第四章不定積分PAGE72word文檔可自由復制編輯第一章函數與極限本章要點：1.函數極限的概念（對極限的、定義可在學習過程中逐步加深理解，對于給出求N或不作過高要求。）2.極限四則運算法則。3.兩個極限存在準則（夾逼準則和單調有界準則），會用兩個重要極限求極限。4.無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等價無窮小求極限。5.函數在一點連續的概念。6.間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。7.初等函數的連續性和閉區間上連續函數的性質（介值定理和最大、最小值定理.）本章目標：1.理解函數的概念的理解復合函數的概念，了解反函數的概念。2.了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。3.掌握基本初等函數的性質及其圖形。4.會建立簡單實際問題中的函數關系式。5.理解極限的概念（對于給出求N或不作過高要求。）6.掌握極限的四則運算法則。7.了解極限存在準則（夾逼準則和單調有界準則），會用兩個重要極限求極限。8.了解無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等價無窮小求極限。9.理解函數在一點連續的概念。10.了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。11.了解初等函數的連續性和閉區間上連續函數的性質（介值定理和最大、最小值定理。）本章重點：1.函數極限的概念，會求一些簡單函數的極限。2.函數在一點連續的概念，會判斷一些簡單函數間斷點的類型。本章難點1.兩個極限存在準則；2.判別間斷點的類型。第一章總結本章主要介紹了極限的概念、極限存在的判定準則，極限的求法以及連續函數的定義與性質.利用極限的定義證明函數（或數列）以某確定常數為極限，是本章的難點之一。極限存在性問題是本章的重點，也是難點.一般地，常用以下方法判定一個極限是否存在：(1)利用單調有界準則；(2)利用夾逼準則；(3)利用柯西準則；(4)利用左右極限是否存在且相等；(5)利用子數列或部分極限。掌握好求極限的方法是學好高等數學所必須的，這是本章的重點內容。目前為止，我們可以(1)利用定義驗證極限；(2)利用極限四則運算法則求極限；(3)利用重要極限求極限；(4)利用無窮小量等價代換求極限；(5)利用夾逼準則求極限；(6)利用單調有界數列必有極限準則求極限；(7)利用函數連續性求極限等等.在后面的章節中，我們還會陸續介紹其它一些求極限的方法。函數連續性的概念是本章的又一重點，如何判定函數的連續性和間斷點，怎樣確定間斷點的類型，閉區間上連續函數有哪些性質，都是需要同學們深刻理解，牢固掌握的。第一節函數（作業一）一、單項選擇題1.設函數，它的定義域是【】.A.；B.；C.；D..2.設那么【】.A.0；B.-2；C.；D..3.開區間是【】.A.3的鄰區；B.以2為中心，1為半徑的鄰區；C.1的鄰區；D.以2為中心，1.5為半徑的鄰區.4.函數的反函數是【】.A.；B.；C.；D..5.函數是【】.A.奇函數；B.偶函數；C.非奇非偶函數；D.奇、偶性取決于的取值情況.6.設是奇函數，是偶函數，則是【】.A.即不是奇函數，又不是偶函數；B.偶函數；C.有可能是奇函數，也可能是偶函數；D.奇函數.7.滿足不等式（為常數，）的所有的區間表示為【】.A.；B.；C.；D..8.若，則有【】.A.；B.；C.；D..9.設那么【】.A.；B.；C.；D..10.使等式成立的所有構成的區間為【】.A.；B.；C.；D..二、填空題11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .三、計算題18.求下列函數定義域(1)；(2)；(3)；(4)．19.作下列函數的圖形(1)；(2).第一節函數（作業二）一、單項選擇題1.當函數的自變量的增量時，相應的函數的增量【】.A.一定大于零；B.一定小于零；C.一定不大于零；D.不一定大于零.2.下列函數中滿足關系的函數是【】.A.；B.；C.；D..3.設函數的定義域，則的定義域是【】.A.；B.；C.；D..4.在同一坐標系下，方程與代表的圖形【】.A.是同一條曲線；B.關于軸對稱；C.關于軸對稱；D.關于直線對稱.5.要使是奇函數，則【】.A.；B.；C.；D..6.設的定義域是，則的定義域是【】.A.；B.；C.；D..7.設是奇函數，是奇函數，則是【】.A.既不是奇函數，又不是偶函數；B.偶函數；C.有可能是奇函數，也可能是偶函數；D.奇函數.8.曲線上對應于的點是【】.A.；B.；C.；D..9.函數在內【】.A.是無界的；B.是有界的；C.是常數；D.小于零.10.下列各對函數中，互為反函數的是【】.A.；B.；C.；D..二、填空題11. .12. .13. .14. .15. .16. .17.