PAGEPAGE5直線與平面平行的性質、平面與平面平行的性質A組基礎鞏固1．滿足下列哪個條件，可以判定直線a∥平面α()A．a與α內的一條直線不相交B．a與α內的兩條相交直線不相交C．a與α內的無數條直線不相交D．a與α內的任意一條直線不相交解析：本題考查線面平行的判定．對于C，要注意“無數”并不代表所有．線面平行，則線面無公共點，故選D.答案：D2．設m，n是平面α外的兩條直線，給出下列三個論斷：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中兩個為條件，余下的一個為結論，可構成三個命題：①②?③，②③?①，①③?②，其中正確命題的個數為()A．0B．1C．2D．3解析：本題考查線線平行與線面平行的判定和相互轉化．m?α，n?α，m∥n，m∥α?n∥α，即①②?③；同理可得①③?②；由m∥α且n∥α，顯然推不出m∥n，所以②③A?/①.所以正確命題的個數為2，故選C.答案：C3．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m∥α，n?α，則n∥αD．若m∥α，α∥β，則m∥β解析：本題考查線線、線面、面面平行的判定定理和性質定理．A中的m，n可以相交，也可以異面；B中的α與β可以相交；D中的m可以在平面β內，所以A，B，D均錯誤．根據線面平行的判定定理知C正確，故選C.答案：C4．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1和BB1A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：由長方體性質知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴選A.答案：A5．給出下列三種說法，其中正確的是()①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的一條平行線，那么這兩個平面不一定平行；③平行于同一個平面的兩條直線相互平行．A．①②B．②③C．③D．②解析：本題考查線面平行與面面平行．①中沒有強調兩條直線相交，所以不正確；平行于同一個平面的兩條直線的位置關系不確定，所以③不正確；②顯然正確．故選D.答案：D6．如圖，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點A′，B′，C′，若eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(9,49)，則eq\f(PA′,AA′)＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,49)C.eq\f(7,8)D.eq\f(3,4)解析：本題考查面面平行的性質定理．由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，從而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))2＝eq\f(9,49)，所以eq\f(PA′,AA′)＝eq\f(3,4)，故選D.答案：D7．已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，則AC＝________.解析：∵α∥β∥γ，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3).∴而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.答案：158．過正方體ABCD－A1B1C1D1的三個頂點A1，C1，B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C解析：因為過A1，C1，B三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為A1C1，與底面ABCD的交線為l，由于正方體的兩底面互相平行，則由面面平行的性質定理知l∥A1C1.答案：l∥A1C19．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D為AP的中點，E，F，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P－ABCD，如圖②.①②則在四棱錐P－ABCD中，AP與平面EFG的位置關系為________．解析：本題考查線面平行與面面平行的綜合應用．在四棱錐P－ABCD中，∵E，F分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵AP?平面PAB，AP?平面EFG，∴AP∥平面EFG.答案：平行10．如圖所示，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.證明：過點M作MG∥BC交AB于點G，連接GN.則eq\f(AM,MC)＝eq\f(AG,GB)，∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.∴eq\f(FN,NB)＝eq\f(AG,GB).∴GN∥AF，又AF∥BE.∴GN∥BE.∵GN?面BCE，BE?面BCE，∴GN∥面BCE.∵MG∥BC，MG?面BCE，BC?面BCE.∴MG∥面BCE.∵MG∩GN＝G，∴面MNG∥面BCE.∵MN?面MNG，∴MN∥平面BCE.B組能力提升11．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．解析：方法一(1)證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知四邊形AMNE為平行四邊形．所以MN∥AE，又因為MN?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.方法二(1)證明：由AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)設Q是CD的中點，連接NQ，MQ，則MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAD.12．(2015·廣東模擬)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2)，PD＝3，(1)證明PA∥平面BDE(2)證明AC⊥平面PBD(3)求四棱錐P－ABCD的體積．解析：(1)證明：設AC∩BD＝H，連接EH，在△ADC中，因為AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點，又由題設知E為PC的中點，故EH是三角形PAC的中位線，故EH∥PA，又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以，PA∥平面BDE.(2)證明：因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABC