第九章正弦穩態功率和能量三相電路§9-1基本概念§9-4單口網絡的平均功率功率因數§9-5單口網絡的無功功率§9-7正弦穩態最大功率傳遞定理§9-2電阻的平均功率§9-3電感、電容的平均儲能1第9章正弦穩態功率和能量學習目的：掌握正弦穩態電路的功率計算。學習重點：計算平均功率、無功功率、視在功率、功率因數。學習難點：負載獲得最大功率。關鍵詞：功率、功率因數。2若在dt時間內，由a點轉移到b點的正電荷為dq，且由a到b為電壓降u，則正電荷失去的能量，即ab段電路消耗或吸收的能量為

dw=u?dq

p(t)>0時，電路吸收功率

p(t)<0時，電路放出功率1、能量瞬時功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在關聯參考方向下§9-1基本概念2、功率3

R:p

=

u·i=i2R>

0耗能元件L、C:p

>0吸收功率

p

<0放出功率

儲能元件pdwdt（t）=p=u·ip>0吸收功率；p<0放出功率。w(t)

=∫t∞-p(t

)dt§9-1基本概念消耗或吸收的能量為N0+–i(t)u(t)41.瞬時功率+u

i設：u(t)

=

Umcosti(t)

=

Imcost

p(t)

=

u·i

=

Umcost

Imcost

=

UmImcos2(t

)UmIm[cos(2t)+1]=12(1)

p

>

0

(2)

p

隨時間變化，變化的角頻率為2t

，是電壓或電流角頻率的2倍。

0tipuu·i·pπ2π§9-2電阻的平均功率結論：52.平均功率(有功功率）

P

=T1∫T0UmIm12UmIm[cos(2t)＋1]dt12=UmIm

=

UI12P

=P

=

I2RR

U2P

=平均功率的大小與電流的頻率及初相角無關61p(t)

=

Umcost

Imsint

=2UmImsin2t

0tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦規律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗電能

(2)平均功率結論：–

+uiL設:u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos(

t–90o)§9-3電感、電容的平均儲能1.電感元件（1）瞬時功率

7（4）貯能w(t)=12Li2(t)=12LIm2sin2t

=14LIm2(1-cos2t

)LIm2=14LIm2cos2t

14平均貯能：LIm2=WL

=14LI212(3)無功功率—瞬時功率的最大值：電感與電源之間能量交換的規模稱為無功功率。單位為乏爾(var)

。QL

=

UI

=LI2=2WL無功功率又可表示為：i(t)

=

Imcos(

t–90o)8（1）瞬時功率

A.p按正弦規律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗電能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcost

Imsint

=–UmImsin2t

UIsin2t

=–2.電容元件設:i(t)

=

Imcos(t–90o)u(t)

=

Umcos(t–180o)–

+uiC0tipuu·i·pπ2π結論：9(3)無功功率—瞬時功率的最大值（4）貯能平均貯能：瞬時能量QC

=–

UI

=–

CU2=–2WC無功功率又可表示為：u(t)

=

Umcos(t–180o)10單一參數的交流電路小結元件類型瞬時值關系大小關系相量關系功率純電阻元件URm=RIRm

UR=RIR

UR=RIRP=IRUR=RIR2Q=0純電感元件ULm=XLILm

UL=XLILXL=LQ=ILUL=XLI2=2WLP=0純電容元件UCm=XCICmUC=XCICXC=1/

CQ=–ICUC=–

XCI2

=–2WCP=0uR=iRR1112課堂練習：

P-75習題：9－3P-75習題：9－4P-69習題：9－1P-69習題：9－21128結束12§9-4單口網絡的平均功率功率因數設u(t)=Umcos(t+u)i(t)=Imcos(t+i)p(t)=UmImcos(t+u)cos(t+i)UmIm[cos(u-i)+cos(2t+u+i)]21=UmImcos(u-i)+UmImcos(2t+u+i)2121=N0i(t)電源+u(t)一.瞬時功率2coscos=cos(

-)+cos(+)N0不含獨立源阻抗角

j=u–i13u·i·p0tipuπ2π二.平均功率P=T1pdt∫T0一.瞬時功率P

=

∑PKnK=1平均功率守恒j

：功率因數角=cosj：功率因數14

在無獨立源的單口網絡交流電路中，可將電路等效為RLC的串聯。I?U?UR?UL?UC?UL?UC?RLC串聯電路相量圖§9-5單口網絡的無功功率和視在功率UX?UX=UL–UCUXI=ULI–UCIQ=QL+QC三.無功功率QL=ULIQC＝–UCIUURUX15電壓三角形功率三角形§9-5單口網絡的無功功率和視在功率S2=P2+Q2S=UIQ=UXIP=URI視在功率：S=UI

