北京科技大學數理學院應用力學系工程中的有限元方法第八章梁與板殼問題本章重點和應掌握的內容1、介紹梁問題的有限元格式。2、介紹板殼問題分析的有限元格式3、結構單元與實體單元的連接問題4、ANSYS的自由度耦合方法。

1、位移函數據材料力學可知，轉角與擾度存在如下關系：設x軸與梁單元重合，梁的主慣性軸為y，外載作用于同一平面內，則梁單元處于平面彎曲狀態。每個節點兩個自由度，即y向線位移和繞z軸的轉角，節點力和節點力矩如圖所示。節點力和節點位移向量為：§8.1純彎曲梁單元剛度矩陣利用兩個節點坐標可帶定四個系數，并整理為插值函數形式：梁單元彎曲變形時，若忽略剪切的影響，則由材料力學得x方向的位移及應變為：2、應變矩陣將形函數代入幾何方程得：3、剛度矩陣由：注意：當梁單元受到拉壓和彎曲綜合作用時（稱平面剛架梁單元），單元的節點位移向量和節點力向量為：

其剛度矩陣可直接迭加得到（當然，必須先將矩陣擴大為6x6的矩陣）§8.2拉壓-彎曲梁單元剛度矩陣桿單元擴大剛度矩陣彎曲梁單元擴大剛度矩陣剛度矩陣為：其剛度矩陣類似上述受拉壓-彎曲綜合作用的梁單元剛陣的形成，可迭加得：（也可據剛度矩陣元素的物理意義，從材料力學得到）對于空間梁單元，每個節點有六個自由度，設x軸為單元軸線，節點位移和節點力向量為：§8.3拉壓-彎曲梁單元剛度矩陣第1行，對應只有ui=1，其他自由度位移為0時，在相應自由度上的受力（只有軸線方向受力）；即受拉壓作用的桿單元剛陣；第2，3行，vi=1,(或wi=1)，其他自由度位移為0時，即單跨超靜定梁因桿端位移產生桿端力的情況，第4行，即桿純扭轉情況，第5，6行，即單垮超靜定梁因桿端位移產生桿端力的情況，純彎曲。（以上矩陣元素均可從材料力學公式中查得）基本方法與步驟與前述的桿單元的節點位移、節點力和剛度矩陣變換到統一的整體坐標的步驟相同。§8.4坐標變換與整體剛度矩陣的組裝梁單元

是線單元，用于模擬桿系結構。在一些情況下，梁單元比實體單元和殼單元更有效，常用于以下工程領域：建筑結構橋梁和道路公共交通(有軌電車, 火車,公共汽車)等§8.5ANSYS梁單元A.梁的屬性建立梁的第一步,同任何分析一樣，先建立幾何模型—通常是由關鍵點和線組成的線框。接著，定義如下的梁屬性：單元類型橫截面材料特性單元類型選擇下面單元類型之一：BEAM188—3-D,線性(2-節點)。BEAM189—3-D,二次函數(3-節點)。ANSYS還有許多其它梁單元，推薦使用

BEAM188和189對絕大部分梁結構都適合。支持線性和非線性分析，包括塑性，大變形和非線性失穩。可以模擬分層材料、復合材料、截面配筋。用戶自定義截面。在前、后處理過程中很容易使用。截面定義BEAM188和189單元，包括對橫截面的定義。BeamTool

提供了一個定義截面的方便工具。Preprocessor>Sections>Beam>CommonSectns...選擇截面的形狀，輸入尺寸。按

Preview

按鈕觀察截面，然后按

OK。若有多種截面，必須給每種截面指定不同的編號（還可以賦予名字）。梁橫截面預覽(SECPLOT)。除了預先規定的截面形狀外，

ANSYS允許用戶通過建立二維實體模型來建立“自定義”截面。同標準截面一樣，可以把自定義的截面保存到截面幾何數據庫中，便于日后使用。詳細信息請參考ANSYS結構分析手冊第16章。材料屬性可以是線性或非線性材料屬性。梁的屬性定義好以后，下一步是對幾何模型進行網格劃分。B.梁網格劃分對幾何模型用梁單元做網格劃分，包括三個主要步驟:指定線的屬性指定線分割控制劃分網格

