梁的變形第七章第七章梁的變形§7-1概述§7-2梁的撓曲線的近似微分方程§7-3積分法計算梁的位移§7-4疊加法計算梁的位移§7-5梁的剛度校核§7-6簡單超靜定梁目錄§7-1概述7-1基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線撓度轉角撓度y：截面形心在y方向的位移向下為正轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。順時針為正7-2§7-1概述CC’推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響目錄§7-2梁的撓曲線的近似微分方程由數學知識可知：y=f(x)上任一點曲率公式為略去高階小量，得所以§7-2梁的撓曲線的近似微分方程（）（7-1）撓曲線近似微分方程由彎矩的正負號規定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數符號相反，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。§7-2梁的撓曲線的近似微分方程

(7-2)§7-3積分法計算梁的位移撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3(7-3)(7-4)積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續條件確定。位移邊界條件光滑連續條件－彈簧變形目錄§7-3積分法計算梁的位移例7-1一等截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，梁的EI已知，求自由端截面的轉角和撓度。解1）建坐標寫出x截面的彎矩方程2）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次§7-3積分法計算梁的位移3）由位移邊界條件確定積分常數代入求解4）確定轉角方程和撓度方程5）確定自由端轉角和撓度§7-3積分法計算梁的位移轉角為正值說明B截面順時針轉動。撓度為正值說明撓度是向下的。例7-2一受均布荷載的等截面簡支梁如圖，梁的EI已知，求梁的最大撓度和B截面的轉角。解建坐標，彎矩方程為§7-3積分法計算梁的位移撓曲線的近似微分方程式為積分一次再積分一次梁的邊界條件為代入得：轉角方程式和撓度方程式分別為：§7-3積分法計算梁的位移求最大撓度：因梁和梁受荷載是對稱的，所以最大撓度發生在跨中x=l/2代入撓曲線方程得最大撓度：x=l代入轉角方程得B截面轉角為：例7-3等截面簡支梁上作用一集中力F，梁的彎曲剛度為EIZ，求C截面的撓度和A截面的轉角。解建坐標，求梁的支反力§7-3積分法計算梁的位移兩段的撓曲線的近似微分方程式及積分分別為：AC段：彎矩方程為：AC段：CB段：一次積分二次積分§7-3積分法計算梁的位移一次積分二次積分CB段：四個積分常數，需列四個方程：邊界條件：連續條件：將邊界條件和連續條件代入撓度、轉角方程得：§7-3積分法計算梁的位移CB段：AC段：C截面的撓度為：x1=a代入AC段撓度方程式A截面轉角：x1=0代入AC段轉角方程式：§7-3積分法計算梁的位移積分法求位移步驟（1）建坐標系，先列彎矩方程（2）建立撓曲線的近似微分方程（3）對微分方程積分得轉角、撓度積分方程轉角積分方程撓度積分方程（4）列邊界條件或連續條件求積分常數，得轉角、撓度方程注意：彎矩方程為n個時，有2n個積分常數，需列2n個條件方程。討論積分法求位移有什么優缺點？§7-3積分法計算梁的位移為了實用上的方便，總結了各種常見荷載作用下轉角、撓度方程：P131表7-1疊加法：梁在若干個簡單載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個簡單載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。§7-4疊加法計算梁的位移例

已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；A截面的轉角B1）將梁上的載荷分解2）查表7-1得2種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解§7-4疊加法計算梁的位移X=l/2X=0X=l/2X=03）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和

§7-4疊加法計算梁的位移疊加法適用范圍：小變形，材料處于彈性階段且符合胡克定律（線彈性范圍內）。例7-4一懸臂梁，q、l、EI均為已知。求自由端轉角和撓度。梁在荷載作用下撓曲線如虛線所示，其中B’C’為直線，所以C、B兩截面轉角相同。C截面撓度可視為兩部分組成：yB、ya(B’C’繞B’點轉動θB）解§7-4疊加法計算梁的位移因小變形，ya可用aθB來表示。所以：C截面撓度為：例7-5已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

解§7-4疊加法計算梁的位移3）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。

§7-4疊加法計算梁的位移討論疊加法求變形有什么優缺點？§7-4疊加法計算梁的位移在建筑工程中，一般只校核撓度§7-5梁的剛度校核剛度條件：式中：——最大撓度；l——梁的跨度；——撓度容許值與跨長比值，根據不同工程用途，規范值不同，一般給定或可查§7-5梁的剛度校核例7-7一承受均布荷載的簡支梁如圖，已知l=6m，q=4kN/m,,梁采用22a號工字鋼，E=2×105MPa。試校核梁的剛度。解：查得工字鋼的慣性矩為：梁跨中的最大撓度為：滿足剛度要求。§7-6簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數目大于有效平衡方程數目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數：多余約束或多余支反力的數目。相當系統：用多余約束力代替多余約束的靜定系統7-6§7-6簡單超靜定梁2.求解方法——比較變形法：解除多余約束，建立相當系統——比較變形，列變形協調條件——由物理關系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。7-6解例

求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數2）解除多余約束，建立相當系統3）進行變形比較，列出變形協調條件§7-6簡單超靜定梁4）由物理關系，列出補充方程所以5