控制理論基礎4.1

時間響應及其性能指標4.2

一階系統的時間響應4.3

二階系統的時間響應4.4

高階系統的時間響應本章主要內容：第四章時間響應分析Part4.1

時間響應及其性能指標

研究在一定的輸入信號作用下，系統輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統的控制性能。設法從微分方程判斷出系統運動的主要特征而不必準確地把微分方程解出來。時域分析的目的:時間響應的概念：系統在輸入作用下，其輸出隨時間變化的過程。瞬態響應與穩態響應瞬態響應：表示系統在輸入信號作用下，輸出量從初始狀態到穩定狀態的變化過程（動態過程/過渡過程/瞬態過程）；用動態性能指標描述。穩態響應：表示系統在輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統的輸出狀態（穩態過程)。用穩態性能指標描述。在控制理論中，通常只分析典型輸入信號作用下的零初態響應（零初始條件）。

一般，系統可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸入，有時其函數形式也不可能事先獲得。在時間域進行分析時，為了比較不同系統的控制性能，需要規定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統的典型輸入信號。典型輸入信號Asint

正弦信號

單位加速度信號t，t0單位速度/斜坡信號1(t)，t0單位階躍信號1(t)，t=0

單位脈沖信號

復數域表達式

時域表達式

名稱

常用的典型輸入信號脈沖信號單位脈沖信號階躍信號卸載加載A=1時稱為單位階躍信號速度和加速度信號干擾、電壓不穩隨機信號速度信號加速度信號正弦信號能反映系統在工作過程中的大部分實際情況：如果控制系統的輸入量是突變的，采用階躍信號，如室溫調節系統；如果控制系統的輸入量是隨時間等速變化，采用斜坡信號作為實驗信號；典型輸入信號的選擇原則如果控制系統為沖擊輸入量，則采用脈沖信號注意：對于同一系統，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統本身的性能不會改變。控制系統的輸入隨時間往復變化時，采用正弦信號。控制系統的輸入量是隨時間等加速變化，采用拋物線信號。如宇宙飛船控制系統；典型時間函數、典型時間響應之間的關系時間響應的性能指標

控制系統的性能指標是評價系統動態品質的定量指標，是定量分析的基礎。系統的時域性能指標通常通過系統的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調整時間ts、最大超調量Mp、振蕩次數N。控制系統的時域性能指標10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9y(t)控制系統的時域性能指標td0.5

上升時間tr響應曲線從零時刻出發首次到達穩態值所需時間。對于過阻尼系統，上升時間一般定義為響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間。

響應曲線從0上升到穩態值50%所需的時間。延遲時間td評價系統快速性的性能指標

調整時間ts響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的2%或5%）內所需的時間。

最大超調量Mp響應曲線的最大峰值與穩態值之差。通常用百分數P.O.表示：

峰值時間tp響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。評價系統平穩性的性能指標

振蕩次數N在調整時間ts內系統響應曲線的振蕩次數。實測時，可按響應曲線穿越穩態值次數的一半計數。

一階系統（慣性環節）

極點（特征根）：-1/T

在工程上，許多高階系統常常具有近似一、二階系統的時間響應。因此，深入研究一、二階系統的性能指標，有著廣泛的實際意義。Part4.2一階系統的時間響應能夠用一階微分方程描述的系統稱為一階系統。

它的典型形式為一階慣性環節:一階系統的單位階躍響應單位階躍輸入為

輸出為單位階躍響應為10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Ty(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T

響應分為兩部分

瞬態響應：表示系統輸出量從初態到終態的變化過程（動態/過渡過程）

穩態響應：1表示t時，系統的輸出狀態

y(0)=0，隨時間的推移，y(t)指數增大，且無振蕩。y()=1，無穩態誤差；一階系統單位階躍響應的特點：

y(T)=1-e-1=0.632，即經過時間T，系統響應達到其穩態輸出值的63.2%，從而可以通過實驗測量慣性環節的時間常數T；

時間常數T反映了系統響應的快慢。通常工程中當響應曲線達到并保持在穩態值的95%

~98%時，認為系統響應過程基本結束。從而慣性環節的過渡過程時間為3T~4T。

故在t＝0處，響應曲線的切線斜率為

一階系統的單位速度(斜坡)響應單位斜坡輸入為

輸出為單位斜坡響應為0ty(t)x

(t)x

(t)=ty(t)=t-T+Te-t/Te()=TT

瞬態響應：Te–t/T；穩態響應：t–T；

經過足夠長的時間(穩態時，如t4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：

t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；

系統響應誤差為：一階系統單位速度響應的特點一階系統的單位脈沖響應單位脈沖輸入為

輸出為單位脈沖響應為y(t)1/T0t0.368

1T斜率T

瞬態響應：(1/T)e–t/T；穩態響應：0；

y(0)=1/T,隨時間的推移，y(t)指數衰減；

對于實際系統，通常應用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號。

一階系統單位脈沖響應的特點

系統時域響應通常由穩態分量和瞬態分量共同組成，前者反映系統的穩態特性，后者反映系統的動態特性。

注意到：線性定常系統時間響應的性質對一階系統：即：系統對輸入信號導數的響應等于系統對該輸入信號響應的導數。同樣可知，系統對輸入信號積分的響應等于系統對該輸入信號響應的積分，其積分常數由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質對任何線性定常系統均成立，但不適用于線性時變系統和非線性系統。Part4.3二階系統的時間響應

