就是△ABC繞C點旋轉后的圖形．點撥精講：繞C點旋轉，A點的對應點是D點，那么旋轉角就是∠ACD，根據對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即∠BCB′＝∠ACD，又由對應點到旋轉中心的距離相等，即CB＝CB′，就可確定B′的位置．3．如圖，K是正方形ABCD內一點，以AK為一邊作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，連接BK和DM，試用旋轉的思想說明線段BK與DM的關系．解：∵四邊形ABCD、四邊形AKLM是正方形，∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM為旋轉角且為90°，∴△ADM是以A為旋轉中心，以∠BAD為旋轉角，由△ABK旋轉而成的．∴BK＝DM.點撥精講：要用旋轉的思想說明就是要用旋轉中心、旋轉角、對應點的知識來說明．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．問題：對比平移、軸對稱兩種變換，旋轉變換與另兩種變換有哪些共性與區別？2．本節課要掌握：(1)旋轉的基本性質．(2)旋轉變換與平移、軸對稱兩種變換有哪些共性與區別．學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)23．1圖形的旋轉(3)1．理解選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角度，會出現不同的效果．2.掌握根據需要用旋轉的知識設計出美麗的圖案．重點：用旋轉的有關知識畫圖．難點：根據需要設計美麗圖案．一、自學指導．(15分鐘)1．學生獨立完成作圖題．如圖，△ABC繞B點旋轉后，O點是A點的對應點，作出△ABC旋轉后的三角形．點撥精講：要作出△ABC旋轉后的三角形，應找出三方面的關系：①旋轉中心B；②旋轉角∠ABO；③C點旋轉后的對應點C′.探究：從上面的作圖題中，知道作圖應滿足三要素：旋轉中心、旋轉角、對應點，而旋轉中心、旋轉角固定下來，對應點就自然而然地固定下來．因此，下面就選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角來進行研究．把一個圖案以O點為中心進行旋轉，選擇不同的旋轉中心，不同的旋轉角，會出現不同的效果圖形．1．旋轉中心不變，改變旋轉角．2．旋轉角不變，改變旋轉中心．我們可以設計成如下圖美麗的圖案．歸納：旋轉中心不變、改變旋轉角與旋轉角不變、改變旋轉中心會產生不同的效果，所以可以經過旋轉設計出美麗的圖案．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(2分鐘)如圖所示是日本三菱汽車公司的標志，它可以看作是由一個菱形經過__3__次旋轉，每次旋轉__120°__得到的．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(6分鐘)1．如圖所示，圖①沿逆時針方向旋轉90°可得到圖__⑤__．圖①按順時針方向至少旋轉__180__度可得圖③.2．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P是△ABC內的一點，且AP＝3，將△ABP繞點A旋轉后與△ACP′重合，求PP′的長．解：依題意，AP繞點A旋轉90°時得AP′＝AP＝3，則△APP′是等腰直角三角形．所以PP′＝eq\r(PA2＋P′A2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2).解題的關鍵是確定AP與AP′垂直且相等．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘)如圖所示，點C是線段AB上任意一點，分別以AC，BC為邊在同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE，BD，試找出圖中能通過旋轉完全重合的一對三角形，并指明旋轉中心、旋轉角及旋轉方向．解：△ACE旋轉后能與△DCB完全重合．旋轉中心是點C，旋轉角是60°，旋轉方向是順時針方向．(也可看作△DCB繞點C逆時針旋轉60°得到△ACE)學生總結本堂課的收獲與困惑．(3分鐘)1．選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，設計出美麗的圖案．2．作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案，要先求出圖中的關鍵點——線的端點、角的頂點、圓的圓心等．學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)23．2中心對稱23.2.1中心對稱1.了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概念．2.掌握中心對稱的基本性質．重點：中心對稱的性質及初步應用．難點：中心對稱與旋轉之間的關系．一、自學指導．(10分鐘)自學1：中心對稱，對稱中心，對稱點等概念：把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱(centralsymmetry)；這個點叫做對稱中心；這兩個圖形中的對應點叫做關于對稱中心的對稱點．自學2：中心對稱的性質：(1)關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；(2)關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(8分鐘)1．如圖，四邊形ABCD繞D點旋轉180°，請作出旋轉后的圖案，寫出作法并回答．(1)這兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是，對稱中心是哪一點？如果不是，請說明理由．(2)如果是中心對稱，那么A，B，C，D關于中心對稱的對稱點是哪些點．解：(1)根據中心對稱的定義便知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中心是D點．(2)A，B，C，D關于中心D的對稱點是A′，B′，C′，D′，這里的D′與D重合．2．如圖，已知AD是△ABC的中線，作出以點D為對稱中心，與△ABD成中心對稱的三角形．分析：因為D是對稱中心且AD是△ABC的中線，所以C，B為一對對應點，因此，只要再作出A關于D的對應點即可．解：(1)延長AD，且使AD＝DA′，因為C點關于D的中心對稱點是B(C′)，A點關于中心D的對稱點為A′.(2)連接A′B′，A′C′.則△A′B′D為所求作的三角形，如圖所示．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(5分鐘)如圖，已知四邊形ABCD和點O，畫四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關于點O成中心對稱．(只保留作圖痕跡，不要求寫出作法)點撥精講：(1)畫法總結；(2)性質歸納．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘)1．如圖，等邊△ABC內有一點O，試說明：OA＋OB＞OC.