設，那么 .18.設函數那么函數的值域是 .19.設函數它的反函數是 .20.開區間中每個點都是它的 點.三、計算題21.設是定義在上以為周期的函數，當時，，寫出的表達式．22.設是定義在上的奇函數，當時，，寫出的表達式．23.下列函數是由哪些基本初等函數復合而成的？(1)；(2)；(3)；(4).第二節數列的極限（作業一）一、單項選擇題1.數列的極限為【】A.；B.；C.不存在；D..2.數列的一般項為【】A.；B.；C.；D..3.極限【】A.；B.；C.；D..4.極限【】A.；B.；C.；D..5.極限【】A.；B.；C.；D..二、填空題6.＝ .7.＝ .8.＝ .9.＝ .10.＝ .11.＝ .12. .13. .14. .15. .三、計算題16.用數列極限的定義驗證數列的極限是2．17.求下列數列極限．(1)；(2)；(3)；(4).第二節數列的極限（作業二）一、單項選擇題1.設數列滿足：對任意的，則【】A.；B.；C.；D..2.極限【】A.；B.；C.；D..3.極限【】A.；B.；C.；D..4.極限【】A.；B.；C.；D..5.【】A.；B.；C.；D..6.因為，那么【】A.；B.；C.；D..二、填空題8. .9. .10. .11. .12.＝ .三、計算題13.求下列函數的極限。(1)；(2).14.下列結論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請舉出反例（1）若則（2）若，則；（3）若，則；（4）若則；（5）若則;（6）若對任何實數，則.第三節函數的極限（作業一）一、單項選擇題1.下列各函數的極限存在的是【】.A.；B.；C.；D..2.極限【】.A.；B.；C.；D..3.若，則【】.A.；B.；C.；D..4.設函數,那么【】.A.；B.；C.；D..5.設函數，則【】.A.；B.；C.；D.不存在.6.設，又則＝【】.A.；B.；C.；D..二、填空題7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .三、計算題15.設，作的圖形，并求在處的左、右極限．16.設，試求在處的左、右極限．17.已知，求的值.第三節函數的極限（作業二）一、單項選擇題1.若，則【】.A.；B.；C.；D..2.若，則【】.A.；B.；C.；D..3.極限【】.A.；B.；C.；D..4.極限【】.A.；B.；C.；D..5.若函數在點處的極限存在，則【】.A.必存在且等于極限值；B.存在但不等于極限值；C.在處的函數值可以不存在；D.如果存在，則必等于極限值.二、填空題6. .7. .8. .9. .10. .11.求 .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .三、求解下列各題20.用函數極限定義說明下列極限成立。(1)；(2).21.設，求.22.設，證明不存在性.第四節無窮小量與無窮大量一、單項選擇題1.當時，下列變量中為無窮大的是【】.A.；B.；C.；D..2.下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的是【】.A.；B.；C.；D..3.當時，是【】.A.的同階無窮小量；B.的等價無窮小量；C.比高階的無窮小量；D.比低階的無窮小量.4.若其中為常量，為一當時的無窮小量，則【】.A.；B.；C.；D.不存在.5.當時，【】.A.極限不存在；B.是無窮大量；C.是無窮小量；D.是未定式.6.無窮大量減去無窮大量是【】.A.無窮小量；B.零；C.常量；D.未定式.7.極限【】.A.；B.；C.；D..8.當時，是【】.A.比低階的無窮小量；B.比高階的無窮小量；C.與的同階無窮小量；D.與的等價無窮小量.9.【】.A.B.C.D.二、填空題10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .三、完成下列各題21.證明：有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；有限個無窮小量的積仍是無窮小量．22.函數當自變量在什么變化過程中是無窮小量？在什么變化過程中是無窮大量？23.當時，下列變量中哪些是等價無窮小量.，，，，24.當時，下列哪些函數是與同階的無窮小量？哪些是比更高階的無窮小量？，，,，，．第五節函數的連續性與間斷點（作業一）一、單項選擇題1.函數的連續區間是【】.A.；B.；C.；D..2.為使函數在處連續，應取【】.A.；B.；C.；D.；3.設處連續，則【】.A.；B.；C.；D..4.設函數，函數在在連續，則分別為【】.A.；B.；C.；D..二、填空題5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各題10.設函數(1)函數在定義域內是否連續？