1.7鏡像法與電軸法ImageMethodandElectricAxisMethod下頁上頁返回鏡像法與電軸法的基本思想根據唯一性定理，用虛設的簡單分布電荷替代未知的復雜分布電荷，把求解偏微分方程的問題轉化為求解簡單分布電荷電場的問題。是一種間接計算方法。1.點電荷對平面導體的鏡像場分布特點：平面導體上產生負感應電荷電場為兩維子午平面場下頁上頁返回邊值問題上半空間的電位導體平面上方程相同，邊界條件相同，解唯一。感應電荷產生的電位上半場域的電位和電場下頁上頁返回-q是虛設的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導板上復雜分布的感應電荷的作用；注意鏡像電荷應放置在所求區域（有效區）以外；根據疊加原理，導板上方有任意分布的電荷時也可作相應的鏡像。pr1r2下頁上頁返回q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3-地面上感應電荷的總量為垂直地面的電場分量試求空氣中點電荷q在地面引起的感應電荷分布。解下頁上頁返回例應用鏡像法，地面任意點地面電荷分布鏡像法小結

鏡像法的理論依據是：鏡像法的實質是：鏡像法的關鍵是：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區域。

用虛設的簡單分布的鏡像電荷替代未知的復雜分布電荷，使計算場域為無限大均勻媒質；靜電場唯一性定理；確定鏡像電荷的個數，大小及位置以保證原場的邊值問題不變；應用鏡像法解題時注意：下頁上頁返回2.點電荷對球面導體的鏡像點電荷位于接地導體球外下頁上頁場分布特點：球面上產生負感應電荷電場為兩維子午平面場邊值問題導體球外（除q點）空間：下頁上頁確定鏡像電荷的位置確定鏡像電荷大小應用鏡像法求解球面電位將r1,r2代入方程，得鏡像電荷放在求解的場域外。聯立求解得鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁上頁鏡像電荷等于負感應電荷總量。球外任一點P的電位與電場為球外的電場分布球外的電場計算下頁上頁1.點電荷q對不接地金屬球的鏡像。邊值問題思路下頁上頁討論導體球外（除q點）空間：則任一點電位通量為零（大小相等）球面等位（位于球心）下頁上頁導體球零電位球面電位任一點場強點電荷位于不接地導體球附近的場圖下頁上頁討論2.點電荷q對帶有電荷Q的金屬球的鏡像。下頁上頁邊值問題思路導體球外（除q點）空間：+Q討論下頁上頁3.點電荷q對帶有電壓U0的金屬球的鏡像。邊值問題思路導體球外（除q點）空間：+Q討論下頁上頁4.點電荷q在不帶電的金屬球殼內的鏡像。邊值問題思路導體球內（除q點）空間：q-q’bd3.點電荷對不同介質分界面的鏡像下頁上頁邊值問題上半空間（除q點）：下半空間：分界面：解得下頁上頁保證方程不變邊界條件：電場分布圖1中的電場由q與q’共同產生，q’等效替代極化電荷的影響。2中的電場由q”決定，q”等效替代自由電荷與極化電荷的作用。注意下頁上頁4.電軸法（ElectricAxisMethod）問題下頁上頁長直平行雙傳輸線在傳輸線系統中，導線之間的靜電感應作用使導線表面的電荷分布不均勻，直接求解電場分布很困難。邊值問題導線以外的空間下頁上頁應用鏡像法求解鏡像電荷長直帶電細導線替代感應電荷的作用鏡像電荷的位置電軸法兩根細導線產生的電位下頁上頁細導線產生的電場以

y軸為參考電位令：常數，等位線方程下頁上頁返回圓的方程K

取不同值時，得到一族等電位圓。圓心坐標圓半徑下頁上頁返回右半平面。左半平面。a、h、b滿足關系圓心坐標圓半徑下頁上頁返回(以y軸為參考電位)例b)圓柱導線間的電場與電位解a)計算電軸位置下頁上頁返回試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。E