（單位：伏安）Q

=

UIsinjUURUX三.無功功率Q=QL+QC四.視在功率16功率小結：1.平均功率(W):功率因數角、阻抗角、電壓與電流的相位差電阻上消耗的功率之和S=UIQ=UXIP=URIP

=

∑PKnK=1功率因數17功率小結：3.視在功率Q=QL+QC電感與電容無功功率的代數和2.無功功率(var)

S=UI

（伏安）S=UIQ=UXIP=URIQ

=

UIsinj電感取正，電容取負，視在功率反映電源設備的容量Q

=

∑QKnK=118例1:試求電路中的平均功率P,無功功率Q，視在功率S及功率因數cos，已知：=1000oV。U?解：方法一Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10–36.87o3.633.69o==2.78–

70.56oI=UZ??=1000o2.78–

70.56o=3670.56oAP=UIcos=100×36cos(0o–

70.56o)=1200WQ=UIsin=100×36sin(0o–

70.56o)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos=cos(0o–70.56o)=0.33I?j43+–U

?I1?I2?–j219解：方法二I1=U|Z1|=1005=20AI2=U|Z2|1002==50AP=I12R=202×3=1200WQL=I12XL=202×4=1600varQC=–I22XC=–502×2=–5000varQ=QL+QC=1600–5000=–3400var=arctgQ/P=–

70.56ocos=cos(–70.56o)=0.33S=P2+Q2=3600V·AU?例1:試求電路中的平均功率P,無功功率Q，視在功率S及功率因數cos，已知：=1000oV。I?j43+–U

?I1?I2?–j220例2圖示電路中電壓源在

=400rad/s和超前功率因數0.8之下供電（即電流超前電壓）,消耗在電阻上的功率是100W，試確定R和C的值。解：cosj=0.8j=–arccos0.8=–36.87°R2

+

(C1)2UI

=RC1=

0.751jC1CR1=R2

+

(C)2Z

=

R

+

arctg(–)tg(–36.87?)

=

–0.75RjC1I·+U

=

1000?V–·RC1=

0.75

400

=

30021R2

+

(C1)2U2P

=

I2R

=

R=2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100－－－(2)2C2RU21

+

2C2R2

=

300－－－－－－(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

643001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=RjC1I·+U

=

1000?V–·22

例3.電路如圖所示，

。

（1）求200負載的功率P；

（2）求電源側電路功率因數l；

（3）求100電阻上消耗的功率；

us(t)

=

100√2cos200tV2H200+us–100j400Ri·RL200+Us–100I·23·15I

=1000?300

+

j400=1000?50053.1?=(–53.1)?A

P200?

=

I2RL

=

(

15)2

200

=

8W(2)l

=

cos(u

–

i)

=

cos53.1?

=

0.6(滯后)(3)P100?

=

I2Ri

=

(

15)2

100

=

4W解：(1)US

=

1000?V·j400Ri·RL200+Us–100I·(1)求200負載的功率P

；(2)求電源側電路功率因數l；(3)求100電阻上消耗的功率.24解:例4：R、L、C串聯交流電路如圖所示。已知R=30、L=127mH、C=40F，。求：(1)電流i及電壓uR，uL，uC；(2)功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)得25V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos(2352-=tuC（2）電路為電容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+求：(1)電流i及電壓uR，uL，uC；(2)功率P和Q。2627課堂練習：

P-86練習題：9－9P-86練習題：9－1027功率因數低引起的問題平均功率

P=UNIN

cos

功率因數(1)電源設備的容量不能充分利用(2)增加輸電線路和發電機繞組的功率損耗在P、U一定的情況下，cos越低，I越大，損耗越大。情況下，cos

越低，P越小，設備得不到充分利用。P=UIcos

電壓與電流的相位差、阻抗角、功率因數角在電源設備UN、IN一定的五.提高功率因數1.提高功率因數的意義28提高功率因數的方法+–uiiRLLRCiCI

?IC?IRL?U

?1電路功率因數低的原因

并聯電容后，電感性負載的工作狀態沒變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了整個電路的功率因數。同時總電流減小。通常是由于存在電感性負載將適當的電容與電感性負載并聯因