能用二階微分方程描述的系統稱為二階系統。二階系統總包含兩個貯能元件，能量在兩個元件之間相互轉換，引起系統具有往復振蕩的趨勢。RLC就是一個典型的二階系統。二階系統的典型傳遞函數其中，T為時間常數

為阻尼比；

n＝1/T為系統的無阻尼固有頻率。二階系統閉環傳遞函數二階系統的特征方程特征方程的根（閉環極點）顯然，特征根的性質取決于阻尼比的大小，而特征根在復平面的分布決定系統的性能，如穩定性。左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個相等負實根jωnξ=0σjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個不等根0一對虛根一對負實部復根特征根在復平面上的分布ωn具有一對共軛復數極點：系統時間響應含有衰減的復指數振蕩項：其中，稱為阻尼振蕩頻率。系統的時間響應表現為衰減振蕩。

欠阻尼二階系統（振蕩環節）：0<<1具有兩個相等的負實數極點（負實根）：系統包含兩類瞬態衰減分量：不產生振蕩

臨界阻尼二階系統：＝1具有兩個不相等的負實數極點：系統包含兩類瞬態衰減分量：不產生振蕩

過阻尼二階系統：

>1具有一對共軛虛極點：極點(特征根)實部大于零，響應發散，系統不穩定。系統時域響應含有復指數振蕩項：

無阻尼二階系統：＝0

負阻尼二階系統：

<0產生等幅振蕩

欠阻尼（0<<1）狀態

其中，

二階系統的單位階躍響應

根據上升時間的定義有：欠阻尼二階系統的階躍響應為：

欠阻尼二階系統的時域性能指標

上升時間tr

響應曲線從0到第一次達到穩態值所經過時間。從而：顯然，一定時，n越大，tr越小；即：n一定時，

越大，tr越大。，并將t=tp代入可得：

令即：

峰值時間tp指輸出響應第一次達到最大峰值所需要的時間。根據tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td＝2/d的一半。并且:一定，n越大，tp越小；

n一定，

越大，tp越大。

最大超調量Mp或百分比超調P.O.當

t=tp時，輸出y(t)為最大值，出現最大超調。單位階躍響應的穩態值為1。顯然，Mp僅與阻尼比有關。最大超調量直接說明了系統的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統的平穩性越好，當

=0.4~0.8時，可以求得相應的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100P.O.二階系統P.O.—

圖對于欠阻尼二階系統，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩態分量

1的指數曲線：

調整時間ts瞬態響應曲線進入并永遠保持在穩態值%允許誤差范圍內（一般取5%～2%）的最小時間。時間常數：t01xo(t)T2T3T4T當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。因此利用：可以求得：由此求得調節時間為

調節時間ts

近似與成反比關系N僅與

有關。與Mp一樣直接說明了系統的阻尼特性。越大，N越小，系統平穩性越好。對欠阻尼二階系統，振蕩周期則

振蕩次數N

二階系統的動態性能由n和決定。

結論

通常根據允許的最大超調量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調整n以獲得合適的瞬態響應時間。

一定，n越大，系統響應快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調量Mp和振蕩次數N，但系統快速性降低，tr、tp增加；5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpy

(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二階系統單位階躍響應曲線

欠阻尼二階系統單位階躍響應的特點

y()=1，無穩態誤差；

瞬態分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率；

振蕩幅值隨減小而加大。系統有兩個相等的實極點，位于復平面左半面。單位階躍響應傳遞函數

臨界阻尼（=1）狀態

臨界阻尼二階系統單位階躍響應曲線

10ty

(t)

特點

單調上升，無振蕩、無超調；

xo()=1，無穩態誤差。01ty(t)

特點

單調上升，無振蕩，過渡過程時間長

y

()=1，無穩態誤差。

過阻尼（>1）狀態

系統具有一對純虛根極點傳遞函數

無阻尼（=0）狀態

單位階躍響應系統響應曲線為無衰減的周期振蕩，振蕩頻率為210ty(t)

負阻尼（<0）狀態

0ty(t)-1<<0t0y(t)<-1-1<<0：輸出表達式與欠阻尼狀態相同。

<-1：輸出表達式與過阻尼狀態相同。

特點：振蕩發散

特點：單調發散

幾點結論

二階系統的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應發散，系統不穩定；

1時，無振蕩、無超調，過渡過程長；0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快，=0時，出現等幅振蕩。