(2)畫出函數的圖形．11.設，問常數為何值時，函數在其定義域內連續？為什么？12.某水果站在水果大量到貨時規定，50kg以下標價0.80元/kg，滿50kg的標價0.70元/kg，滿150公斤時標價0.60元/kg.試列出收費金額與購買量的函數關系.問該函數是否為連續函數？13.將100元按6%作連續復利計算，問20年后本利和應是多少？（已知）第五節函數的連續性與間斷點（作業二）一、單項選擇題1.設在內連續，，則在內必有【】.A.最小值B.零值C.最大值D.極值2.函數的間斷點為【】.A.B.C.D.3.設函數，那么函數的所有間斷點是【】.A.B.和C.D.和4.如果在處連續，且，那么【】.A.B.C.D.二、填空題5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各題10.求下列函數的間斷點，并說明類型．(1)；(2).(3)；(4).11.證明方程在1與2之間至少存在一個實根.12.已知，求常數，.13.判定是的什么類型間斷點.14.函數在上是否有界？當時，是否為無窮大？為什么？第一章綜合練習題1.設求，，，．討論下列函數的奇偶性與周期性.(1)；(2)；(3).3.指出下列函數的單調區間并判定其是否有界．(1)；(2)；(3)；(4).4.求下列函數的反函數(1)；(2)．5.設，，且，求．6.已知，求．7.設求．8.設，，求.9．證明：如果在連續，且存在，則必有界.10.填空題(1)＝ .(2)＝ .(3)＝ .(4)＝ .(5)＝ .(6) .(7) .(8) .(9) .(10)＝ .(11)＝ .(12)＝ .(13)＝ .(14)＝ .(15)＝ .(16)＝ .(17)＝ .(18)＝ .(19)＝ .(20)＝ .(21)＝ .(22)＝ .(23)＝ .(24)＝ .(25)＝ .(26)＝ .11.求下列函數的間斷點，并說明類型(1)；(2).第二章導數與微分本章要點1.導數和微分的概念。2.導數的幾何意義。3.函數的可導性與連續性之間的關系。4.導數的四則運算法則和復合函數的求導法。5.微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。6.高階導數的概念。7.求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數。本章目標1.理解導數和微分的概念，理解導數的幾何意義及函數的可導性與連續性之間的關系。2.會用導數描述一些物理量。3.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數。了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。4.了解高階導數的概念。5.掌握初等函數一階、二階導數的求法。6.會求隱函數和參數式所確定的函數的一階、二階導數。會求反函數的導數。本章重點1.導數與和微分的概念。2.導數與和微分計算。本章難點1.復合函數求導法。2.隱函數求導法。3.參數方程確定的函數的求導。第一節導數概念一、單項選擇題1.設，其中為常量，則【】.A.；B.；C.；D..2.設曲線在點處的切線的斜率為，則點的坐標為【】.A.；B.；C.；D..3.函數在處的導數為【】.A.；B.；C.；D.不存在.4.函數的圖像在點的切線平行于軸，則為【】.A.；B.；C.；D..5.設在內連續，且，則在點處【】.A.的極限存在，且可導；B.的極限存在且等于，但不一定可導；C.的極限不存在；D.的極限不一定存在.6.設，則【】.A.；B.C.D.7.一物體作直線運動，路程與時間的關系為，則它的速度為【】.A.B.；C.；D..8.曲線在時的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..9.曲線在點處的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..二、填空題10. .11. .12. .13. .14.設（為常數），則 .15.設（為常數），則 .16.曲線在點處的切線斜率是 .17.設，則 .18.設，則 .19.設，其中函數在處可導，則 .三、討論下列函數在給定點處的連續性與可導性,若可導,求出.20.； 21.；22.； 23..第二節導數的計算（四則運算）一、單項選擇題1.若，則【】.A.；B.；C.；D..2.設，則【】.A.；B.；C.；D..3.曲線在點處的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..4.若，則【】.A.；B.；C.；D..二、填空題5.設,則 .6.設,則 .7.設,則 .8.設,則 .9.設,則 .10.設,則 .11.設,則 .12.設,則 .13.設,則 .14.設,則 .15.設,則 .16.設,則 .17.設,則＝，＝ .18.