考試安排時間4月16日周三9：30～11：30地點：教1-009考試題型

填空

選擇(單選、多選）

計算題考試方式：開卷，獨立完成帶計算器

課程內容要點：什么是誤差、相對誤差、（儀表）引用誤差、實驗（樣本）標準差、偏移？什么是準確度、正確度、精密度、重復性、再現性、穩定性？三類誤差性質的特征有什么異同?如何分析測量隨機誤差?如何分析系統誤差、粗大誤差是否顯著存在?函數誤差、誤差分配、微小誤差取舍、最佳測量方案的確定單次測量的標準差與算術平均值的標準差是什么關系?怎么理解標準差的標準差?標準差有哪幾種常用的統計公式?常用的誤差分布，服從常用誤差分布的可能情形。權的概念，權的確定方法，權與方差的關系，加權算術平均值及其標準差。什么是測量不確定度？如何評定兩類標準（差）不確定度?如何估計他們的自由度?如何分析測量不確定度的來源?如何求得合成測量不確定度及其有效自由度?如何確定擴展不確定度的包含因子?如何合理表示測量結果?什么是最小二乘法？一元線性回歸的基本概念、回歸系數的計算推導、回歸系數的不確定度的公式推導、回歸值的不確定度公式推導偏差平方和的分解：總偏差平方和、回歸平方和、殘余平方和回歸效果的檢驗典型例題常用的計算公式名稱說明公式誤差誤差的定義絕對誤差相對誤差引用誤差最大絕對誤差最大相對誤差三類不同性質的誤差隨機誤差算術平均值實驗標準差算術平均值的標準差權的確定粗大誤差3σ準則格拉布斯(Grubbs)準則狄克遜(Dixon)準則常用的計算公式名稱說明公式系統誤差系統誤差的定義統計檢驗恒定系統誤差組間t檢驗線性系統誤差周期系統誤差函數誤差函數系統誤差函數隨機誤差名稱符號說明公式A類評定方法標準不確定度s(xi)(單次測量)實驗標準差平均值實驗標準差uA測量結果標準不確定度B類評定方法標準不確定度uB已知擴展不確定度U和包含因子k已知擴展不確定度Up和置信概率p及包含因子kp或有效自由度eff及tp()已知區間半寬度a和相應的先驗概率分布的包含因子k測量不確定度評定的有關公式總結名稱符號說明公式合成標準不確定度uc(y)直接測量各標準不確定度分量ui(x)(包括輸入量和影響量)一般都互不相關間接測量y=f(x1,x2,…,xn)不確定度傳播率各標準不確定度分量ui互不相關（r(xi,xj)0）。當y/xi=1或1時各標準不確定度分量ui正相關（r(xi,xj)

1）。當y/xi=1時簡化形式y＝c1x1c2x2…cnxn各標準不確定度分量ui互不相關，

系數ci=1或1各分量ui互不相關，c是常數，pi可以是正數、負數、分數擴展不確定度U不評定自由度，取k2~3Ukuc(y)Up評定有效自由度，kptp(eff)Upkpuc(y)=tp(eff)uc(y)誤差的定義及表示法

絕對誤差：測得值與真值之差稱為絕對誤差，通常簡稱誤差。絕對誤差＝測得值－真值修正值：實際工作中常用修正值。為消除（減少）系統誤差用代數法加到測量結果上的值稱為修正值。修正值≈真值(約定真值）－測得值測量結果(≈真值)＝測得值＋修正值一、誤差的基本概念相對誤差

測量絕對誤差與被測量的真值的比稱為相對誤差。

GUM中注：由于真值不能確定，實際上用約定真值（測值的最佳估計值）。（1）無單位（無名數），通常以％或×10-d表示（2）通?？杀容^不同測量的質量如何。引用誤差(fiducialerror)

式中引用值xm通常指全量程或量程上限，示值誤差Δxm是該量程范圍內任一刻度點的示值的絕對誤差中的最大值。二、誤差的分類按照測量誤差的特點、性質和規律，以及對測量結果的影響方式，可將其分為系統誤差，隨機誤差和粗大誤差三類：