一定時，n越大，瞬態響應分量衰減越迅速，即系統能夠更快達到穩態值，響應的快速性越好。

工程中通常采用欠阻尼系統，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證統有比較理想的響應曲線，這時瞬態響應時間短，系統有較好的快速性，同時不至于產生過大的振蕩。因此一般希望二階系統的阻尼比設計在這一范圍內。對于那些不允許振蕩而又要求響應較快的系統，如儀表指示和記錄系統，則采用ξ=1的臨界阻尼系統。

二階系統的單位斜坡(速度)響應當輸入信號為單位斜坡(速度)函數時，相應的拉普拉斯變換。則二階系統的單位斜坡響應為：

這個方程的拉普拉斯反變換，就是單位斜坡的時域響應。

0<<1：

=0：

=1：

>1：二階系統的單位斜坡響應

二階系統的單位脈沖響應

當輸入信號為單位脈沖函數時，相應的拉普拉斯變換。則二階系統的單位脈沖響應為：

這個方程的拉普拉斯反變換，就是單位脈沖的時域響應。

>1：

=1：

0<<1：

=0：對ζ≥1的情況，單位脈沖響應總是正值或在t=∞時為零。

單位脈沖響應曲線

單位脈沖信號輸入時，系統的響應為：求系統的傳遞函數。解：由題意Xi(S)=1，所以：

例題1解：1）單位階躍輸入時已知系統傳遞函數：求系統的單位階躍響應和單位脈沖響應。從而：

例題22）單位脈沖輸入時，由于因此：圖a)所示機械系統，當在質量塊m上施加fi(t)=8.9N的階躍力后，m的位移時間響應如圖b)。試求系統的質量m、彈性系數k和粘性阻尼系數μ的值。

00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)

例題3a)解：根據牛頓第二定律：

其中，系統的傳遞函數為：由于Fi(S)=L[fi(t)]=L[8.9]=8.9/S，因此根據拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根據解得m=77.3Kg，μ

=181.8Nm/s

已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：求K=200時，系統單位階躍響應的動態性能指標。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動態性能指標的變化情況。

例題4解：系統閉環傳遞函數為：

1）K=200時

n=31.6rad/s，=0.5452）K=1500時

n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化

即系統可以視為由兩個時間常數不同的一階系統串聯組成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時

n=8.22rad/s，=2.1，系統工作于過阻尼狀態，傳遞函數可以改寫為：

對于過阻尼系統，tp，Mp，N已無意義，而調整時間ts間可以通過其中時間常數大的一階系統進行估算，即：

ts=3T1=1.443s(=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統無超調，但過渡過程緩慢。對圖示系統，要使系統的最大超調量等于0.2，峰值時間等于1s，試確定增益K和Kh的數值，并確定此時系統的上升時間tr和調整時間ts。1+KhSXo(S)Xi(S)解：例5由題意：又：已知系統的單位階躍響應為：求：1）系統的閉環傳遞函數；

2）系統阻尼比和無阻尼固有頻率n。解：1）

例62）對比二階系統的標準形式：

有：

原控制系統如圖3-23(a)所示，引入速度反饋后的控制系統如圖3-23(b)所示，已知在圖3-23(b)中，系統單位階躍響應的超調量Mp%=16.4%，峰值時間tp=1.14s，試確定參數K和Kt，并計算系統(a)和(b)的單位階躍響應h(t)。例7(a)(b)解：對于系統(b)，其閉環傳遞函數為與典型二階系統相比較，有而已知Mp=16.4%tp=1.14s根據

求得（1）求得其單位階躍響應為將代入(1)得對于系統(a)，其閉環傳遞函數為與典型二階系統比較有系統的最大超調量峰值時間其單位階躍響應為三階系統的瞬態響應高階系統的單位階躍響應閉環主導極點Part4.4高階系統的時間響應二階因子引起的阻尼振蕩一階因子引起的非周期指數衰減三階系統的瞬態響應例其中：1）當=，系統即為二階系統響應曲線；2）附加一個實數極點（0<<），原二階系統的單位階躍響應： 超調量上升時間峰值時間>1,

即1/T>n

呈二階系統特性；實數極點S3距離虛軸遠；共軛復數極點S1、S2距離虛軸近特性主要取決于S1、S2。

<1,即1/T<n

呈一階系統特性；實數極點S3距離虛軸近；共軛復數極點S1、S2距離虛軸遠特性主要取決于S3。當系統高于二階時，將其稱為高階系統。N階系統的閉環傳遞函數一般可以寫成如下形式：

高階系統的單位階躍響應

其中，a,aj，bk、ck是常數。當X

(S)=1/S時，假定極點互不相同，并假定極點中有實數極點和復數極點。其中，=arctg(bk/ck)。

高階系統的單位階躍響應的特點

高階系統的單位階躍響應由一階和二階系統的響應函數疊加而成。

如果所有閉環極點都在s平面的左半平面內，即所有閉環極點都具有負實部(pj<0、-kk<0)則隨著時間t