4.1導熱問題數值求解的基本思想4.1.1基本思想4.1.2導熱問題數值求解的基本步驟返回數值解： 用導熱體內有限個離散點上的溫度值的集合來代替實際連續的溫度場分布4.1.1基本思想返回2xy4.1.2導熱問題數值求解的基本步驟1.數學描述二維矩形區域內的穩態、無內熱源、常物性導熱問題)(

)(

0)(

00ffftthytWytthytytthxtHxttx-=??-=-=??-=-=??-===lll網格劃分： 用一系列與坐標軸平行網格線把求解區域劃分成許多子區域節點:網格線的交點，分內節點和外節點步長：相鄰兩節點間距離，在一個方向步長也可不均勻均分網格:2.區域離散化3.建立節點物理量的代數方程 關于節點物理量的代數方程也稱離散方程，建立離散方程是數值求解過程中的重要環節，是本章的重點內容。返回4.設立溫度場的迭代初值 節點代數方程組的求解一般采用迭代法，需要對被求解的溫度場預先假定一個初始溫度分布，稱為初場5.求解代數方程組6.解的分析4.2內節點離散方程的建立方法4.2.1Taylor級數展開法包括Taylor級數展開法和熱平衡法4.2.2熱平衡法（熱力學第一定律）返回兩式相加得:4.2.1Taylor級數展開法對節點(m+1,n)和節點(m-1,n)分別寫出t對節點(m,n)的Taylor級數展開:推導溫度在x方向二階導數的代數表達式略去截斷誤差，得到溫度在x方向二階導數的中心差分表達式:同理,得溫度在y方向二階導數的中心差分表達式:將差分表達式代入控制方程如果得:則有:在均分網格中，一、二階導數常見的差分表達式如下表所示返回4.2.2熱平衡法（熱力學第一定律）news12(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xy

(m,n+1)穩態、無內熱源時,從所有方向流入控制體的總熱流量＝0控制容積(元體):節點代表的區域,由相鄰兩節點連線的中垂線構成二維常導熱系數無內熱源的穩態導熱問題，對元體(m,n)列出能量守恒方程：從元體西界面導入的熱量為:從元體東界面導入的熱量為:從元體南界面導入的熱量為:從元體北界面導入的熱量為:將各表達式代入對元體(m,n)能量守恒方程得：整理得:采用熱平衡法建立節點的離散方程，物理概念清晰，推導過程簡單，并且對于建立邊界節點的離散方程也能適用，需要掌握。返回基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數方程組，它從基本物理現象和基本定律出發，不必事先建立控制方程，依據能量守恒和Fourier導熱定律即可。news(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xy

(m,n+1)4.3邊界節點離散方程的建立及代數方程的求解4.3.1邊界節點離散方程的建立4.3.2處理不規則區域的階梯型逼近法（不要求）4.3.3求解代數方程的迭代法返回邊界節點的離散方程的形式與邊界條件的類型有關一、第一類邊界條件情形4.3.1邊界節點離散方程的建立這種情形邊界節點不需要離散方程。此時邊界溫度值未知，需建立邊界節點溫度的離散方程。設邊界熱流密度為qw，并且導熱體內有內熱源，采用元體能量平衡法來建立邊界節點溫度的離散方程。二、第二類邊界條件情形如1、平直邊界上的節點邊界節點(m,n)代表的區域為半個普通大小元體。對該半個元體應用能量平衡，則有：xyqw2、邊界上的外部角點邊界節點D代表的區域為1/4個普通元體大小的面積。如，則有：xyqw3、邊界上的內部角點邊界節點F代表的區域為3/4個普通元體大小的面積。對該外部節點元體應用能量平衡如，則有：xyqw三、第三類邊界條件情形將該熱流密度的表達式代入第二類邊界條件中，可得第三類邊界條件下邊界節點的離散方程。平直邊界節點：內部角點：外部角點：返回例題講解請列出下圖所示直徑為d的圓截面直肋的一維穩態、無內熱源、常物性導熱問題內節點2的離散方程式（導熱系數為λ，肋高方向的步長為Δx）。