1．系統誤差定義：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。特征：在同一條件下多次測量同一量值時，其絕對值和符號保持不變或在條件改變時，其值按一定規律變化的誤差，稱為系統誤差。系統誤差按其出現的規律又可分為:

（1）定值系統誤差：即誤差的大小和方向為固定值。（2）變值系統誤差：即誤差的大小和方向為規律的變化值。為減少系統誤差用代數法加到測量結果上的值稱為修正值。

averageofreplicateindicationsminusareferencequantityvalue———VIM,3rdedition,JCGM200:2008指測量儀器示值的系統誤差。通常用適當次數重復測量的示值誤差的平均來估計。

偏移或偏畸（biasofameasuringinstrument）測量偏移measurementbiasestimateofasystematicmeasurementerror系統誤差的估計值用標準器具（物質）檢定恒定系統誤差2、構造統計量3、在給定顯著水平下，查分布表的臨界值4、作出決策。若，判定被檢量算術平均值與期望的標準值之間存在顯著的差異，即被檢量含有恒定的系統誤差。5、加修正值。對測得值加一個修正值，即1、計算均值，按貝塞爾公式計算標準差變值系統誤差的發現方法之一：殘差觀察法

將測量列中前K個殘差相加，后n-K個殘差相加。當n為偶數時，取，n為奇數時，取和檢驗法（檢驗顯著遞增和遞減誤差）前半殘差和后半殘差和引入統計量若存在顯著的線性變化或遞增、遞減系統誤差。記序差序差平方和殘差平方和（突出分散性）引入統計量若則存在顯著的周期性變化系統誤差。小樣本序差法：用于發現周期性系統誤差

兩組算術平均值之間是否存在系統誤差的差值與標準差比較法：對同一量值在測量條件不同，測量次數也不同的情況下進行兩組（或多組）測量。設測量次數分別為n1和n2次，兩算術平均值之差的方差為：兩組算術平均值之差為：兩組數據統計量給定顯著水平，若，則與有顯著差別，即存在系統誤差；反之則無根據懷疑兩組間有系統誤差。組間t檢驗法（組數m=2，正態）系統誤差的減小與消除恒定系統誤差

替代法

交換法

抵消法

線性系統誤差周期性系統誤差對稱補償法半周期法補償和減少系統誤差的途徑有：（1）從誤差根源上消除；（2）在測量過程中采取一定措施避免系統誤差引入測量結果。

單次測量的標準[偏]差：算術平均值的標準[偏]差：2、隨機誤差不等權測量：

權的概念應該讓可靠程度大的在最后測量結果中占的比重大一些，讓可靠程度小的在最后測量結果中占的比重小一些。各測量結果的可靠程度用數值表示，這數值稱為該測量結果的“權”，記為p。測量精度愈高，可靠性愈高，應給予的“權”應愈大。加權算術平均值:

對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結果

設m個測量結果各自相應的權為pi，

則加權算術平均值為：測量準確度（accuracyofmeasurement）

表示測量結果與被測量真值之間的一致程度。

就誤差分析而言，準確度是測量結果中系統誤差和隨機誤差的綜合，誤差大，則準確度低，誤差小，則準確度高。

國際“通用計量學術語”中在B.2.14這條下有兩條注解：①不要使用“precision”來表示準確度。②準確度是一個定性概念，可以用準確度高低、準確度為0.25級、準確度為三等及準確度符合××標準的說法。盡量不使用準確度為0.25%,16mg，≤16mg等方式表示。附：測量儀器的準確度定義為：測量儀器給出接近于真值的能力。當只考慮系統誤差的大小時，準確度稱為正確度。正確度（correctness，measurementtrueness）表示對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值與真值之間的一致程度closenessofagreementbetweentheaverageofaninfinitenumberofreplicatemeasuredquantityvaluesandareferencequantityvalue只考慮隨機誤差的大小時，準確度稱為精密度。精密度（precision）表示在給定條件下對同一或類似被測量進行多次測量所得的示值或測量值之間的一致性closenessofagreementbetweenindicationsormeasuredquantityvaluesobtainedbyreplicatemeasurementsonthesameorsimilarobjectsunderspecifiedconditions測量精密度通常在數值上表示成不精密度，如標準偏差，方差等“給定條件”可以是，比如，測量重復性條件，測量復現性條件等精密度可以用來定義測量重復性，測量復現性重復性（repeatability）