MeshTool

提供了完成上述三個步驟的便利操作第1步：指定線的屬性線屬性包括：材料號截面號定位關鍵點截面相對于梁軸線的方位。必須指定截面類型。一個關鍵點可以分配給多條線(即，不需要為每條線都指定不同的關鍵點)。每條線的端點都有它的定位關鍵點，允許截面繞梁的軸線扭轉。定位關鍵點的示例：MainMenu:Preprocessor→Meshing→MeshAttributes→PickedLines拾取梁線→PickOrientationKeypoint(s)提示框內打勾（顯示yes）→Apply→拾取參考點

也可以用MeshTool指定單元屬性(或選擇線后使用

LATT

命令)拾取線后ApplyBEAM188和189的附加屬性第2步：線分割控制使用BEAM188和189單元,不要把整個梁作為一個單元。使用MeshTool的“SizeControls”指定想要的線分割數(或用LESIZE

命令)

。第3步：生成網格先保存數據庫文件(Toolbar>SAVE_DB

或使用SAVE

命令)。按下MeshTool中的

Mesh

按鈕(或執行

LMESH,ALL命令)生成網格。拾取線在單元繪圖中，按截面形狀顯示單元：UtilityMenu>PlotCtrls>Style>SizeandShape…或使用命令/ESHAPE,1網格劃分完成后，施加荷載并求解。C.加載，求解，結果分析典型的梁荷載包括:位移約束施加在節點或關鍵點上。力施加在節點或關鍵點上。壓力按單位長度的壓力施加在梁上。按單元表面的壓力施加在梁上。Solution>Apply>Pressures>OnBeams或使用SFBEAM

命令。重力或離心力作用在整個結構上。求解：保存數據庫文件。求解(或把載荷寫入載荷步文件，然后求解所有載荷步)。查看結果與一般應力分析過程相同：觀察變形。觀察反力。畫應力、應變圖。BEAM188和189單元的主要優點是，可以直接在單元上觀察應力（與殼和實體單元相同），但必須激活單元形狀顯示。一、

彈性薄板基本概念xyzuvw中面所謂薄板是指板厚h比板最小尺寸b在如下范圍的平板板面位移如圖所示。當w小于板厚h時，有克希霍夫(G.kirchhoff)假定成立：

a)板中面是中性面，沒有變形。

b)中面法線變形后仍為撓曲面法線，長度不變。

c)忽略應力z和應變z

。平分厚度的平面稱中面。§8.6彈性板殼基本知識由克希霍夫假定，忽略應變z可推得w與z無關，由b)可知zx和yz等于零，再加上中面無變形，最終可得由此結果可得x向曲率y向曲率扭率他們完全確定板的變形，因此稱他們組成的矩陣為形變矩陣，記作[]，也即：位移只與撓度w有關由此可得薄板應變矩陣為[]=z[]1)設平面應力彈性矩陣為[D]’，則薄板應力矩陣為[]=-z[D]’[]。xyz扭矩彎矩2)薄板內力微元體如圖所示。由圖可得二、

薄板內力和總勢能由此可得薄板單位長度內力為Mx、My、Mxy=Myx

(dx=dy=1)，依此順序排列的列陣稱內力矩陣，記作[M]。將應力應變關系代入并對z進行積分，可得[M]=[D][]式中[D]=（h3/12）[D]’稱作薄板的彈性矩陣。3)薄板的應變能4)薄板的總勢能設薄板受z方向分布荷載q(x)作用，則線彈性薄板的總勢能為上式就是下面作有限元分析的理論依據。能寫出各向同性彈性體的[D]矩陣嗎?

能寫出正交各向異性彈性體的[D]矩陣嗎?1.薄板單元位移模式設局部編號1、2、3、4，x、y方向長度分別為2a、2b的矩形板單元如圖所示。xyzw3y3x3Q1My1Mx112431)結點位移和結點力矩陣圖中還給出了各結點位移和結點力的示意圖。§8.7彈性薄板矩形單元2)形函數的確定薄板的形函數可以用廣義坐標法，也可以用試湊法得到。由于單元自由度為12，因此可有12個廣義坐標，位移模式可設為如下不完全四次多項式利用12個結點位移條件，由廣義坐標法可建立形函數，顯然十分麻煩。龍馭球提出利用對稱性較直接廣義坐標法要容易一些，也還有很大工作量。為此介紹試湊法,首先引入自然坐標=x/a，=y/b。xyzw3y3x3Q1My1Mx112433)試湊形函數N1