<

1

故

cos>cos

12、提高功率因數cos的方法29例3設有一臺220V、50Hz、50kW的感應電動機，功率因數為0.5（1）電源供應的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯電容使功率因數為0.9，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？解：（1）PL=UIL

cosL

+–uiLPL=50kWiCiCQL=UIL

sinL=2204550.866=86.7kvarcosL=0.5L=6030例3設有一臺220V、50Hz、50kW的感應電動機，功率因數為0.5（1）電源供應的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯電容使功率因數為0.9，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）并聯電容后，電源提供的無功功率解：cos=0.9=25.84由QC

=–

CU2P=UIcos31§9-7正弦穩態最大功率傳遞定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·求負載獲得最大功率的條件設UOC、Z0不變，ZL可變，·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL·32(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL=當X=X0+XL=0時，分母最小，PL最大(R0

+

RL)2

UOC2

RLPL

=dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC2(R0+RL)4(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL

=

R0負載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(–arctgR0+RL)X0+XL·Z0ZLI·+UOC-·+UL-·33(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4RO

UOC2獲得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·負載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變34(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)負載為純電阻RLdPL(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)dRL=[(R0+RL)2+X02]2UOC2=0(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)=0R02+2R0RL+RL2+X02–2R0RL–2RL2=0R02–RL2+X02=0RL2=R02+X02RL=R02+X02=

Z0模匹配PLmax=I2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·35

(3)負載ZL的阻抗角固定而模可改變

ZL

=

R02

+

X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL=RL

+

jXL=|ZL|∠j在這種情況下，可以證明，負載獲得最大功率的條件為：負載阻抗的模應與電源內阻抗的模相等，稱為模匹配。在這種情況下，負載所獲得的最大功率并非為可能獲得的最大值。如果負載阻抗的阻抗角也可調節，還能使負載得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·36負載獲得最大功率的條件ZL=RL+jXL

RL和XL都可變*ZL

=

Z0負載為純電阻

RLPLmax=I2RLZL的阻抗角固定而模可改變模匹配PLmax=I2RL模匹配共軛匹配37例1：電路如圖，求（1）獲得最大功率時ZL為何值？（2）最大功率值；（3）若ZL為純電阻，ZL獲得的最大功率。解：Z0

=(2

+

2)

103

j4

103(2

+

2)

103

+

j4

103=j16

1034

+

j4=

2

+

j2

=

2245?k（1）ZL

=

2

–

j2k

時獲得最大功率=

212245?V=212

j42

+

j2·UOC=2

1032

103

+

(

2

103

+

j4

103)

2120?

10-3

j4

103（2）ZL2120?mAj4K2K2K+UOC–·2120?mAj4K2K2K38·I·Z0ZLUOC·UOC

=212245?V(2)Pmax

=4

2

103=

UOC2(2122)28

103=

11.24W(R0

+

RL)2

UOC2

RL

=Pmax

=4RO

UOC2獲得的最大功率ZL

=

2–

j2k

時獲得最大功率39ZL

=

22103

=

2.83K時獲得最大功率I

=·(2

+

j2

+

2.83)

103

UOC·=212245?(4.83

+

j2)

103=57.3422.51?mAPmax

=

I2RL

=

(57.34

10-3)2

2.83

103

=

9.3WI·Z0ZLUOC·（3）若ZL為純電阻，求ZL獲得的最大功率。Z0

=

2245?k40正弦交流電路的過渡過程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–us(t)

=

Usmcos(

t+)uC

(t)

=

uCh+

uCpuCh—對應齊次方程的通解，即暫態解uCp—非齊次方程的特解，解的結構即穩態解，用相量法求：設：41正弦交流電路的過渡過程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–響應非齊次方程的解，uC

(t)

=

uCh+

uCp根據42正弦交流電路的過渡過程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–4344ABCUA?UB?UC?相電壓N中性點中性線（零線）相線（火線）相線相線1.三相電源的星形聯接相線與中性線之間的電壓稱為相電壓;其有效值用UA、

UB、UC表示或一般用UP表示。+–+–+–=UP–120oUB?=UP0oUA?UC?=UP120o=UA0oUA?=UB–120oUB?UC?=UC–

240ouA=UmsintuB=Umsin(t–120°)uC=Umsin(t–240°)45ABCEA?EC?EB?UA?UB?UC?UBC?UAB?UCA?N中性點中性線相線（火線）相線相線1.三相電源的星形聯接+–+–+–兩條相線之間的電壓稱為線電壓。其有效值用UAB、UBC、UCA表示或一般用Ul表示。