在重復性條件下，對同一被測量進行連續多次測量所得結果之間的一致性。重復性條件相同的測量程序，相同的觀測者，在相同的條件下使用相同的測量儀器，相同的地點，在短時間內重復測量復現性（reproducibility）

在復現性條件下，對同一被測量進行連續多次測量所得結果之間的一致性。復現性條件不同的測量程序或不同的觀測者或不同的測量儀器或不同的地點指測量儀器保持其計量特性隨時間恒定的能力。它可以用幾種方式來定量表示，如用計量特性變化某個規定的量所經過的時間；或用計量特性經規定的時間所發生的變化等。

穩定性（stabilityofameasuringinstrument）3、異常值（粗大誤差）明顯歪曲測量結果的誤差稱為異常值（粗大誤差），也叫過失誤差或疏忽誤差。我國在GB4883－85中推薦了兩種異常值的判別方法，兩種方法是：

1、在只剔除1個異常值時采用格拉布斯(Grubbs)準則。

2、在剔除多個異常值時采用狄克遜（Dixon)準則。三種粗大誤差判斷準則：（1）3準則（萊以達準則）當測量結果（測量列），某一數據的殘差的絕對值

|v|＞3σ時，則剔除此數據。（2）格拉布斯（Grubbs)準則。

設獨立重復測量的一個正態分布的測量列x1，x2，…，xn，其測量標準偏差為s(x),

對其中的一個可疑數據xd,,(其殘余偏差vd的絕對值最大），若：則數據xd為異常值，應予剔除；否則應予保留。

函數誤差間接測量的概念直接測量——無需對被測的量與其它實測的量進行函數關系的輔助計算，而直接得到被測量值的測量。例如：用游標卡尺直接測量零件直徑。(2)間接測量——實測的量與被測的量之間有已知函數關系，通過計算而得到被測量值的測量。例如:用千分尺直接測量圓柱體的直徑d和高度h，通過函數計算來求圓柱體體積V。一、函數系統誤差計算

設間接測量中間接測量值y是各個直接測量量xi的多元函數，其表達式為

式中：－間接測量值－各個直接測量值。可近似得到函數的系統誤差為：二、函數隨機誤差的計算：對于函數的隨機誤差,當各測量值的隨機誤差相互獨立時，函數隨機誤差的計算式為：

當各測量值的隨機誤差相互不獨立，即相互間相關時，函數隨機誤差計算的普遍式為：其中相關系數為：測量不確定度不確定度定義：

不確定度是測量結果帶有的一個參數，用以表征合理賦予被測量的值的分散性。測量誤差測量不確定度1測量值與真值之差，表明測量結果偏離真值的量表明測量值的分散性2由于真值不可知，往往不能準確得到?？梢愿鶕嶒?，或者資料、經驗等進行評定，從而可定量確定。3是有正負號的量值無正負符號的參數4已知系統誤差的估計值時，可以對測量值進行修正。對變值系統誤差無法處理。不能用不確定度對測量結果進行修正。無系統不確定度或隨機不確定度提法。不確定度的分類：

標準不確定度：用標準偏差表示的不確定度。

A類標準不確定度：用統計方法評定出的不確定度

B類標準不確定度：用非統計方法評定出的不確定度合成標準不確定度：由各標準不確定度分量合成得到擴展標準不確定度：由合成標準不確定度乘以包含因子k得到標準不確定度的A類評定：