解：如圖，把△AOC以A為旋轉中心順時針方向旋轉60°后，到△AO′B的位置，則△AOC≌△AO′B.∴AO＝AO′，OC＝O′B.又∵∠OAO′＝60°，∴△AO′O為等邊三角形．∴AO＝OO′.在△BOO′中，OO′＋OB＞BO′，即OA＋OB＞OC.點撥精講：要證明OA＋OB＞OC，必然把OA，OB，OC轉化在一個三角形內，應用兩邊之和大于第三邊(兩點之間線段最短)來說明，因此要應用旋轉．以A為旋轉中心，旋轉60°，便可把OA，OB，OC轉化在一個三角形內．2．教材第66頁練習．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．中心對稱及對稱中心的概念；2．關于中心對稱的兩個圖形的性質．學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)23．中心對稱圖形1.掌握中心對稱圖形的定義．2.準確判斷某圖形是否為中心對稱圖形．重點：中心對稱圖形的判斷．難點：兩個圖形成中心對稱和中心對稱圖形的關系，以及中心對稱圖形的判定．一、自學指導．(7分鐘)自學：自學課本P66～67的內容．探究：中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合．那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(3分鐘)將下面左圖的四張撲克牌中的一張旋轉180°后，得到右圖，你知道旋轉了哪一張撲克嗎？議一議．解：J.點撥精講：這里相當于問哪一張撲克牌是中心對稱圖形．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．我們已學過許多幾何圖形，下列幾何圖形中，哪些是中心對稱圖形？對稱中心是什么？(出示課件圖片)(1)平行四邊形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)正三角形(6)線段(7)角(8)等腰梯形解：常見的中心對稱圖形：線段(線段中點)、平行四邊形(對角線交點)、矩形、菱形、正方形、圓(圓心)等．2．中心對稱圖形與中心對稱有哪些區別與聯系．解：區別：中心對稱指兩個全等圖形的相互位置關系；中心對稱圖形指一個圖形本身成中心對稱．聯系：如果將成中心對稱的兩個圖形看成一個整體，則它們是中心對稱圖形；如果將中心對稱圖形對稱的部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(15分鐘)1．英文大寫字母中有哪些中心對稱圖形？答：(H，I，N，O，S，X，Z)．2．說一說：在生活中你還見過哪些中心對稱圖形？學生思考、舉例、回答問題，教師展示圖片、歸納總結．3．想一想：你學過的幾何圖形具有怎樣的對稱性？點撥精講：邊數為奇數的正多邊形只是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，邊數為偶數的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．4．課本第67頁小練習2.點撥精講：怎樣判斷非常見幾何圖形是否為中心對稱圖形的妙法：將書本轉180°，即倒過來后，看圖形是否與原來一樣．5．如果公園里的草坪是下面的形狀，你能否只修一條筆直的小路就將這塊草坪分成面積相等的兩部分？點撥精講：由兩個中心對稱圖形構成的圖形，過兩個對稱中心的直線，把這個圖形分成的兩部分面積相等．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．中心對稱圖形的定義．2．怎樣準確判斷某圖形是否為中心對稱圖形．學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)23．關于原點對稱的點的坐標掌握兩個點關于原點對稱時的坐標特征，能夠運用特征解決相關問題．重點：關于原點對稱的點的坐標的關系及初步應用．難點：關于原點對稱的點的坐標的性質及其運用它解決實際問題．一、自學指導．(10分鐘)自學：自學課本P68的內容．思考：關于原點作中心對稱時，(1)它們的橫坐標與橫坐標的絕對值有什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對值又有什么關系？(2)坐標與坐標之間符號又有什么特點？點撥精講：(1)橫坐標與橫坐標的絕對值相等，縱坐標與縱坐標的絕對值相等；(2)坐標符號相反，即P(x，y)關于原點O的對稱點為P′(－x，－y)．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(8分鐘)1．如圖，在直角坐標系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－2)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F點關于原點O的中心對稱點，寫出它們的坐標，并回答：這些坐標與已知點的坐標有什么關系？解：A，B，C，D，E，F點關于原點O對稱點分別為A′(3，－1)，B′(4，0)，C′(0，－3)，D′(－2，－2)，E′(－3，2)，F′(2，2)．這些點的橫縱坐標與已知點的橫縱坐標互為相反數．2．如圖，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出與△ABC關于原點對稱的圖形．解：△ABC的三個頂點A(－2，2)，B(－4，－1)，C(1，1)關于原點的對稱點分別為A′(2，－2)，B′(4，1)，C′(－1，－1)，依次連接A′B′，B′C′，A′C′，就可得到與△ABC關于原點對稱的△A′B′C′，如右圖所示．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，將直線AB繞點O順時針旋轉90°得到直線A1B1.(1)在圖中畫出直線A1B1.(2)求出過線段A1B1中點的反比例函數解析式．(3)是否存在另一條與直線A1B1平行的直線y＝kx＋b(我們發現互相平行的兩條直線斜率k值相等)，它與雙曲線只有一個交點，若存在，求此直線的函數解析式，若不存在，請說明理由．點撥精講：(1)只需畫出A，B兩點繞點O順時針旋轉90°得到的點A1，B1，連接A1B1.(2)先求出A1B1中點的坐標，設反比例函數解析式為y＝eq\f(k,x)代入求k.(3)要回答是否存在，如果你判斷存在，只需找出即可；如果不存在，才加以說明．這一條直線是存在的，因為A1B1與雙曲線是相切的，只要我們通過A1B1的坐標作A1，B1關于原點的對稱點A2，B2，連接A2B2的直線就是我們所求的直線．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(7分鐘)1．已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出△ABC關于原點對稱的圖形．點撥精講：先在直角坐標系中畫出A，B，C三點并連接組成△ABC，要作出△ABC關于原點O的對稱三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三點關于原點的對稱點，依次連接，便可得到所求作的△A′B′C′.2．教材P69的第1，2，3題．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