廣東2023年中考數學試題分類解析匯編專題6：函數的圖象與性質選擇題1.（2023廣東廣州3分）如圖，正比例函數y1=k1x和反比例函數的圖象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）兩點，若y1＜y2，則x的取值范圍是【】A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1【答案】D。【考點】反比例函數與一次函數的交點問題。【分析】根據圖象找出直線在雙曲線下方的x的取值范圍：由圖象可得，﹣1＜x＜0或x＞1時，y1＜y2。故選D。2.（2023廣東梅州3分）在同一直角坐標系下，直線y=x+1與雙曲線的交點的個數為【】A．0個B．1個C．2個D．不能確定【答案】C。【考點】反比例函數與一次函數的交點問題。【分析】根據一次函數與反比例函數圖象的性質作答：∵直線y=x+1的圖象經過一、二、三象限，雙曲線的圖象經過一、三象限，∴直線y=x+1與雙曲線有兩個交點。故選C。二、填空題1.（2023廣東佛山3分）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數的圖象上，且0＜x1＜x2，則y1與y2的大小關系是y1▲y2；【答案】＞。【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征。【分析】∵反比例函數中，k=2＞0，∴此函數圖象的兩個分支在一、三象限。∵0＜x1＜x2，∴A、B兩點在第一象限。∵在第一象限內y的值隨x的增大而減小，∴y1＞y2。2.（2023廣東深圳3分）二次函數的最小值是▲．【答案】5。【考點】二次函數的性質。【分析】∵，∴當時，函數有最小值5。3.（2023廣東深圳3分）如圖，雙曲線與⊙O在第一象限內交于P、Q兩點，分別過P、Q兩點向x軸和y軸作垂線，已知點P坐標為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為▲．【答案】4。【考點】反比例函數綜合題【分析】∵⊙O在第一象限關于y=x對稱，也關于y=x對稱，P點坐標是（1，3），∴Q點的坐標是（3，1），∴S陰影=1×3+1×3－2×1×1=4。三、解答題1.（2023廣東省7分）如圖，直線y=2x﹣6與反比例函數的圖象交于點A（4，2），與x軸交于點B．（1）求k的值及點B的坐標；（2）在x軸上是否存在點C，使得AC=AB？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）∵點A（4，2）在反比例函數的圖象上，∴把（4，2）代入反比例函數，得k=8。把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。∴B點坐標是（3，0）。（2）存在。假設存在，設C點坐標是（a，0），則∵AB=AC，∴，即（4﹣a）2+4=5。解得a=5或a=3（此點與B重合，舍去）。∴點C的坐標是（5，0）。【考點】反比例函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理。【分析】（1）先把（4，2）代入反比例函數解析式，易求k，再把y=0代入一次函數解析式可求B點坐標。（2）假設存在，設C點坐標是（a，0），然后利用勾股定理可得，解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B點重合，舍去，故C點坐標可求。2.（2023廣東省9分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC．（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D．設AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留π）．【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。∴AB=9，OC=9。（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。∴s=m2（0＜m＜9）。（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。∴△CDE的最大面積為，此時，AE=m=，BE=AB﹣AE=。又，過E作EF⊥BC于F，則Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。∴。∴以E點為圓心，與BC相切的圓的面積S⊙E=π?EF2=。【考點】二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，二次函數的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質。【分析】（1）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，從而確定AB、OC的長。（2）直線l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于s、m的函數關系式；根據題目條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍。（3）①首先用m列出△AEC的面積表達式，△AEC、△AED的面積差即為△CDE的面積，由此可得關于S△CDE關于m的函數關系式，根據函數的性質可得到S△CDE的最大面積以及此時m的值。②過E做BC的垂線EF，這個垂線段的長即為與BC相切的⊙E的半徑，可根據相似三角形△BEF、△BCO得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解。3.（2023廣東佛山8分）(1)任選以下三個條件中的一個，求二次函數y=ax2＋bx＋c的解析式；=1\*GB3①y隨x變化的部分數值規律如下表：x－10123y03430=2\*GB3②有序數對（－1，0），（1，4），（3，0）滿足y=ax2＋bx＋c；=3\*GB3③已知函數y=ax2＋bx＋c的圖象的一部分（如圖）．(2)直接寫出二次函數y=ax2＋bx＋c的三個性質．【答案】解：（1）由①的表格可知，拋物線頂點坐標為（1，4），設拋物線解析式為y=a（x－1）2+4，將點（0，3）代入，得a（0－1）2+4=3，解得a=－1。∴拋物線解析式為y=－（x－1）2+4，即y=－x2＋2x＋3。（2）拋物線y=－x2＋2x＋3的性質：①對稱軸為x=1；②當x=1時，函數有最大值為4；③當x＜1時，y隨x的增大而增大，當x＞1時，y隨x的增大而減小。【考點】待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數的圖象，二次函數的性質。【分析】（1）選擇①，觀察表格可知拋物線頂點坐標為（1，4），設拋物線頂點式，將點（0，3）代入確定a的值；選擇=2\*GB3②，將（－1，0），（1，4），（3，0）分別代入y=ax2＋bx＋c得方程組，解之即可；選擇=3\*GB3③，同①。（2）根據拋物線的對稱軸，開口方向，增減性等說出性質。5.