信號與系統

SignalsandSystems西安電子科技大學XidianUniversity,Xi’anChina國家精品課程,國家精品資源共享課第四章傅里葉變換與頻域分析4.1信號分解為正交函數Z4.1矢量的正交分解Z4.2信號的正交分解Z4.3帕斯瓦爾定理4.2周期信號的傅里葉級數Z4.4周期信號三角形式的傅里葉級數Z4.5周期信號波形的對稱性和諧波特性Z4.6周期信號指數形式的傅里葉級數Z4.7兩種傅里葉級數展開形式的關系4.3周期信號的頻譜及特點Z4.8周期信號的頻譜Z4.9單邊譜和雙邊譜的關系Z4.10周期矩形脈沖信號的頻譜和特點Z4.11周期信號的平均功率——帕斯瓦爾恒等式Z4.12應用案例：DC-to-AC轉換器4.4非周期信號的頻譜——傅里葉變換Z4.13頻譜密度函數Z4.14傅里葉正反變換的定義Z4.15常用信號的傅里葉變換第四章傅里葉變換與頻域分析4.5傅里葉變換的性質Z4.16線性Z4.17奇偶性Z4.18對稱性Z4.19尺度變換特性Z4.20時移特性Z4.21頻移特性Z4.22卷積定理Z4.23時域微積分特性Z4.24頻域微積分特性Z4.25相關定理4.6能量譜和功率譜Z4.26能量譜Z4.27功率譜Z4.28*應用案例：白噪聲功率譜密度的估計4.7周期信號的傅里葉變換Z4.29周期信號的傅里葉變換Z4.30周期信號傅里葉級數與傅里葉變換的關系第四章傅里葉變換與頻域分析4.8LTI系統的頻域分析Z4.31基本信號ejωt作用于LTI系統的響應Z4.32一般信號f(t)作用于LTI系統的響應Z4.33傅里葉變換分析法Z4.34傅里葉級數分析法Z4.35頻率響應函數Z4.36Matlab求解頻率響應Z4.37無失真傳輸Z4.38理想低通濾波器Z4.39應用案例：二次抑制載波振幅調制接收系統Z4.40*應用案例：雷達測距系統4.9取樣定理Z4.41沖激取樣Z4.42時域取樣定理Z4.43頻域取樣定理Z4.44應用案例：Matlab實現Sa信號的采樣和恢復Z4.45*應用案例：數字錄音系統第四章傅里葉變換與頻域分析4.10模擬濾波器Z4.46模擬濾波器的概念Z4.47Matlab設計巴特沃斯低通濾波器Z4.48*切比雪夫濾波器4.11傅里葉變換在通信系統中的應用Z4.49載波抑制雙邊帶調制Z4.50幅度調制Z4.51*單邊帶調制Z4.52頻分多路復用Z4.53*脈沖幅值調制Z4.54*時分多路復用Z4.55*通信中的多址技術

思考問題：*為什么要引入頻域來分析問題？*對系統進行頻域分析的基本方法是什么？*頻域分析與時域分析相比優點有哪些？知識點z4.0第四章傅里葉變換與頻域分析第四章傅里葉變換與頻域分析4.0引言案例：信號的通信傳輸過程（調制解調）第四章傅里葉變換與頻域分析4.0引言時域分析的要點：以沖激函數為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數；而yzs(t)=h(t)*f(t)。第四章傅里葉變換與頻域分析4.0引言

本章系統頻域分析法的要點：以正弦信號和虛指數信號為基本信號，將任意輸入信號分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數信號之和，再利用LTI性質求出系統的響應。這里用于系統分析的獨立變量是頻率，分析是在頻率空間進行的，故稱為頻率域分析，簡稱頻域分析。第四章傅里葉變換與頻域分析4.0引言主要內容：1.矢量正交、正交矢量集的定義2.矢量的正交分解基本要求：1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念2.了解矢量正交分解對信號正交分解的啟示知識點Z4.1矢量的正交分解4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析1.矢量正交Z4.1矢量的正交分解兩矢量V1與V2正交時的夾角為90°，不難得到兩正交矢量的內積為零，即2.正交矢量集:由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析3.非正交矢量的近似表示及誤差用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，則誤差矢量顯然，當兩矢量V1與V2正交時，c12=0，即V1·V2=0。4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析4.矢量正交分解：任意N維矢量可由N維正交坐標系表示。

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間：在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。推廣到n維空間:n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為n個正交矢量的線性組合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)，第r個分量的系數

4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.信號正交的定義2.正交函數集、完備正交函數集的定義3.信號的正交分解基本要求：1.掌握信號正交、正交函數集和完備正交函數集的基本概念2.掌握信號正交分解的方法知識點Z4.2信號的正交分解4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析1.信號正交