(一）定義：用統計方法評定出的不確定度。

(二）符號：用符號u表示，有多個分量時用ui表示(三）評定方法：測量不確定度的B類評定影響被測量之值可能變化的全部信息概率分布類型區間半寬度引用誤差

示值誤差儀器分辨力儀器的滯后舍入誤差

儀器基本誤差合成標準不確定度的評定：

若不確定度分量的各種因素與測量結果沒有確定的函數關系，則應根據具體情況按A類評定或B類評定方法來確定各不確定度分量ui的值，然后求得合成標準不確定度為：對于間接測量的情況，Y=F(X1,X2,……Xm)時，有如下

的合成標準不確定度公式：式中：

uc(y)——輸出量估計值y的合成標準不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計值xi和xj

的標準不確定度函數F(X1,X2,…）在(x1,x2,…,xm)處的偏導數，稱為靈敏系數，在誤差合成公式中稱其為傳播系數；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)處的相關系數當第ｉ和第j個輸入量xi

和

xj

相互間均獨立時ρij＝0,這時間接測量的標準不確定度傳播公式可簡化為：擴展不確定度的評定：擴展不確定度由合成標準不確定度uc乘以一個包含因子k得到（k一般在2～3范圍內選?。?。符號：用符號U,Up表示。記為：U=k*uc

或：Up=k*uc

包含因子k的確定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的類型確定。1）一般測量時，如果沒有特殊說明，則按正態分布考慮。2）重要的測量，或測量次數較小時，k由t分布確定：

包含因子k（t分布時常用符號t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν從t分布表查出。自由度概念：概念：對應n個變量,m個獨立的線性約束條件，那么n個變量中獨立變量的個數僅為n－m，則稱平方和∑vi2

的自由度為n－m。用符號ν來表示，記為ν＝n－m。自由度的意義：當測量次數n不同時，計算出的標準偏差自身的可信賴程度不同。例如測量次數n大時，自由度值大，可信賴程度高。自由度所包含的意義就是代表標準偏差自身的不確定度的大小。自由度的評定：1、A類標準不確定度的自由度的評定：

貝塞爾公式計算的n次測值的標準偏差

s(x)的自由度ν＝n－1。算術平均值的標準偏差的自由度仍然是n-1，因為自由度ν表示的是不確定度自身的不確定度的大小2、B類標準不確定度的自由度的評定：

對于B類標準不確定度，其自由度一般通過不確定度（或標準偏差）自身的相對不確定度來折算，不確定度（或標準偏差）自身的相對不確定度由資料等先驗信息給出。）

折算公式為：合成標準不確定度的自由度：

當各不確定度分量ui的自由度均已知時，合成標準不確定度uc的自由度（常稱為有效自由度）計算公式為：擴展不確定度的自由度與合成標準不確定度的自由度相同。１、合成標準不確定度表示方式

某標準砝碼的質量，其測量的估計值合成標準不確定度，自由度(1)，或，(2)(3)括號內的數值按標準差給出，其末位與測量結果的最低位對齊括號內的數值按標準差給出，單位同測量結果一樣2、擴展不確定度表示方式

某標準砝碼的質量，其測量的估計值合成標準不確定度，自由度包含因子，擴展不確定度或或或包含因子或或擴展不確定度表示方式

擴展不確定度三、數字位數與數據修約規則

在表示測量結果時，究竟取幾位數字為好呢？總結以下幾條原則(1)最后報告的不確定度有效位數一般不超過兩位當保留一位有效數字時，按“三分之一原則”進行修約。多余部分推薦：當保留兩位有效數字時，按“不為零即進位”；0.001101