設,則＝，＝ .19.設,則＝ .三、完成下列各題20.求曲線上橫坐標為的點處的切線方程和法線方程.21.為何值時,曲線與曲線相切,并求曲線在該切點處的切線和法線方程.22.證明:雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形面積都等于.第二節導數的計算（復合函數求導法）一、單項選擇題1.若，則【】.A.；B.；C.；D..2.若，則【】.A.；B.；C.；D..3.若，則【】.A.；B.；C.；D..4.若，則【】.A.；B.；C.；D..二、填空題5.設則 .6.設則 .7.設則 .8.設則 .9.設則 .10.設則 .11.設則 .12.設則 .13.設則 .14.設則 .15.設則 .16.設，則 .17.設，則 .18.設，則 .19.設，則 .20.設，則 .21.設，則 .22.設，則 .23.設，則 .24.設，則 .25.設)， .26.設，則 .27.設，則 .28.設，則 .29.設，則 .30.設，則 .第三節高階導數一、單項選擇題1.設，則【】.A.；B.；C.；D..2.設，則【】.A.；B.；C.；D..3.設，則【】.A.；B.；C.；D..二填空題4. .5. .6. .7. .8. .9. .三、求下列函數的一階和二階導數10.設，則..11.設，則..12.設，則..13.設，則..14.設，則..15.設，則..16.設，則..（下列各題中函數均二階可導）17.設,則.18.設,則.19.設,則.20.設,則.三、計算題（求下列函數的階導數）21.；22.；23.；24..第四節隱函數與參數方程確定的函數的導數一、單項選擇題1.設，則【】.A.；B.；C.；D..2.設由方程確定，則【】.A.；B.；C.；D..3.設由方程所確定，則【】.A.；B.；C.；D..4.曲線上相應于點處的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..5.若由方程確定，則【】.A.；B.；C.；D..6.設由方程確定，則【】.A.；B.；C.；D..7.設，則【】.A.；B.；C.；D..二、寫出下列曲線在所給參數值相應的點處的切線方程和法線方程8.在處；9.在處；三、計算下列參數方程所確定函數的導數10.求；11.求；12.求；13.求.四、求由下列方程確定的隱函數的一階導數14.；15.；16.；17..第五節函數的微分一、單項選擇題1.設可導，則【】.A.；B.；C.；D..2.若，（為大于零且不等于1的常數）則【】.A.；B.；C.；D..3.設，則【】.A.；B.；C.；D..4.若，可導則【】.A.；B.；C.；D..5.若，則【】.A.；B.；C.；D..6.若，則【】.A.；B.；C.；D..7.設，用微分求得的近似值為【】.A.；B.；C.；D..8.設函數在閉區間上連續，則在內一定【】.A.單調；B.有界；C.可導；D.可微.9.設是由方程確定的隱函數，則【】.A.；B.；C.；D..10.若在處可微，當趨于零時，則在處差是關于的【】.A.高介無窮小；B.等價無窮小； C.低價無窮小；D.不可以比較.二、填空題11.設則 .12.設則 .13.設則 .14.設則 .15.設則 .16.設則 .17.設則 .18.設則 .19.設 .20.設則 .三、求下列函數的微分21.；22.；23.；24.；25.；26..第六節導數在經濟分析中的應用1.設生產某商品單位時的總成本函數和總收益函數分別為:(元),,求該產品的邊際成本函數、邊際收入函數和邊際利潤函數.2.設某商品的銷售量與需求量相等,該商品銷售單位時的總成本函數與需求函數分別為,求邊際利潤為零時的銷售量.3.某商品的需求量是價格p的函數,,,求需求量對價格的彈性.4.設某產品的總成本函數為,而需求函數為,其中為產量,p為價格,試求:(1)邊際成本,邊際收益,邊際利潤；(2)收益的價格彈性.5.指出下列需求關系中，價格p取何值時，需求是高彈性或是低彈性的?(1)；(2).6.設某產品的總成本函數和需求函數分別是,,其中是產品的銷售量(假設等于需求量),為價格.試求(1)邊際利潤;(2)收益的價格彈性.7.某廠生產某種產品(百臺)的總成本為(萬元),其中固定成本為2萬元,每生產1百臺,成本增加1萬元,平均每年可銷售4百臺,銷售收入為的函數,且求(1)利潤函數;(2)邊際利潤.第二章綜合練習題一、單項選擇題1.設在的某個鄰域內有定義,則在處可導的一個充分條件是【】.A.存在； B.存在；C.存在； D.存在.2.設其中是有界函數,則在處【】A.極限不存在；B.極限存在但不連續；C.連續但不可導；D.可導.二、完成下列各題3.下列各題中均假設存在,按導數定義觀察下列極限,指出A表示什么?(1)； (2),其中；(3)；4.將一物體上拋,設經過t秒后,物體上升的高度為,求(1)物體在到秒時段內的平均速度.(2)物體在秒時刻的速度.5.設,且在處連續,問在處是否可導?6.