線方程下頁上頁返回根據得到Ex和Ey分量下頁上頁返回小結電軸法的理論基礎是場的唯一性定理；電軸法的實質是用電軸上的線電荷替代圓柱上的不均勻分布電荷的作用；電軸法用以解決一系列平行圓柱的電場注意有效區域及電位的參考點試決定圖示不同半徑平行長直導線的電軸位置。下頁上頁返回例解已知平行傳輸線之間電壓為U0,試求電位分布。設電軸線電荷，任一點電位下頁上頁返回例解計算電軸位置1.兩導體的電容CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容和部分電容定義：單位：下頁上頁返回線性系統中，帶有等量異號電荷的兩導體，其電位差與電荷成正比，這個比值系數定義為兩導體的電容。-QQU+-電力電容下頁上頁返回電力電容下頁上頁返回2.兩導體電容的計算電容的計算是電場的計算給出了計算電容的方式：設下頁上頁返回說明或設忽略邊緣效應

試求平板電容器的電容。下頁上頁返回例解試求長圓柱形電容器的電容。例解ba設內導體的電荷密度為

，則設內導體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容

試求同心球殼電容器的電容。下頁上頁返回同心球殼電容器例解1）當時孤立導體球的電容下頁上頁返回討論2）當時平板電容器的電容設d>>a，電軸與幾何軸線重合

試求兩線傳輸線之間的電容。下頁上頁返回例解注意電容只與兩導體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質有關。3.部分（分布）電容（DistributedCapacitance)三導體靜電獨立系統下頁上頁返回對于多導體系統，每兩個導體上的電壓受到所有導體上電荷的影響，這時系統中導體電荷與導體電壓的關系不能僅用一個電容來表示而需引入部分電容的概念。多導體系統靜電獨立系統線性系統討論前提下頁上頁返回N個導體的系統，各導體的電位電位系數電位系數下頁上頁返回矩陣形式

ai,i

—

自有電位系數，表明導體

i上電荷對自身

電位的貢獻

ai,j—互有電位系數，表示導體j

上的電荷對導體i電位的貢獻電位系數的計算下頁上頁返回電位系數性質電位系數均為正數；電位系數僅于導體的幾何形狀、相互位置及介質分布有關；電位系數滿足互易性；自有電位系數大于互有電位系數；下頁上頁返回

bi,i—

自有感應系數，表示導體

i電位對自身電荷的貢獻

bi,j—

互有感應系數，表示導體

j電位對導體

i電荷的貢獻感應系數感應系數下頁上頁返回感應系數的計算自感應系數為正數；因i與qi

同號感應系數僅于導體的幾何形狀、相互位置及介質分布有關,且滿足互易性；互感應系數總是負值，因+

總是在其他導體上產生負電荷；自有感應系數大于與其相關的互有感應系數絕對值；

感應系數性質下頁上頁返回部分電容矩陣形式部分電容的性質靜電獨立系統中n＋1個導體有個部分電容下頁上頁返回部分電容均為正值；部分電容是否為零，取決于兩導體之間有否電力線相連；

部分電容可將場的概念與電路結合起來。下頁上頁返回部分電容與電容網絡結論試計算考慮大地影響時，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知d>>a,

且a<<h。部分電容個數由對稱性，得(1)下頁上頁返回例解電容與帶電量無關，故則利用鏡像法，兩導體的電位(2)下頁上頁返回兩線輸電線對大地的鏡像聯立解得兩線間的等效電容：下頁上頁返回所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應用。靜電屏蔽三導體系統的方程為：4.靜電屏蔽當時，說明1號與2號導體之間無靜電聯系，實現了靜電屏蔽。下頁上頁返回1.9靜電能量與力1.靜電能量

