PAGEPAGE6直線與平面、平面與平面垂直的性質一、選擇題1．已知l，m，n為兩兩垂直的三條異面直線，過l作平面α與直線m垂直，則直線n與平面α的關系是()A．n∥α B．n∥α或n?αC．n?α或n與α不平行 D．n?α解析：選A∵l?α且l與n異面，∴n?α.又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.2．如圖所示，在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：選C由題意知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵P－ABC為正四面體，∴BC⊥PA，AE⊥PC.∴BC⊥平面PAE，DF⊥平面PAE.∵DF?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC.3．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，m⊥β，則α⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m⊥α，m∥β，則α⊥β；④若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直．其中正確的命題是()A．②③ B．①③C．②④ D．③④解析：選D對于①，垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，不可能垂直，所以①不正確；對于②，平行于同一條直線的兩個平面相交或平行，所以②不正確；③④正確，故選D.4．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直線l過點A且垂直于平面ABC，動點P∈l，當點P逐漸遠離點A時，∠PCB的大小()A．變大 B．變小C．不變 D．有時變大有時變小解析：選C由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故選C.5．如圖所示，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°解析：選D∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°，選D.二、填空題6．α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：________.解析：利用面面垂直的判定，可知①③④?②為真；利用面面垂直的性質，可知②③④?①為真．∴應填“若①③④則②”，或“若②③④則①”．答案：若①③④則②(或若②③④則①)7．如圖所示，沿直角三角形ABC的中位線DE將平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱錐A－BCDE.則平面ABC與平面ACD的關系是________．解析：∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴AD⊥平面BCDE.又BC?平面BCDE，∴AD⊥BC.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，∴BC⊥平面ACD，又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.答案：平面ABC⊥平面ACD8．如圖所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，則二面角C－BD－A的平面角的正切值為________．解析：過C點作CO⊥AB，垂足為O，作OH⊥BD，垂足為H，連接CH.∵平面ABC⊥平面ABD，交線為AB.∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD.又∵OH⊥BD，OH∩CO＝O，∴BD⊥平面COH，∴BD⊥CH.∴∠CHO為二面角C－BD－A的平面角．設CA＝CB＝a，則AB＝BD＝AD＝eq\r(2)a，CO＝eq\f(\r(2),2)a.∴OH＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝eq\f(\r(6),4)a.∴tan∠CHO＝eq\f(CO,OH)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),4)a)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)三、解答題9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).(1)設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．解：(1)證明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)過P作PO⊥AD，垂足為O.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P－ABCD的底面ABCD上的高．又△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO＝2eq\r(3).在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四邊形ABCD為梯形．在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為eq\f(4×8,4\r(5))＝eq\f(8\r(5),5)，即梯形的高為eq\f(8\r(5),5).∴S四邊形ABCD＝eq\f(2\r(5)＋4\r(5),2)×eq\f(8\r(5),5)＝24.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×24×2eq\r(3)＝16eq\r(3).10．如圖，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC⊥平面BED，FB＝eq\r(5)a.(1)證明：EB⊥FD；(2)求點B到平面FED的距離．解：(1)證明：∵FC⊥平面BED，BE?平面BED，∴EB⊥FC.又點E為的中點，B為直徑AC的中點，∴EB⊥BC.又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面FBD.∵FD?平面FBD，∴EB⊥FD.(2)如圖，在平面BEC內過C作CH⊥ED，連接FH.則由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH.∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴eq\f(DC,DE)＝eq\f(CH,BE).在Rt△DBE中，DE＝eq\r(BE2＋BD2)＝eq\r(BE2＋2BC2)＝eq\r(5)a，∴CH＝eq\f(DC·BE,DE)＝eq\f(a·a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5)a.∵FB＝eq\r(5)a，BC＝a，∴FC＝2a.在平面FCH內過C作CK⊥FH，則CK⊥平面FED.∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋eq\f(a2,5)＝eq\f(21,5