由形函數性質，對N1有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4N1對x，y的偏導數在結點處均為零。利用所有點N1的導數為零條件，P.125經式(c)~(l)的推導，可得考慮到撓度是非完全四此式，為使自動滿足它點為零N1(j)=0，可設再由本點處位移的條件，可得d=-1/8，由此xyzw3y3x3Q1My1Mx112434)其他形函數Nj、Nix、Niy

記0=i；

0=

i

仿N1可得:對于轉角xi相關的形函數，同樣思路推導可得對于轉角yi相關的形函數，可推導得xyzw3y3x3Q1My1Mx112435)薄板的撓度場有了每一結點的形函數，記則薄板的撓度場可由結點位移表示為6)單元間位移的協調性可以證明，上述w在邊線上任意一點的撓度和轉角都是三次多項式。xyzw3y3x3Q1My1Mx11243因此，邊線的撓度和轉角可由兩端點的撓度和沿邊線導數對應的轉角唯一地確定。但是，邊界法向轉角只有兩端兩個法向轉角位移條件，當然無法唯一地確定，所以相鄰單元法向轉角位移不協調。由此可見，由形函數所建立的撓度場是非完全協調的。（教材上有更嚴密的數學證明）xyzw3y3x3Q1My1Mx112437)非完全協調元的收斂性對于薄板等位移場非完全協調的位移模式,如何才能保證收斂呢?

Irons給出了分片檢驗準則：用待檢驗的單元組成一小片，在無荷載、單元結點位移滿足“常應變”狀態位移條件時，如果各結點能夠保持平衡且獲得“常應力”受力狀態，則這種位移模式對應的單元在如此網格下一定收斂。教材給出了具體檢驗的方法、步驟，請自學。四、薄板的單元列式1)總勢能用結點位移表示將位移模式代入可得形變矩陣為xyzw3y3x3Q1My1Mx112432)薄板單元剛度方程式中由總勢能的一階變分為零可得xyz殼體一般其中面都是曲面，對于柱面殼體，可以用一系列小的矩形平板來逼近它。此外還有一些折板結構，它們都可以用平板殼元來分析。柱殼折板結構1.平板殼體單元剛度方程殼體結構象拱一樣，中面既受面內力作用產生面內變形外，還將象板一樣產生彎曲。但由于彎曲中面無變形，面內變形又不產生彎曲，兩者互不藕聯。因此，可以象桿件單元一樣，用平面應力和平板彎曲組合來得到殼體單元剛度方程。§8.8矩形平板殼體單元2.坐標轉化問題平面問題（除等參元外）和平板彎曲問題單元局部坐標和整體坐標一致，因此沒有坐標轉換問題。如圖示意，各平板殼元局部坐標可能不同，所以集裝前要做坐標轉換。xzy32取母線為局部x如圖由1、4點的坐標，可以確定局部坐標y的單位向量，局部坐標x單位向量已知，由這兩單位向量的向量積就可獲得局部z坐標單位向量。按上述思路，需要建立各單位向量的方向余弦，由此即可獲得坐標轉換矩陣[T]。14殼體邊界條件的提法對稱邊簡支邊自由邊1/4圓柱殼xyz固定邊簡支點ANSYS殼單元shell181Shell181適用于薄到中等厚度的殼結構。基本原則是每塊面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。殼單元有四個節點，單元每個節點有六個自由度，分別為沿節點X，Y，Z方向的平動及繞節點X，Y，Z軸的轉動。退化的三角形選項用于網格生成的過渡單元。Shell181單元具有應力剛化及大變形功能。該單元有強大的非線性功能，并有截面數據定義，分析，可視化等功能。還能定義復合材料多層殼。Shell181殼單元的截面定義了垂直于殼X-Y平面（中面）的形狀。通過激活殼截面定義可以定義Z方向連續層，每層的厚度，材料，鋪層角及積分點數都可以不同。Shell181單元截面的定義一般步驟為：（Preprocessor→Sections→Shell-Add/Edit）1

定義截面及其相關的截面號碼.2

定義截面的幾何數據.應當注意：殼體有限元可以簡單的看成是平面應力單元與平面彎曲單元的疊加，（1）殼單元對于細節部分的應力分布不能準確顯示。（2