(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce

用場源表示靜電能量下頁上頁返回電磁場是一種特殊形式的物質，能量是物質的屬性之一。電場能量是在建立電場過程中從與各導體相連接的電源中取得的，因此電場儲能是外力做功形成的。討論前提線性系統；電場建立無限緩慢，忽略能量的輻射；沒有動能，只考慮位能。下頁上頁返回電荷增量設將dq電荷移至電場中外源做功推廣2：若是帶電導體系統，靜電能量為推廣1：若是連續分布的電荷，

下頁上頁返回注意上式建立在靜電場是位場的基礎上，只適用于靜電場。推廣3：若是n個點電荷的系統，靜電能量為下頁上頁返回只含互有能固有能和相互作用能固有能把某一區域的電荷從無窮遠聚攏到給定分布所需的功。互有能把各區域的電荷放置到各自給定位置所需的功。設空間有兩個電荷分布區下頁上頁返回說明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個點需要克服無窮大的斥力，需要作無窮大的功。同理，線電荷的固有能也為無窮大。對點、線電荷只研究互有能。點電荷qV11V22當

半徑為a的球面帶電荷Q，球心放一點電荷q，求靜電能量。球面電荷的固有能下頁上頁返回例解qQ在球面產生的電位Q在球心建立的電位q在球面產生的電位把點電荷從移至球面電荷中心所需作的功下頁上頁返回

用場量表示靜電能量能量矢量衡等式若用公式計算定義能量密度下頁上頁返回各向同性均勻媒質適用于靜電場和時變場因當時，面積分為零，故

半徑為a的球面帶面電荷Q，球心放一點電荷q，求靜電能量。下頁上頁返回例解q點電荷的固有能下頁上頁返回試求平板電容器的靜電能量。例平行板電容器解帶電導體系統電容能量的計算式試求真空中體電荷密度為的介質球產生的靜電能量。由場量求靜電能量下頁上頁返回例解一由場源求靜電能量球內任一點的電位下頁上頁返回解二

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負電荷云-q包圍，試求原子結合能。前例中當時下頁上頁返回原子結構模型例解2.靜電力

(ElectrostaticForce)下頁上頁返回1）根據電場定義計算靜電力注意上式使用的條件只適用于均勻介質式中的電場E不包括dq本身的貢獻矢量積分多導體系統(K打開)虛位移法下頁上頁返回2）根據電場能量計算靜電力在多導體系統中，導體p發生位移dg后,系統發生的功能過程為：外源提供能量=

靜電能量增量+電場力所作功常電荷系統（K打開）取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現。下頁上頁返回表明常電位系統（K閉合）多導體系統(K閉合)p外源提供能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。下頁上頁返回表明注意

dg廣義坐標：距離、面積、體積、角度。廣義力×廣義坐標=功廣義坐標距離面積體積角度廣義力機械力表面張力壓強轉矩單位NN/mN/m2Nm

f廣義力：企圖改變某一個廣義坐標的力。下頁上頁返回滿足對應關系：廣義力是代數量，根據

f的“±”號判斷力的方向。廣義力的正方向為廣義坐標增加的方向。常電位系統試求圖示平行板電容器兩極板間的電場力。平行板電容器取d為廣義坐標（相對位置坐標）負號表示電場力的方向企圖使廣義坐標d減小，即電容增大。下頁上頁返回例解一常電荷系統當滿足所設條件，兩種計算結果相同下頁上頁返回解二圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場力。取體積為廣義坐標f的方向是廣義坐標V增加的方向，表現為膨脹力。N/m2下頁上頁返回球形薄膜例解下頁上頁返回根據庫侖定律，點電荷q處的電場應用虛位移法圖示為半徑為R、接電壓U0的導體球位于點電荷q的電場中，試求導體球所受的電場力。應用鏡像法例解Q下頁上頁返回沿廣義坐標增大的方向設為常電荷系統設為常電位系統虛位移法的結果不正確，因為系統不屬于常電位系統，也不是常電荷系統。3）根據法拉第觀點計算靜電力（Farade’sreview）法拉第認為，在場中沿通量線作一通量管，沿其軸向受到電場的縱張力，垂直于軸線方向受到側壓力