等腰三角形的性質北京五塔寺

等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角有兩邊相等的三角形是等腰三角形溫故而知新

1、等腰三角形一腰為3cm,底為4cm,則它的周長是

；

2、等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為4cm,則它的周長是

；

3、等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為8cm,則它的周長是

。

比一比，看誰做的快又準！10cm10cm或11cm19cm1、如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC

有什么特點？ABCDAB=AC自主探究

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.找一找

2、等腰三角形是軸對稱圖形嗎？思考是3、如果是它有幾條對稱軸？說出它的對稱軸。

重合的線段重合的角

AC

B

D

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC

等腰三角形除了兩腰相等以外,

你還能發現它的其他性質嗎?

大膽猜想已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C分析：1.如何證明兩個角相等？2.如何構造兩個全等的三角形？ABCD性質1等腰三角形的兩個底角相等你能根據性質1畫出圖形，寫出已知求證嗎？如何證明兩個三角形全等?作BC邊上的高AD幻燈片13作BC邊上的中線AD幻燈片14作頂角的平分線

AD幻燈片15等腰三角形常見輔助線幻燈片16ABC則∠ADB＝∠ADC＝90oD在Rt△ABD和Rt△ACD中證明:

作BC邊上

的高ADAB＝AC

AD＝AD

（公共邊）

∴

Rt△ABD≌Rt△ACD

（HL）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）

幻燈片12方法一ABC則有BD＝CDD在△ABD和△ACD中證明:

作△ABC

的中線ADAB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）

幻燈片12方法二ABC則有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中證明:

作頂角的平分線AD，AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）

幻燈片12方法三D如圖，作△ABC的中線AD

D┌如圖，作△ABC的高ADD如圖，作頂角的平分線AD.ABCABCABC等腰三角形常見輔助線歸納總結想一想:

由剛才證明的△ABD≌△ACD，除了能得到∠B＝∠C你還能發現什么?重合的線段重合的角

A

B

D

C

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°等腰三角形的性質:性質1等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成等邊對等角）性質2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成三線合一）ABCDABCD性質2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成三線合一）你能證明嗎?從以上證明也可以得出，等腰三角形是

圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在

就是它的對稱軸。軸對稱直線性質1

在△ABC中，∵AB=AC∴________=________性質2

(1)∵AB=AC，AD是角平分線，∴______⊥______，________=________

；

(2)∵AB=AC，AD是中線，∴

⊥

，∠

=∠____；

(3)∵AB=AC

，AD⊥BC，∴∠_____=∠______，_____=______幾何語言：ABCD∠B∠CADBCBDCDADBCBADCADBADCADBDCD⒈等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為

；⒉等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為

；⒊等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為

。75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°①

度數+2×

度數=180°結論:

在等腰三角形中,②

°＜頂角度數＜

°③

°＜底角度數＜

°小試牛刀頂角底角0180090ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角)設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2x例1：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各內角的度數？如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數解：∵AB=AD=DC∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC設∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x在△ABC中，∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=2x+x+26°+x=180°解得：x=38.5°，∴∠B=77°，∠C=38.5°達標檢測1等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等。

達標檢測1已知：△ABC中，AB=AC,點D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC┐┐AEFBDC求證：DE=DF證明：連接AD在△ABC中，∵AB=AC，D為ＢC中點∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF（要求畫圖，寫已知、求證、然后證明）談談你的收獲！這節課你又學到了什么知識？

軸對稱圖形兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”頂角平分線、底邊上的中線、和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”等腰三角形小結鞏固練習（一）判斷1、等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（）

2、有一個角是60°的等腰三角形，其它兩個內角也為60°（）

3、等腰三角形的底角都是銳角.（）4、鈍角三角形不可能是等腰三角形.（）××1、等腰三角形一底角的外角為105°，那么它的頂角為

度。2、等腰三角形一個角為40°,它的另外兩個角為

。3、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個等腰三角形的頂角為

。（二）填空3070°,70°或40°,100°30°或150°4、如圖，△ABC中,AB=AC,∠A=36°,則∠B=

。ABC72°

5、如圖，△ABC中,AB=AC,∠A=3∠B,則∠A=

。ABC108°

6、如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,則∠A等于______.EDCAB45°

7、如圖，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠DBD的度數為

。30°8、如圖,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,則∠DEF等于

。CEAB

FD60°

已知：如圖，房屋的頂角∠B