（2023廣東廣州14分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。∵點A在點B的左側，∴A、B點的坐標為A（﹣4，0）、B（2，0）。（2）由得，對稱軸為x=﹣1。在中，令x=0，得y=3。∴OC=3，AB=6，。在Rt△AOC中，。設△ACD中AC邊上的高為h，則有AC?h=9，解得h=。如圖1，在坐標平面內作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L1和L2，則直線與對稱軸x=﹣1的兩個交點即為所求的點D。設L1交y軸于E，過C作CF⊥L1于F，則CF=h=，∴。設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（﹣4，0），B（0，3）坐標代入，得，解得。∴直線AC解析式為。直線L1可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個長度單位）而形成的，∴直線L1的解析式為。則D1的縱坐標為。∴D1（﹣4，）。同理，直線AC向上平移個長度單位得到L2，可求得D2（﹣1，）。綜上所述，D點坐標為：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。（3）如圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點作⊙F的切線，這樣的切線有2條．連接FM，過M作MN⊥x軸于點N。∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3。又FE=5，則在Rt△MEF中，-ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=3×，FN=MN?cos∠MFE=3×。則ON=。∴M點坐標為（，）。直線l過M（，），E（4，0），設直線l的解析式為y=k1x+b1，則有，解得。∴直線l的解析式為y=x+3。同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3。綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3。【考點】二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數的性質，勾股定理，直線平行和平移的性質，直線與圓的位置關系，直線與圓相切的性質，圓周角定理，銳角三角函數定義。【分析】（1）A、B點為拋物線與x軸交點，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根據題意求出△ACD中AC邊上的高，設為h．在坐標平面內，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h．根據等底等高面積相等的原理，則平行線與坐標軸的交點即為所求的D點．從一次函數的觀點來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成．因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點坐標。這樣的平行線有兩條。（3）本問關鍵是理解“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”的含義．因為過A、B點作x軸的垂線，其與直線l的兩個交點均可以與A、B點構成直角三角形，這樣已經有符合題意的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關系方面考慮，以AB為直徑作圓，當直線與圓相切時，根據圓周角定理，切點與A、B點構成直角三角形．從而問題得解。這樣的切線有兩條。6.（2023廣東梅州8分）一輛警車在高速公路的A處加滿油，以每小時60千米的速度勻速行駛．已知警車一次加滿油后，油箱內的余油量y（升）與行駛時間x（小時）的函數關系的圖象如圖所示的直線l上的一部分．（1）求直線l的函數關系式；（2）如果警車要回到A處，且要求警車中的余油量不能少于10升，那么警車可以行駛到離A處的最遠距離是多少？【答案】解：（1）設直線l的解析式是y=kx+b，由圖示，直線經過（1，45），（3，42）兩點，得，解得。∴直線l的解析式是：y=﹣6x+60。（2）由題意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤。∴警車最遠的距離可以到：千米。【考點】一次函數和一元一次不等式的應用，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系。【分析】（1）根據直線l的解析式是y=kx+b，將（3，42），（1，54）代入求出即可。（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范圍，從而得出警車行駛的最遠距離。7.（2023廣東梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（﹣1，﹣1），設線段AB的長為d，當p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）證明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。設拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴當p=2時，d2的最小值是4。【考點】一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，拋物線與x軸的交點，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數的最值。【分析】（1）根據一元二次方程根與系數的關系可直接證得。【教材中沒有元二次方程根與系數的關系可先根據求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可】（2）把點（﹣1，﹣1）代入拋物線的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2關于p的函數關系式，應用二次函數的最值原理即可得出結論。8.（2023廣東汕頭9分）如圖，直線y=2x﹣6與反比例函數的圖象交于點A（4，2），與x軸交于點B．（1）求k的值及點B的坐標；（2）在x軸上是否存在點C，使得AC=AB？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）∵點A（4，2）在反比例函數的圖象上，∴把（4，2）代入反比例函數，得k=8。把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。∴B點坐標是（3，0）。（2）存在。假設存在，設C點坐標是（a，0），則∵AB=AC，∴，即（4﹣a）2+4=5。解得a=5或a=3（此點與B重合，舍去）。∴點C的坐標是（5，0）。【考點】反比例函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理。