0.0012

0.0010010.001

0.0013340.002

多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原則進行舍棄截斷或進位截斷。(2)被測量的估計值的位數也要進行相應的修約修約后的數據要與不確定度數值的位數對齊被測量的估計值已修約的不確定度的數據修約的被測量的估計值20.000540.001220.000520.000560.001220.000620.000550.001220.0006四舍六入逢五取偶被測量的估計值的位數的修約在最終表示測量結果的場合，規范和完整的表示方式有以下兩種：（1）擴展不確定度表示方式：測量結果=最佳估計值±測不準部分（單位）（置信水平，自由度）（2）合成標準不確定表示方式：測量結果=最佳估計值（測不準部分）（單位）（自由度）測量結果的最終表示測量數據處理的完整步驟思考與練習題1-1車間計量室溫度(203)C，相對濕度(605)%，某檢驗員用一把游標卡尺測量某軸形工件直徑，重復測量3次的數據為15.125，15.124，15.127mm。試分析該測量問題的測量要素?若另一檢驗員用另一把游標卡尺測量同一軸形工件直徑，重復測量3次的測量數據為15.125，15.137，15.115mm，測量結果產生變化的主要因素可能是什么?試答該工件直徑的測量結果及測量誤差應如何表示？1-2用標準測力機檢定材料試驗機，若材料試驗機的示值為5.000MN,標準測力儀輸出力值為4.980MN,試問材料機在5.000MN檢定點的示值誤差、示值的相對誤差各為多少？1-4某待測的電壓約為86V，現有0.5級0—300V和1.0級0—100V兩個電壓表，問用哪一個電壓表測量較好？1-8檢定一只5mA、2.5級電流表的滿度值誤差。按規定，引入修正值后使所用的標準儀器產生的誤差不大于受檢儀器容許誤差的1/3。現有下列幾只標準電流表，問選用哪一只最合適，為什么？（1）10mA0.5級（2）10mA0.2級（3）15mA0.2級（4）5mA0.5級檢定2.5級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發現50V刻度點的示值誤差2V為全量程最大誤差，問該電壓表是否合格？5-10對某量進行兩組等權測量，其數據如下：甲組：25.94，25.97，26.03，25.98，26.0426.02，26.04，25.98，25.96，26.07乙組：25.93，25.94，26.02，25.98，26.0125.90，25.93，26.04，25.94，26.02(1)試用殘差統計法判斷各組中是否有系統誤差；(2)假設各組無系統誤差，試用t檢驗法檢查兩族之間是否有系統誤差（）。5-11為檢驗某種測量鋅含量的方法是否存在系統誤差，用含鋅量25.04%的標準物質作樣品，重復測30次，得平均測值25.22%，標準差0.46%，試判斷有無系統誤差（）?，F用此法測得某試樣的平均值27.19%，試修正該試樣的分析結果。網絡答疑：Email：bitzhtg@?正態分布：1)重復條件或復現條件下多次測量的算術平均值的分布；2)被測量量Y用擴展不確定度Up給出，而對其分布又沒有特殊指明時，估計值Y的分布；3)被測量Y的合成標準不確定度中，相互獨立的分量較多，它們之間的大小也比較接近時，Y的分布；4)被測量Y的合成標準不確定度中，相互獨立的分量中，存在兩個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布時；5)被測量Y的合成標準不確定度的相互獨立的分量中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態分布時。

?矩型（均勻）分布：1)數據修約導致的不確定度；2)數字式測量儀器對示值量化（分辨率）導致的不確定度；3)測量儀器由于滯后、摩擦效應導致的不確定度；4)按級使用的數字式儀表、測量儀器最大允許誤差導致的不確定度；5)用上、下界給出的線膨脹系數；6)測量儀器度盤或齒輪回差引起的不確定度；7)平衡指示器調零不準導致的不確定度。?三角分布：1)相同修約間隔給出的兩獨立兩之和或差，由修約導致的不確定度；2)因分辨率引起的兩次測量結果之和或差的不確定度；3)用替代法檢定標準電子元件或測量衰減時，調零不準導致的不確定度；4)兩相同均勻分布的合成。?反正弦分布（U型分布）：1)度盤偏心引起的測角不確定度；2)正弦振動引起的位移不確定度；3)無線電中失配引起的不確定度；4)隨時間正余弦變化的溫度不確定度。矩陣最小二乘法解題步驟：線性部分反映了由于的變化而引起的變化由實驗獲得兩個變量和的一組樣本數據，，…，，構造如下一元線性回歸模型一元線性回歸模型的數學形式

