第三章線性系統的時域分析法線性系統的時域分析法引言一階系統時域分析二階系統時域分析線性系統的穩定性分析線性系統的穩態誤差計算§3-1引言

一、時域法的特點直觀、準確二、時域法典型控制過程1、典型初始狀態二、時域法典型控制過程2、典型外作用(t≥0)

（1）單位脈沖信號δ(t)（2）單位階躍信號1(t)（3）單位斜坡（速度）信號t（4）單位加速度信號(?)t2（5）正弦信號Asin(wt+?)

前四者互為導數關系二、時域法典型控制過程3、典型時間響應

（1）單位脈沖響應（2）單位階躍響應（3）單位斜坡（速度）響應（4）單位加速度響應互為導數關系二、時域法典型控制過程

4、動態過程與穩態過程

（1）動態過程（過渡過程、瞬態過程）：系統在典型輸入信號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的響應過程；用動態性能指標描述。

（2）穩態過程：系統在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統輸出量的表現方式；用穩態性能指標描述。§3-2時域性能指標

0tσ超調量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h延遲時間td（DelayTime）：響應曲線第一次達到穩態值的一半所需的時間。上升時間tr（RisingTime）:響應曲線從穩態值的10%上升到90%，所需的時間。上升時間越短，響應速度越快。對于震蕩系統，也可定義為由零開始，首次達到穩態值所需的時間。峰值時間tp（PeakTime）：響應曲線達到第一個峰值所需要的時間。

調節時間ts（SettlingTime）：響應曲線達到并永遠保持在一個允許誤差范圍內，所需的最短時間。用穩態值的百分數（通常取5%或2%）作，超調量（MaximumOvershoot）：指響應的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即⑥

穩態誤差e

ss

：期望值與實際值之差。

或評價系統的響應速度；同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標，從整體上反映系統的快速性。評價系統的阻尼程度。穩定性能指標和抗干擾能力。越小，系統精度越高。ess§3-3一階系統時域分析

一、一階系統數學模型例：RC電路

這種系統實際上是一個非周期性的慣性環節。傳遞函數為：

(T=RC)R(

s)

C(

s)（

b）方塊圖

I(

s)R(

s)

C(

s)（c）等效方塊圖二、一階系統單位階躍響應三、一階系統單位脈沖響應四、一階系統單位斜坡（速度）響應五、一階系統單位加速度響應六、一階系統響應小結等價關系：系統對輸入信號導數的響應，就等于系統對該輸入信號響應的導數；系統對輸入信號積分的響應，就等于系統對該輸入信號響應的積分?！?-4二階系統時域分析

－自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對阻尼系數）一、二階系統數學模型

圖3-9二階系統極點分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個不等根0特征方程：特征根：，欠阻尼系統，

閉環極點為共扼復根，位于左半S平面。，臨界阻尼，兩個相等的負實根，零阻尼，虛軸上一對純虛根,過阻尼，兩個不相等的負實根,負阻尼，兩個正實部的特征根，系統發散二、二階系統單位階躍響應1、負阻尼情況（）二、二階系統單位階躍響應2、過阻尼情況（）二、二階系統單位階躍響應3、臨界阻尼情況（）在控制工程中，除了那些不容許產生振蕩響應的系統外，通常都希望控制系統具有適度的阻尼、快速的響應速度和較短的調節時間。二、二階系統單位階躍響應4、欠阻尼情況（）

令時，亦可用在較大的值范圍內，近似有：，求得

一定，即一定，

,響應速度越快

,根據峰值時間定義，應取

超調量在峰值時間發生，故即為最大輸出

二、二階系統單位階躍響應5、零阻尼情況（）二階系統在不同值瞬態響應曲線例2磁懸浮列車線圈電流—)(sE間隙的大小求K=100時，系統的動態性能指標。三、二階系統單位斜坡響應四、二階系統的性能改善1、比例-微分控制（PD控制）+圖PD控制系統2、速度反饋控制系統的開環傳遞函數:兩種方法的比較:（1）附加阻尼來源不同；（2）使用環境不同；（3）對開環增益和自然頻率的影響不同；（4）對動態特性的影響；（5）實現方法與成本。例：不加速度反饋的二階系統斜坡跟蹤誤差曲線具有速度反饋的二階系統斜坡跟蹤誤差曲線§3-5線性控制系統的穩定性

一、穩定性定義

穩定是控制系統能夠正常運行的首要條件。對系統進行各類品質指標的分析也必須在系統穩定的前提下進行。定義：設一線性定常系統原處于某一平衡狀態，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態，當此擾動撤消后，系統仍能回到原有的平衡狀態，則稱該系統是穩定的。反之，系統為不穩定。

基于穩定性研究的問題是擾動作用去除后系統的運動情況，它與系統的輸入信號無關，只取決于系統本身的特征，因而可用系統的脈沖響應函數來描述。

線形系統的穩定性取決于系統的固有特征（結構、參數），與系統的輸入信號無關。二、線性系統穩定的充要條件三、赫爾維茨穩定判據對于n階系統：該系統穩定的充要條件為：該系統的n個赫爾維茨行列式均為正。閉環特征方程的根必須位于S平面的左半平面