【分析】（1）先把（4，2）代入反比例函數解析式，易求k，再把y=0代入一次函數解析式可求B點坐標。（2）假設存在，設C點坐標是（a，0），然后利用勾股定理可得，解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B點重合，舍去，故C點坐標可求。9.（2023廣東深圳8分）“節能環保，低碳生活”是我們倡導的一種生活方式，某家電商場計劃用11.8萬元購進節能型電視機、洗衣機和空調共40臺，三種家電的進價和售價如下表所示：（1）在不超出現有資金前提下，若購進電視機的數量和洗衣機的數量相同，空調的數量不超過電視機的數量的3倍．請問商場有哪幾種進貨方案？（2）在“2023年消費促進月”促銷活動期問，商家針對這三種節能型)品推出“現金每購滿1000元送50元家電消費券一張、多買多送”的活動．在(1)的條件下若三種電器在活動期間全部售出，商家預估最多送出消費券多少張？【答案】解：（1）設購進電視機x臺，則洗衣機是x臺，空調是（40－2x）臺，根據題意得：，解得：8≤x≤10。∵x是整數，從8到10共有3個正整數，∴有3種進貨方案：方案一：購進電視機8臺，洗衣機是8臺，空調是24臺；方案二：購進電視機9臺，洗衣機是9臺，空調是22臺；方案三：購進電視機10臺，洗衣機是10臺，空調是20臺；

（2）三種電器在活動期間全部售出的金額y=5500x+2160x+2700（40－2x），即y=2260x+10800。∵y=2260x+10800是單調遞增函數，∴當x最大時，y的值最大。∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。∵現金每購1000元送50元家電消費券一張，∴33400元，可以送33張家電消費券。【考點】一次函數和一元一次不等式組的應用。【分析】（1）設購進電視機x臺，則洗衣機是x臺，空調是（40－2x）臺，根據空調的數量不超過電視機的數量的3倍，且x以及40-2x都是非負整數，即可確定x的范圍，從而確定進貨方案。（2）三種電器在活動期間全部售出的金額，可以表示成x的函數，根據函數的性質，即可確定y的最大值，從而確定購物卷的張數。10.（2023廣東深圳9分）如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求經過A、B、C三點的拋物線解析式；(2)設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE;(3)設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F，為頂點的三角形與△ABC相似嗎？請說明理由．【答案】解：（1）∵拋物線經過A(－4，0)、B(1，0)，∴設函數解析式為：y=a（x＋4）（x－1）。又∵由拋物線經過C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得：a=－1。∴經過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。（2）證明：設直線BC的函數解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：。∴直線BC的解析式為y=－2x+2．∴點E的坐標為（0，2）。∴。∴AE=CE。（3）相似。理由如下：設直線AD的解析式為y=k1x+b1，則，解得：。∴直線AD的解析式為y=x+4。聯立直線AD與直線BC的函數解析式可得：，解得：。∴點F的坐標為（）。則。又∵AB=5，，∴。∴。又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。∴以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似。【考點】二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）利用待定系數法求解即可得出拋物線的解析式。（2）求出直線BC的函數解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論。（3）求出AD的函數解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，根據勾股定理分別求出BF，BC得出；由題意得∠ABF=∠CBA，即可作出判斷。11.（2023廣東湛江10分）某市實施“農業立市，工業強市，旅游興市”計劃后，2023年全市荔技種植面積為24萬畝．調查分析結果顯示．從2023年開始，該市荔技種植面積y（萬畝）隨著時間x（年）逐年成直線上升，y與x之間的函數關系如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式（不必注明自變量x的取值范圍）；（2）該市2023年荔技種植面積為多少萬畝？【答案】解：（1）設函數的解析式為：y=kx+b，由圖形可知函數圖象經過點（2023，24）和（2023，26），則，解得：。∴y與x之間的關系式為y=x﹣1985。（2）令x=2023，得y=2023﹣1985=27。∴該市2023年荔技種植面積為27萬畝。【考點】一次函數的應用，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系。【分析】（1）用待定系數法，將函數圖象經過的點的坐標代入函數的解析式即可求得函數的解析式。（2）將2023代入上題求得的函數解析式，求得自變量的值即可。12.（2023廣東肇慶8分）已知反比例函數圖象的兩個分支分別位于第一、第三象限．（1）求的取值范圍；（2）若一次函數的圖象與該反比例函數的圖象有一個交點的縱坐標是4．①求當時反比例函數的值；②當時，求此時一次函數的取值范圍．【答案】解：（1）∵反比例函數圖象兩支分別位于第一、三象限，∴k－1＞0，解得：k＞1。

（2）①∵一次函數與反比例函數交點縱坐標為4，∴，聯立之，得：，解得k=3。∴反比例解析式為。當x=－6時，。②由k=3，得到一次函數解析式為y=2x+3，即。∵，∴，解得：3＜y＜4。∴一次函數y的取值范圍是3＜y＜4。【考點】反比例函數與一次函數的交點問題，反比例函數的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，解方程組和不等式。【分析】（1）由反比例函數圖象過第一、三象限，得到反比例系數k-1大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍。（2）①由一次函數與反比例函數交點縱坐標為4，將y=4代入一次函數及反比例函數解析式，聯立求解即可得到k的值，確定出反比例函數解析式，然后將x=-6代入求出的反比例函數解析式中即可求出對應的函數值y的值。②將求出的k值代入一次函數解析式中，確定出解析式，應y表示出x，根據x的范圍列出關于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的取值范圍。13.（2023廣東肇慶10分）已知二次函數圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，與y軸交于點C，O為坐標原點，．（1）求證：；（2）求m、n的值；（3）當p﹥0且二次函數圖象與直線僅