對節點2，列熱平衡式：即：

22寫出所有內節點和邊界節點的溫度差分方程n個未知節點溫度，n個代數方程式：代數方程組的求解方法：直接解法、迭代解法4.3.3求解代數方程的迭代法23直接解法：通過有限次運算獲得代數方程精確解：矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經收斂。缺點：所需內存較大、方程數目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數，節點溫度差分方程中的系數不再是常數，而是溫度的函數。這些系數在計算過程中要相應地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節點溫度的最新值下面以簡單的三元方程組為例說明該方法的步驟：（1）將方程組改寫成關于t1,t2,t3的顯式形式，即迭代方程。1.高斯-賽德爾迭代法（2）假設一組解（即迭代初場），記為t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐一計算出改進值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次計算均用t的最新值代入。（3）以計算所得之值作為初場，重復上述計算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，此時稱為已經達到迭代收斂，迭代計算終止。2.迭代過程是否已經收斂的判據判斷迭代是否已經收斂的判據常用的有三種：允許的相對偏差ε之值一般在10-3—10-6之間，視具體情況而定3.迭代過程能否收斂的判據對于常物性導熱問題所組成的差分方程組，迭代公式的選擇應使每一個迭代變量的系數總是大于或等于該式中其他變量系數絕對值之和，此時用迭代法求解代數方程一定收斂。該條件在數學上稱為主對角線占優。返回4.4非穩態導熱問題的數值解法4.4.1時間-空間區域的離散化相比穩態問題，在非穩態導熱微分方程中多了非穩態項，因此需要學習非穩態項的離散方法。擴散項的離散方法與前者相同。4.4.2非穩態導熱問題離散的顯式格式4.4.3非穩態導熱問題離散的隱式格式4.4.4邊界節點的離散方程4.4.5非穩態導熱顯式格式離散方程組及穩定性分析返回以一維非穩態導熱問題為例，介紹非穩態導熱問題的離散化。在空間-時間坐標系中對所研究的空間區域和時間區域進行離散時間坐標

分成I-1等份，

為時間步長空間網格線與時間網格線的交點（n,i）代表了時間-空間區域中的一個節點位置tn(i)4.4.1時間-空間區域的離散化空間坐標x分成

N-1等份，

x為空間步長將溫度t在節點（n,i+1）處對節點（n,i）處作泰勒展開，可得溫度t在節點（n,i）處的非穩態項一階導數的三種差分格式。向前差分向后差分中心差分上述三種非穩態項差分格式都有應用，本書主要以向前差分格式為主返回直角坐標系一維非穩態常物性無內熱源第三類邊界條件導熱數學描述為：上述離散方程一旦i時層各節點溫度已知，每一個離散方程中只有一個未知量，因此可以立即求出i+1時層上各內部節點的溫度，而不必聯立求解方程組。這種離散方程的計算格式稱為顯式差分格式顯式格式的優點是計算量小，但時間和空間步長不能太大，存在求解不穩定問題。4.4.2非穩態導熱問題離散的顯式格式非穩態項取向前差分格式進行離散，擴散項在i時刻采用中心差分格式，得：控制方程返回非穩態項取向前差分格式進行離散，項在i+1時刻采用中心差分格式，得：上述離散方程中在i時層各節點溫度已知時，方程中有三個i+1時層上的位置溫度，因此需聯立求解方程組。這種離散方程的計算格式稱為隱式差分格式隱式格式的缺點是計算工作量大，但它對時間和空間步長無限制，不存在求解不穩定問題4.4.3非穩態導熱問題離散的隱式格式返回4.4.4邊界節點的離散方程同穩態問題類似，非穩態導熱問題的離散也可采用元體能量平衡法。下面以邊界節點的離散方程為例介紹。一無限大平板的右邊界部分為第三類邊界條件，對邊界節點N建立其離散方程。邊界節點N代表寬度為x/2的元體，對該元體應用能量平衡進行分析整理得：引入特征數：由于上述特征數的特征尺度為網格寬度，故稱網格傅里葉數和網格畢渥數邊界節點的離散方程可以寫成：內節點的顯式離散方程可以寫成：返回4.4.5非穩態導熱顯式格式離散方程組及穩定性分析無限大平板一維非穩態常物性無內熱源第三類邊界條件導熱問題其數學描述為：右側邊界節點：左側邊界節點：初始條件：控制方程：數學描述的顯式離散方程