定義在(t1，t2)區間的兩個函數

1(t)和

2(t),若滿足(兩函數的內積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區間(t1，t2)內正交。Z4.2信號的正交分解4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析2.正交函數集：

若n個函數

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構成一個函數集，當這些函數在區間(t1，t2)內滿足則稱此函數集為在區間(t1，t2)上的正交函數集。4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析3.完備正交函數集：

如果在正交函數集{1(t),

2(t),…,

n(t)}之外，不存在任何函數(t)(≠0）滿足則稱此函數集為完備正交函數集。4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析例1：兩組典型的在區間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數集。證明過程見擴展資源Y4001。（1）三角函數集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}（2）虛指數函數集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析4.信號的正交分解

設有n個函數

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區間(t1，t2)構成一個正交函數空間。將任一函數f(t)用這n個正交函數的線性組合來近似，可表示為通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。思考問題：如何選擇各系數Cj使f(t)與近似函數之間誤差在區間(t1，t2)內為最??？4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析為使上式最小（系數Cj變化時），有展開上式中的被積函數，并求導。上式中只有兩項不為0，寫為：即：所以系數4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析代入，得最小均方誤差在用正交函數去近似f(t)時，所取的項數越多，即n越大，則均方誤差越小。當n→∞時（完備正交函數集），均方誤差為零。4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析任意信號f(t)可以表示為無窮多個正交函數之和：結論實變函數下復變函數下主要內容：1.信號的能量2.帕斯瓦爾定理基本要求：1.掌握信號能量的基本概念2.了解帕斯瓦爾方程的物理含義和數學本質知識點Z4.3帕斯瓦爾定理4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析4.1信號分解為正交函數第四章傅里葉變換與頻域分析帕斯瓦爾方程：信號的能量各正交分量的能量物理意義：在區間(t1,t2)，信號f(t)所含有的能量恒等于此信號在完備正交函數集中各正交分量能量之和，即能量守恒定理,也稱帕斯瓦爾定理。

數學本質：矢量空間信號正交變換的范數不變性。

Z4.3帕斯瓦爾定理主要內容：1.周期信號三角形式的傅里葉級數2.狄里赫利條件3.吉布斯現象基本要求：1.掌握周期信號三角形式傅里葉級數和諧波的基本概念2.了解狄里赫利條件3.了解吉布斯現象的原理知識點Z4.4三角形式的傅里葉級數第四章傅里葉變換與頻域分析4.2周期信號的傅里葉級數

4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.4周期信號三角形式的傅里葉級數回憶正交函數集：三角函數集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，可展開為三角形式的傅里葉級數。

系數an,bn稱為傅里葉系數。

1.三角形式的傅里葉級數4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析余弦分量系數：正弦分量系數：直流分量：直流n次諧波n次諧波an是n的偶函數（實際n取正值）bn是n的奇函數（實際n取正值）4.2周期信號的傅里葉級數第四章傅里葉變換與頻域分析2.狄里赫利(Dirichlet)條件：條件1：在一個周期內，函數連續或只有有限個第一類間斷點；條件2：在一個周期內，函數極大值和極小值的數目應為有限個；條件3：在一個周期內，函數絕對可積。4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析合并n次諧波分量An是n的偶函數（實際n取正值）n是n的奇函數（實際n取正值）3.余弦形式的傅里葉級數4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析A0/2為直流分量；A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，角頻率與原周期信號相同；A2cos(2t+2)稱為二次諧波；…Ancos(nt+n)稱為n次諧波。表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析例1：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數。解：考慮到Ω=2π/T，可得：4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析信號的傅里葉級數展開式為：直流基波3次諧波n次諧波4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析（a）1次諧波（基波）

（c）1&3&5次諧波（f）1&3&…&999次諧波（e）1&3&…&99次諧波（d）1&3&5&7次諧波（b）1&3次諧波約9%偏差吉布斯現象用有限項傅里葉級數表示有間斷點的信號時，在間斷點附近不可避免的會出現振蕩和超調量。超調量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。只是隨著項數的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。當選取的項數很大時，該超調量趨于一個常數，大約等于總跳變值的9%，并從間斷點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。這種現象通常稱為吉布斯現象。4.吉布斯現象4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.奇函數、偶函數、奇諧函數和偶諧函數2.諧波特性基本要求：

了解奇函數、偶函數、奇諧函數和偶諧函數的諧波特性知識點Z4.5周期信號波形對稱性和諧波特性第四章傅里葉變換與頻域分析4.2周期信號的傅里葉級數

4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.5周期信號波形的對稱性和諧波特性1.f(t)為偶函數——對稱于縱軸f(t)

