PAGEPAGE7直線與平面平行的性質基礎鞏固一、選擇題1．(2015·邯鄲一中月考試題)梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是()A．平行 B．平行或異面C．平行或相交 D．異面或相交[答案]B2．已知直線a、b、c及平面α，下列哪個條件能確定a∥b()A．a∥α，b∥α B．a⊥c，b⊥cC．a、b與c成等角 D．a∥c，b∥c[答案]D3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1CA．AC∥截面BA1C1 B．AC與截面BA1CC．AC在截面BA1C1[答案]A[解析]∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C1，∴AC∥面BA14．如右圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能[答案]B[解析]∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC．又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB．5．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，EH∥FG，則EH與BD的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定[答案]A[解析]∵EH∥FG，FG?平面BCD，EH?平面BCD，∴EH∥平面BCD．∵EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD．6．已知正方體AC1的棱長為1，點P是面AA1D1D的中心，點Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點，且PQ∥平面AA1B1A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P為AO1的中點，∴PQ＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(\r(2),2).二、填空題7．若夾在兩個平面間的三條平行線段相等，那么這兩個平面的位置關系是________.[答案]平行或相交8．如下圖，ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是其四邊上的點且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當EFGH是菱形時，eq\f(AE,EB)＝________.[答案]eq\f(m,n)[解析]eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,BF)＝eq\f(FG,n－FG)＝eq\f(m－EF,EF)，而EF＝FG.∴EF＝eq\f(mn,m＋n)，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(m－EF,EF)＝eq\f(m,n).三、解答題9．如下圖所示，已知平面α∩β＝b，平面β∩γ＝a，平面α∩γ＝c，a∥α.求證：b∥c.[分析]要證b∥c，只需證明b∥a和c∥a，已知條件中有線面平行，于是可以將線面平行轉化為線線平行．[證明]∵a∥α，β是過a的平面，α∩β＝b，∴a∥b.同理可得a∥c.∴b∥c.10．四棱錐P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝eq\f(2,3)CD．試問在PC上能否找到一點E，使得BE∥平面PAD？若能，請確定E點的位置，并給出證明；若不能，請說明理由．[解析]在PC上取點E，使eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，則BE∥平面PAD．證明如下：延長DA和CB交于點F，連接PF.梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝eq\f(2,3)CD．∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BC,BF)＝eq\f(1,2).又eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，∴△PFC中，eq\f(CE,PE)＝eq\f(BC,BF)，∴BE∥PF，而BE?平面PAD，PF?平面PAD．∴BE∥平面PAD．能力提升一、選擇題1．a、b是兩條異面直線，下列結論正確的是()A．過不在a、b上的任一點，可作一個平面與a、b平行B．過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b相交C．過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都平行D．過a可以并且只可以作一個平面與b平行[答案]D[解析]A錯，若點與a所確定的平面與b平行時，就不能使這個平面與a平行了．B錯，若點與a所確定的平面與b平行時，就不能作一條直線與a，b相交．C錯，假如這樣的直線存在，根據公理4就可有a∥b，這與a，b異面矛盾．D正確，在a上任取一點A，過A點作直線c∥b，則c與a確定一個平面與b平行，這個平面是唯一的．2．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a、b、c、…，那么這些交線的位置關系為()A．都平行 B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點 D．都平行或交于同一點[答案]D[解析]若l∥平面α，則交線都平行；若l∩平面α＝A，則交線都交于同一點A．3．有下列四個結論：①兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行；②兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行；③兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行；④一條直線和一個平面內無數條直線沒有公共點，則這條直線和這個平面平行．其中正確的個數為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①兩條直線都和同一個平面平行，這兩條直線三種位置關系都有可能；②兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行或異面；③兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線三種位置關系都有可能；④一條直線和一個平面內無數條直線沒有公共點，則這條直線可能與平面相交，也可能在這個平面內．4．三條異面直線a，b，c兩兩異面，它們所成的角都相等且存在一個平面與這三條直線都平行，則a與b所成的角的度數為()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]在已知平面α內分別作a′∥a，b′∥b，c′∥c，則a′，b′，c′所成的角即為異面直線a，b，c，所成的角，由異面直線所成的角均相等，得a與b所成角的度數為60°.二、填空題5．已知A、B、C、D四點不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG是________四邊形．[答案]平行6．長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其側面展開圖是邊長為8的正方形．E，F分別是側棱AA1，CC1上的動點，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥[答案]2[解析]連接AC交BD于O，連接PO.因為EF∥平面PBD，EF?平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO，在PA1上截取PQ＝AP＝2，連接QC，則QC∥PO，所以EF∥QC，所以EFCQ為平行四邊形，則CF＝EQ，又因為AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝eq\f(1,2)A1Q＝2，從而CF＝2.三、解答題7．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．[證明]方法一：(1)因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．如圖①，取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.所以MN∥AE.所以MN∥平面PAD．方法二：(1)因為AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD．因為AD∥BC，所以l∥BC．(2)平行．如圖②，設Q是CD的中點，連接NQ，MQ，則MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．又因為MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAD．8．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2，若MB∥[解析]若MB∥平面AEF，過F，B，M作平面FBMN交AE于N，連接MN，NF.因為BF