這類問題是根據給出的具有某種規律的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過觀察、分析，探究所蘊含的本質規律和共同特征，或者發展變化的趨勢，據此探索出一般性的結論.考查學生的歸納、概括、類比能力.解決這類問題的一般方法是：“從特殊情形入手——探索發現規律——猜想結論——驗證.”一、數列規律這類問題通常是先給出一組數，通過觀察、歸納這組數的共性規律，寫出一個一般性的結論.解決這類題目的關鍵是找出題目中的規律，分清不變量和變化量，尋求變化部分與序號間的關系.【分析】觀察不難發現，被開方數是從1開始的連續自然數，每一行的數據的個數是從2開始的連續偶數，求出n-1行的數據的個數，再加上n-2得到所求數的被開方數，然后寫出算術平方根即可.【解答】前（n-1）行的數據的個數為2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1），所以，第n（n是整數，且n≥3）行從左到右數第n-2個數的被開方數是n（n-1）+n-2=n2-2，所以，第n（n是整數，且n≥3）行從左到右數第n-2個數是【答案】【點評】本題考查了算術平方根，觀察數據排列規律，確定出前（n-1）行的數據的個數是解題的關鍵.1.（2015·廣東東莞）觀察下列一組數：根據這組數的排列規律，可推出第10個數是_______.2.（2015·甘肅武威）古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形數，其中1是第1個三角形數，3是第2個三角形數，6是第3個三角形數，…，依此類推，那么第9個三角形數是___________，2016是第____個三角形數.45633.（2015·江蘇淮安）將連續正整數按如下規律排列：若正整數565位于第a行，第b列，則a+b=_______.147二、數式規律這類問題一般是先給出一組數式，通過觀察、分析，歸納出這組數式的共性，寫出一個具有一般性的表達式.解答這類問題，要認真分析所給數式的共同點，根據共同點歸納出具有這些共同點的一般式，再代入已知數式驗證其正確性.（2014·安徽）觀察下列關于自然數的等式：32-4×12=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…根據上述規律解決下列問題：（1）完成第四個等式：92-4×()2=()；（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性.【分析】由①②③三個等式可得，被減數是從3開始連續奇數的平方，減數是從1開始連續自然數的平方的4倍，計算的結果是被減數的底數的2倍減1，由此規律得出答案即可.【解答】（1）32-4×12=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…所以第四個等式：92-4×42=17.（2）第n個等式為：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，左邊=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，右邊=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1.左邊=右邊.∴（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1.【點評】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用規律解決問題.102016-2520三、圖形規律這類題目通常是給出一組圖形的排列（或通過操作得到一系列的圖形），探求圖形的變化規律，以圖形為載體考查圖形所蘊含的數量關系.解決此類問題時應先觀察圖形的變化趨勢，是增加還是減少，然后從第一個圖形進行分析，運用從特殊到一般的探索方式，分析歸納找出增加或減少的變化規律，并用含有字母的代數式進行表示，最后用代入法求出特殊情況下的數值.（2015·貴州安順）如圖所示是一組有規律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，…，第n（n是正整數）個圖案中的基礎圖形個數為______（用含n的式子表示）.【解答】觀察圖形可知，第1個圖案共有基礎圖形3×1+1=4個；第2個圖案共有基礎圖形3×2+1=7個；第3個圖案共有基礎圖形3×3+1=10個；…則第n個圖案共有基礎圖形3×n+1=3n+1個.【答案】3n+1【點評】此題考查了圖形的規律性.解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規律，從而推出一般性的結論.（2015·浙江湖州）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…，若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是________.【分析】設AD10與A1C1的交點為M，構造相似三角形△AD1M∽△D2A1M，從而求得然后利用△A1MD2∽△A2D2D3，從而求得A2C2的長，…，以此類推，求得A9C9的長.【解答】設AD10與A1C1的交點為M.∵四邊形都是正方形，∴AD1∥A1D2，∴△AD1M∽△D2A1M，∴又∵A1D1=A1C1-AB=2-1=1，∴同理：△A1MD2∽△A2D2D3，∴設A2C2=x，則解得x=3.同理可求由此規律可得∴即正方形A9C9C10D10的邊長是【答案】6.（2014·湖北武漢）觀察下列一組圖形中點的個數，其中第1個圖中共有4個點，第2個圖形中共有10個點，第3個圖形共有19個點，…，按此規律第5個圖形中共有點的個數()A.31B.46C.51D.662n+1四、點的坐標變化規律這類問題一般與直角坐標系相聯系，結合函數、圖形的變化，進而引起點的坐標變化.解答這類問題，一般要從題目中或圖形運動中尋找變化規律，用變化規律表示點的變化，進而推導要求的點的坐標.如圖，拋物線y=x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3…An，….將拋物線y=x2沿直線L：y=x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y=x上；②拋物線依次經過點A1，A2，A3…An，….則頂點M2

016的坐標為（________，________）.【分析】根據拋物線y=x2與拋物線yn=（x-an）2+an相交于An，可發現規律，根據規律，可得答案.【解答】M1（a1，a1）是拋物線y1=（x-a1）2+a1的頂點，拋物線y=x2與拋物線y1=（x-a1）2+a1相交于A1，得x2=（x-a1）2+a1，即∵x為整數點，∴a1=1，∴M1（1，1）.M2（a2，a2）是拋物線y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2頂點，拋物線y=x2與y2相交于A2，M3（a3，a3）是拋物線拋物線y=x2與y3相交于A3，∵x為整數點，∴a3=5，∴M3（5，5），∴由此規律可得an=n×2-1=2n-1.∴a2

016=2016×2-1=4031.【答案】（4031,4031）8.（2014·湖北孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖的方式放置，點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線y=x+1和x軸上，則點B6的坐標是__________.（63，32）9.（2014·泰安）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B，O分別落