=f(-t)bn

=0，展開為余弦級數。4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析2.f(t)為奇函數——對稱于原點f(t)

=-f(-t)an

=0，展開為正弦級數。4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析3.f(t)為奇諧函數——f(t)=–f(t±T/2)其傅里葉級數中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量，即：a0=a2=…=b2=b4=…=0

4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析4.f(t)為偶諧函數——f(t)=f(t±T/2)

其傅里葉級數中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量，即：a1=a3=…=b1=b3=…=0主要內容：1.指數形式的傅里葉級數2.復傅里葉系數基本要求：1.掌握傅里葉級數的指數形式展開式2.掌握復傅里葉系數的基本概念知識點Z4.6指數形式的傅里葉級數第四章傅里葉變換與頻域分析4.2周期信號的傅里葉級數

4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.6指數形式的傅里葉級數

三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用指數形式的傅里葉級數。三角形式傅里葉級數利用歐拉公式-n→nA–n=An–n=–n4.2周期信號的傅里葉級數令復數稱為復傅里葉系數，簡稱傅里葉系數。4.2周期信號的傅里葉級數第四章傅里葉變換與頻域分析表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和。Fn

是頻率為n的分量的系數，F0=A0/2為直流分量。指數形式的傅里葉級數復傅里葉系數4.2周期信號的傅里葉級數第四章傅里葉變換與頻域分析例1：求如圖所示周期信號的指數形式的傅里葉級數。解：4.2周期信號的傅里葉級數第四章傅里葉變換與頻域分析指數形式的傅里葉級數為：主要內容：三角形式和指數形式傅里葉級數的相互關系基本要求：掌握三角形式和指數形式傅里葉級數的相互關系知識點Z4.7兩種傅里葉級數展開形式的關系第四章傅里葉變換與頻域分析4.2周期信號的傅里葉級數

4.2周期信號的傅里葉級數

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.7兩種傅里葉級數展開形式的關系三角形式的傅里葉級數：

指數形式的傅里葉級數：知識點Z4.8周期信號的頻譜第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.周期信號頻譜、頻譜圖的定義2.單邊譜的定義3.雙邊譜的定義基本要求：1.掌握周期信號頻譜和頻譜圖的基本概念2.掌握單邊譜、雙邊譜的基本概念4.3周期信號的頻譜及特點第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.8周期信號的頻譜信號的頻譜是指信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系。將An~ω和n~ω的關系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關系，稱為雙邊譜。若Fn為實數，也可直接畫Fn~ω。4.3周期信號的頻譜及特點知識點Z4.9單邊譜和雙邊譜的關系第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：單邊譜和雙邊譜的關系基本要求：熟練掌握單邊譜和雙邊譜的頻譜圖的繪制4.3周期信號的頻譜及特點第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.9單邊譜和雙邊譜的關系三角形式：單邊譜，n取0到+∞指數形式：雙邊譜，n取-∞到+∞關系：雙邊譜中，|Fn|是n的偶函數,n是n的奇函數。4.3周期信號的頻譜及特點4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析例1：周期信號求基波周期T,基波角頻率Ω,平均功率P,畫出頻譜圖。解

化為余弦形式：的周期T1=8的周期T2=6f(t)的周期為T1和T2最小公倍數T=24基波角頻率Ω=2π/T=π/12.基波周期T=24;根據帕斯瓦爾等式4.3周期信號的頻譜及特點

1是f(t)的直流分量。是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析|Fn|偶函數n奇函數知識點Z4.10周期信號頻譜的特點第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.周期矩形脈沖信號的頻譜2.周期信號頻譜的特點3.譜線結構與波形參數的關系基本要求：1.掌握周期矩形脈沖信號的頻譜2.了解周期信號頻譜的特點3.了解譜線結構與波形參數的關系4.3周期信號的頻譜及特點

4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.10信號頻譜的特點例1:有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。解：4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數）令T=4τ4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析令T=4τ

(2)零點為，m為整數。4.3周期信號的頻譜及特點第四章傅里葉變換與頻域分析令T=4τ離散性：以基頻Ω

為間隔的若干離散譜線組成；諧波性：譜線僅含有基頻Ω的整數倍分量；收斂性：整體趨勢減小。周期信號頻譜的特點：4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析T不變，↓，頻譜幅度↓，譜線間隔不變。兩零點之間的譜線數目(T/)

↑。譜線結構與波形參數的關系:4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析不變，T↑，幅度↓，間隔↓，頻譜變密。T→∞時，譜線間隔=2π/T