模型中，是的線性函數部分加上誤差項誤差項是隨機變量反映了除和之間的線性關系之外的隨機因素對的影響是不能由和之間的線性關系所解釋的變異性和稱為模型的參數1、誤差項是一個期望值為０的隨機變量，即。對于一個給定的值，的期望值為2、對所有的值，的方差都相同3、誤差項是一個服從正態分布的隨機變量，且相互獨立。即獨立性意味著對于一個特定的值，它所對應的與其它值所對應的不相關對于一個特定的值，它所對應的值與其它值所對應的不相關一元線性回歸模型基本假定

1、總體回歸參數和是未知的，必須利用樣本數據去估計他們2、用樣本統計量和代替回歸方程中的未知參數和，這時就得到了經驗的回歸方程3、一元線性回歸的經驗的回歸方程是回歸直線在軸上的截距是直線的斜率，它表示對于給定的的值，是的估計值，也表示當每變動一個單位時，的平均變動值經驗的回歸方程設得到的回歸方程殘差方程為根據最小二乘原理可求得回歸系數和。對照最小二乘法的矩陣形式，令回歸參數的最小二乘估計則誤差方程的矩陣形式為對照，設測得值的精度相等，則有將測得值分別代入上式，可計算得由于相互獨立，自由度計算公式在總的偏離中除了對線性影響之外的其它因素而引起變化的大小在總的偏差中因和的線性關系而引起變化的大小總偏差平方和回歸平方和殘余平方和意義反映因變量的n個觀測值與其均值的總偏差三個平方和的意義定義回歸方程的顯著性檢驗-F檢驗法對一元線性回歸，有3、根據給定的顯著性水平，從F分布表中查取臨界值。4、比較計算得到的F值和查得的值。若則回歸效果顯著，否則效果不顯著。1、提出假設

線性關系不顯著2、計算檢驗統計量估計殘余標準誤差5、殘余標準差的計算公式1、表征除了與線性關系之外其它因素影響值偏離的大小2、反映實際觀測值在回歸直線周圍的分散狀況3、從另一個角度說明了回歸直線的擬合程度4、殘余方差的計算公式回歸方程的穩定性

1、回歸值的波動大小，波動愈小，回歸方程的穩定性愈好。

2、回歸值的波動大小的計算公式標準不確定度來表示。回歸值的波動大小不僅與剩余標準差s有關，而且還取決于試驗次數n及自變量取值范圍。

基本思想

誤差分配

由給定測量結果允許的總誤差，合理確定各單項誤差。假設各誤差因素互不相關，有給定，如何確定，滿足一、按等影響原則分配誤差

等影響原則

各分項誤差對函數誤差的影響相等，即可得到極限誤差表示

函數的總極限誤差

各單項誤差的極限誤差二、按可能性調整誤差

(1)對各分項誤差平均分配的結果，會造成對部分測量誤差的需求實現頗感容易，而對另一些測量誤差的要求難以達到。這樣，勢必需要用昂貴的高準確度等級的儀器，或者以增加測量次數及測量成本為代價。按等影響原則分配誤差的不合理性

(2)當各個部分誤差一定時，則相應測量值的誤差與其傳播系數成反比。所以各個部分誤差相等，相應測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎上，根據具體情況進行適當調整。對難以實現測量的誤差項適當擴大，對容易實現的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調整。三、驗算調整后的總誤差

誤差先按等影響原則初步確定，再經過合理調整后，按誤差合成公式計算，若總誤差超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現的誤差項的誤差，合成后與要求的總誤差進行比較，直到滿足要求為止。例【解】測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑及高度，根據函數式求得體積，若要求測量體積的相對誤差為1％，已知直徑和高度的公稱值分別為，試確定直徑及高