對流方程的差分法一、研究對象1.研究的對象——對流方程（一階雙曲型）.易見，此方程有精確解事實上，由知，當(dāng)時，就有.即存在一族特征線其中為任意常數(shù)，使得在這樣的特征線上有，也就是u值為常數(shù)。xt..O要獲得在x-t平面上的任意一點

處的函數(shù)值，只要將其沿特征線投影到x軸上，得到投影點，則.考慮一維雙曲型對流方程：1.區(qū)域剖分(區(qū)域離散）

將原方程的上半平面求解區(qū)域分割成矩形一致網(wǎng)格。

h—空間步長，

—時間步長，—網(wǎng)格節(jié)點，2.

原方程弱化為節(jié)點處的離散方程3.處理方程中的偏導(dǎo)數(shù)對偏導(dǎo)數(shù)用不同的差商近似將建立不同的差分格式。下面進(jìn)行具體的討論。

①：關(guān)于時間、空間的一階偏導(dǎo)數(shù)都用向前差商近似，誤差為誤差為將上面的式子代入離散方程，可得二、迎風(fēng)格式（UpwindScheme）將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下差分格式：可見上述格式的局部截斷誤差為4.差分格式的求解——時間漸進(jìn)顯格式5.用諧波分析方法利用增長因子來討論穩(wěn)定性。設(shè)，相當(dāng)于對數(shù)值解進(jìn)行變量分離，對數(shù)值格式穩(wěn)定性的考察現(xiàn)在就轉(zhuǎn)化為對振幅

是否會放大進(jìn)行討論。如果則

G

就稱為增長因子，且是數(shù)值格式穩(wěn)定的充要條件，也稱為VonNeumann條件。現(xiàn)在研究上述格式的穩(wěn)定性。易見，從而為使數(shù)值格式穩(wěn)定，則增長因子G

必須滿足從而獲得原格式的穩(wěn)定性條件即且②：關(guān)于時間、空間的一階偏導(dǎo)數(shù)分別利用一階向前差商和一階向后差商近似，即有

，誤差為誤差為再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下差分格式：可見上述格式的局部截斷誤差為上述格式還可簡寫為也不難得到此格式的增長因子為從而有穩(wěn)定性條件要求即且綜上，我們有以下迎風(fēng)格式：a<0時a>0時且穩(wěn)定性條件為這樣我們可以根據(jù)原方程中系數(shù)

a的符號來選取恰當(dāng)?shù)牟介L及合適的數(shù)值格式。迎風(fēng)格式實際上是在雙曲型方程離散的過程中將關(guān)于空間的偏導(dǎo)數(shù)用在特征方向一側(cè)的單邊差商來代替，體現(xiàn)了原方程中波的傳播方向，它們都是一階格式。事實上，原方程含有未知函數(shù)關(guān)于空間的一階偏導(dǎo)數(shù)項，也就是對流項，盡管在數(shù)學(xué)理論上對這個一階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散是沒有什么特殊困難的，但在物理過程看卻不是這樣，因為對流作用帶有強烈的方向性，所以對流項的離散是否合適直接影響數(shù)值格式的性能，這也就說明了迎風(fēng)格式之所以有效是因為使用了單邊差商。③：前面討論了關(guān)于時間和空間的一階偏導(dǎo)數(shù)均用一階差商近似的情況，接下來容易想到可以對空間的偏導(dǎo)數(shù)采用二階中心差分來近似，從而有誤差為誤差為再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下差分格式：可見上述格式的局部截斷誤差為上述格式還可簡寫為也不難得到此格式的增長因子為顯然對任何都有從而數(shù)值格式完全不穩(wěn)定。三、蛙跳格式（Leap-FrogScheme）④：對上述不穩(wěn)定情形進(jìn)行改進(jìn)，容易想到對時間和空間的偏導(dǎo)數(shù)都采用二階中心差分來近似，從而有誤差為誤差為再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下蛙跳格式：可見上述格式的局部截斷誤差為上述格式還可簡寫為三層格式也不難得到此格式的增長因子為當(dāng)且僅當(dāng)時，從而VonNeumann條件滿足，數(shù)值格式穩(wěn)定。蛙跳格式是個三層格式，不能自啟動，需要與其它方法（二階方法）聯(lián)合。四、Lax-Friedrichs格式⑤：在情形③中修改關(guān)于時間的一階偏導(dǎo)數(shù)，將

用其左右相鄰兩節(jié)點的算術(shù)平均來近似，就是取關(guān)于空間的一階偏導(dǎo)數(shù)仍用二階中心差分，即再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下Lax-Friedrichs格式：易見，其局部截斷誤差為.Lax-Friedrichs格式可以改寫為利用分解式可以得到其增長因子為從而可見，當(dāng)時就有，從而數(shù)值格式穩(wěn)定。根據(jù)局部截斷誤差知，當(dāng)

取定為常數(shù)時，Lax-Friedrichs是一階格式。下面介紹一個二階格式，通過泰勒公式及原方程變形而獲得。五、Lax-Wendroff格式再根據(jù)泰勒公式就有上式中一階、二階偏導(dǎo)都用中心差分來近似，將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下Lax-Wendroff格式：易見，其局部截斷誤差為.Lax-Wendroff格式可簡記為：利用分解式容易得到其增長因子為穩(wěn)定性要求從而獲得Lax-Wendroff格式的穩(wěn)定性條件最后再介紹一個二階的Beam-Warming格式，本質(zhì)上它充分考慮了迎風(fēng)格式的“迎風(fēng)”特點，同時借用Lax-Wendroff格式的設(shè)計思想提高了精度。六、Beam-Warming格式先討論a<0

的情況。取其中的一階偏導(dǎo)為迎風(fēng)的形式且兼顧高階項，即同樣地，再取迎風(fēng)的二階偏導(dǎo)，即把上面兩式都代入原來的(*)式，就有將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項，則可以建立以下a<0

時的Beam-Warming格式：局部截斷誤差為.再利用分解式，可得此格式的增長因子為經(jīng)過整理化簡可得從穩(wěn)定性要求可推知穩(wěn)定性條件為.用同樣的思路，可得a>0時的Beam-Warming格式：其穩(wěn)定性條件為.編程實現(xiàn)的基本環(huán)節(jié)

第一步，參數(shù)設(shè)置，如剖分?jǐn)?shù)，節(jié)點坐標(biāo)，a,已知函數(shù)(x),時間、空間步長等。第二步，初始條件確定第三步，循環(huán)：用時間漸進(jìn)顯格式求解各時間層信息。第四步，輸出七、數(shù)值算例例.數(shù)值求解一階對流方程初值問題其中，初值在x=0處間斷。取空間步長和時間步長分別為.

且對應(yīng)上述空間、時間步長的選取易得r=0.5.給出時刻t=0.5

時

區(qū)間[0,1]內(nèi)數(shù)值解的圖像。精確解為：迎風(fēng)格式、Lax-Friedr