→0，譜線幅度→0，周期信號的離散頻譜過渡為非周期信號的連續頻譜。譜線結構與波形參數的關系:知識點Z4.11周期信號的功率第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.周期信號功率的定義2.帕斯瓦爾等式3.頻帶寬度的定義基本要求：1.掌握周期信號功率的基本概念2.熟練掌握帕斯瓦爾等式計算周期信號功率的方法3.了解頻帶寬度的概念4.3周期信號的頻譜及特點

4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.11周期信號的功率含義：

周期信號平均功率=直流和諧波分量平均功率之和。周期信號一般是功率信號，其平均功率為表明：對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在頻域中求得的信號功率相等。這是帕斯瓦爾定理在傅里葉級數情況下的具體體現;4.3周期信號的頻譜及特點第四章傅里葉變換與頻域分析令T=4τ頻帶寬度第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析令T=4τ

第一個零點以內各分量的功率占總功率：4.3周期信號的頻譜及特點第四章傅里葉變換與頻域分析(1)一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：

語音信號 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號

頻率大約為50~15,000Hz，擴音器/揚聲器有效帶寬約為

15~20,000Hz。(3)系統的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真。(2)對于一般周期信號，將幅度下降為的頻率區間定義為頻帶寬度。知識點Z4.12應用案例：DC-to-AC轉換器第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：基于周期性切換原理的DC-to-AC轉換器基本要求：了解利用傅里葉級數求解基于周期性切換原理的直流-交流轉換器轉換效率的方法4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析Z4.12應用案例：DC-to-AC轉換器例1DC-to-AC轉換器：一個簡單的基于周期性切換原理的直流-交流轉換器如圖所示。考慮兩個情況：(a)轉換器開/關，(b)轉換器反轉極性。圖(a)和(b)描繪了上述兩個情況的輸出波形。轉換效率定義為輸出波形上60Hz分量的功率因數。請計算兩種情況下的效率。Switchat60Hz+-+-4.3周期信號的頻譜及特點

4.3周期信號的頻譜及特點

第四章傅里葉變換與頻域分析解：由圖(a)中的方波x1(t)可知，T=1/60s,Ω=2π/T=120

πrad/s.x1(t)的三角形式傅里葉系數為:4.3周期信號的頻譜及特點第四章傅里葉變換與頻域分析由圖(b)中的方波x2(t)可知，T=1/60s,Ω=2π/T=120πrad/s.x2(t)的三角形式傅里葉系數為:x2(t)知識點Z4.13非周期信號的頻譜第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.非周期信號的頻譜2.頻譜密度函數基本要求：1.了解由非周期信號頻譜引出非周期信號頻譜的過程2.掌握頻譜密度函數的基本概念4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換第四章傅里葉變換與頻域分析T→∞時，

f(t):周期信號→非周期信號;

譜線間隔=2π/T

→0，譜線幅度→0，周期信號的離散頻譜過渡為非周期信號的連續頻譜。回憶Z4.13非周期信號的頻譜——頻譜密度函數不變，T↑，幅度↓，間隔↓，頻譜變密。4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換1.引出4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換

第四章傅里葉變換與頻域分析雖然各頻率分量的幅度趨近于無窮小，但無窮小量之間相對大小仍有差別，引入頻譜密度函數。T→∞時0

f(t):周期信號非周期信號譜線間隔0離散頻譜連續頻譜4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換

第四章傅里葉變換與頻域分析(單位頻率上的頻譜）T→∞時

Ω→dω（無窮小量）

nΩ→ω（離散→連續）稱為頻譜密度函數，簡稱頻譜函數。2.頻譜密度函數知識點Z4.14傅里葉變換第四章傅里葉變換與頻域分析主要內容：1.傅里葉變換2.傅里葉反變換基本要求：1.熟練掌握傅里葉變換和傅里葉反變換的計算公式2.了解傅里葉變換存在的條件4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換

4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換

第四章傅里葉變換與頻域分析F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換。F(jω)一般是復函數，寫為幅度頻譜，頻率ω的偶函數相位頻譜，頻率ω的奇函數1.傅里葉變換4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換第四章傅里葉變換與頻域分析∑→∫于是f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數。根據傅里葉級數2.傅里葉反變換T→∞時Ω→dω（無窮小量）

nΩ→ω（離散→連續）4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換

第四章傅里葉變換與頻域分析傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式“+”簡記為：F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)?F(jω)3.傅里葉變換對4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換第四章傅里葉變換與頻域分析

(1)前面推導并未遵循嚴格的數學步驟?？勺C明，函數

f(t)的傅里葉變換存在的充分