系統穩定充要條件例：如圖所示的IS機器人公司的一體化6腿微型機器人：機械腿由12種150個傳感器組成，能起到與環境交互的作用，能判斷出環境的表面形狀、結構、硬度以及顏色。由陀螺穩定的照相系統和激光測距系統能使其迅速移動、跨越障礙以及其他復雜的動作。試判斷該機器人的穩定性。系統特征方程為：Q(s)=s5+s4+4s3+24s2+3s+63四、勞斯穩定判據(Routh’sstabilitycriterion)1勞斯表令系統的閉環特征方程為將各項系數，按下面的格式排成勞斯表（=an）這樣可求得n+1行系數勞斯穩定判據是根據所列勞斯表第一列系數符號的變化，去判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過程如下：如果勞斯表中第一列的系數均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統是穩定的。如果勞斯表中第一列系數的符號有變化，其變化的次數等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數，相應的系統為不穩定。=an已知一調速系統的特征方程式為例試用勞斯判據判別系統的穩定性：解：列勞斯表由于該表第一列系數的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統是不穩定的。已知某調速系統的特征方程式為

例求該系統穩定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據可知，若系統穩定，則勞斯表中第一列的系數必須全為正值。可得：2勞斯判據特殊情況

勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有余項。解決的辦法是以一個很小的正數來代替為零的這項，據此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數就等于該方程在S右半平面上根的數目，相應的系統為不穩定。如果第一列上面的系數與下面的系數符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統也屬不穩定。

或特征方程兩邊同乘以(s+a),再重新列寫勞斯表。已知系統的特征方程式為試判別相應系統的穩定性。例由于表中第一列上面的符號與其下面系數的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為不穩定。解：列勞斯表勞斯表中出現全零行

則表示相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。這種情況，可利用系數全為零行的上一行系數構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數的系數來代替表中系數為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到。列勞斯表由上表可知，第一列的系數均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=2s4+12s2+16=0，求得兩對大小相等、符號相反的根，顯然這個系統處于臨界穩定狀態。

例如，一個控制系統的特征方程為：

3勞斯判據的應用穩定判據只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數據。也即也不能保證系統具備滿意的動態性能。換句話說，勞斯判據不能表明系統特征根在S平面上相對于虛軸的距離。希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設，并代入原方程式中，得到以為變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該方程中是否有根位于垂線，右側。由此法可以估計一個穩定系統的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠，從而了解系統穩定的“程度”。s1sa-0用勞斯判據檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗是否有根在垂線的右方。

例解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩定。令代入特征方程：列勞斯表第一列的系數符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。式中有負號，顯然有根在的右方。五線性系統的穩態誤差控制系統的性能

動態性能

穩態性能

穩態誤差

本節主要討論原理性穩態誤差的計算方法系統結構--系統類型輸入作用方式1穩態誤差的定義

控制系統框圖在實際系統中是可以量測的

如果，輸出量的希望值，即為輸入量:誤差傳遞函數二階系統在斜坡輸入作用下的響應的誤差曲線二階系統在階躍輸入作用下的響應的誤差曲線公式條件：的極點均位于S左半平面（包括坐標原點）輸入形式結構形式開環傳遞函數給定的穩定系統，當輸入信號形式一定時，系統是否存在穩態誤差，就取決于開環傳遞函數所描述的系統結構以及輸入信號形式。

因此按照控制系統跟蹤不同輸入信號的能力來進行系統分類是必要的。

終值定理，求穩態誤差。2系統類型令系統開環傳遞函數為！

系統類型(type)與系統的階數(order)的區別令

系統穩態誤差計算通式則可表示為分別討論階躍、斜坡和加速度函數的穩態誤差情況階躍信號輸入

令令

則：Staticpositionerrorconstant要求對于階躍作用下不存在穩態誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統斜坡信號輸入

令靜態速度誤差系數

Staticvelocityerrorconstant要求對于斜坡作用下不存在穩態誤差，則必須選用Ⅱ型及Ⅱ型以上的系統加速度信號輸入

令

令靜態加速度誤差系數

Staticaccelerationerrorconstant要求對于加速度作用下不存在穩態誤差，則必須選用Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統靜態位置誤差系數

靜態加速度誤差系數

靜態速度誤差系數

在參考輸入作用下的穩態誤差:

某單位反饋控制系統開環傳函為：，試確定使系統在單位斜坡信號輸入時穩態誤差小于0.1的K的范圍。例3擾動作用下的穩態誤差負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網電壓波動和環境溫度的變化等，這些都會引起穩態誤差。擾動不可避免它的大小反映了系統抗干擾能力的強弱。

擾動穩態誤差控制對象

控制器輸出對擾動的傳遞函數

終值定理:

若擾動為單位階躍信號：

則：

擾動穩態誤差只與作用點前的結構和參數有關。如中的時，相應系統的階躍擾動穩態誤差為零；斜坡穩態誤差只與中的增益成反比。至于擾動作用點后的，其增益的大小和是否有積分環節，它們均對減小或消除擾動引起的結論穩態誤差沒有什么作用