若是奇函數,且存在,試問:是否存在?若存在,和有何關系?7.設表示個勞動力所生產的某商品的數量,稱為個勞動力的平均勞動生產率,試求勞動力數量為時的邊際勞動生產率,并說明它的實際意義.8.企業的資金都是隨著時間的變化而變化的.已知某廠的資金是時間的函數,求時資金的增長率和增長率的變化率.9.求曲線在點(1,1)處的切線方程和法線方程.10.用對數求導法求下列函數的導數(1)；(2)；(3)；(4)；11.求下列方程確定的隱函數的二階導數(1)；(2)；12.驗證函數滿足關系式.13.驗證函數(其中是常數)滿足關系式.14.求下列參數方程所確定的二階導數.(1)； (2).15.落在平靜水面上的石頭,產生同心波紋。若最外一圈波半徑的增大率總是,問在末擾動水面面積的增大率為多少?16.已知，計算在處當分別等于1，0.1，0.01時的和.17.設函數在任意點處增量,其中是比高階的無窮小,求.18.計算下列近似值(1)；(2)；(3)； (4)；(4)； (6).19.當較小時，證明下列近似公式(1)（是弧度）； (2)；(3)； (4).20.若函數在點處連續,且存在,試證在點處可導.21.設函數在點處可導,,試求.22.設有分段函數,其中和均可導,問是否成立?成立的條件是什么?23.設,其中為常數.試問為何值時,在處可導,為什么?并求.24.確定的值,使函數在()內處處可導,并求它的導函數.25.對于任意正數有且,證明在(0,+)可導,并求和.26.求曲線在點()處的切線方程和法線方程,證明:在它的任一點處的切線介于坐標軸間部分的長為一常量.27.設曲線與都通過點(-1,0),且在點(-1,0)有公共切線,求的值.28.設由所確定,求,并求處曲線的切線方程.29.設,求.30.已知,求.31.設某商品的需求函數為(1)求=4時的收益價格彈性,并解釋經濟意義；(2)求=6時的收益價格彈性,并討論調價措施.第三章微分中值定理與導數應用本章要點1.羅爾（Rolle）中值定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理。2.羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限。3.函數的極值概念。4.判斷函數圖形的凹凸性；拐點。5.描繪函數的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。本章目標1.理解羅爾（Rolle）中值定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理。2.了解柯西（Cauchy）中值定理。3.會用羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限。4.理解函數的極值概念，并掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的方法。5.會用導數判斷函數圖形的凹凸性；會求拐點；會描繪函數的圖形（包括水平和鉛直漸近線）.會求解較簡單的最大值和最小值的應用問題。本章重點1.理解拉格朗日（Lagrange）中值定理。2.用羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限。3.求函數的極值.4.求解較簡單的最大值和最小值的應用問題。本章難點1.解拉格朗日（Lagrange）中值定理及其應用。2.函數的極值。3.用羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限.第三章總結本章我們利用極限理論從局部對函數變化性態進行了更深入的研究。1.導數的應用是一元函數微分學的又一重點，也是難點。一般地，微分中值定理有三種基本應用。（1）利用在一個區間上，函數的導數等于零，則函數在這個區間上恒為常數，證明等式；（2）利用對中值定理中中值的放大與縮小，證明不等式；（3）利用導函數的極限求左右導數，求分段函數在接點處的導數值。2.利用導數來研究函數的單調性、極值、和凸性等；3.利用函數的微分和Taylor公式來計算函數的近似值。4.利用導數知識證明不等式常用以下五種方法：(1)利用拉格朗日中值公式；(2)利用函數單調性；(3)利用函數的最大值和最小值；(4)利用函數圖形的凹凸性；(5)利用泰勒公式。導數為不等式的證明提供了不少有效方法，使用時究竟用哪種方法更合適，很難作出肯定回答，需要根據不等式的具體形式來加以選擇，有的同時可以用多種方法證明.希望讀者多加揣摩。另外還應該注意：（1）函數曲線在導函數單調增區間上下凸，函數曲線在導函數單調減區間上上凸。（2）導函數的極值點所對應的曲線上的點為函數曲線的拐點。導數應用要比求導法難一些，所以同學們在學習這部分內容時，不要操之過急，要逐步掌握。第一節微分中值定理一、單項選擇題1.對于函數，滿足羅爾定理全部條件的區間是【】.A.；B.；C.；D..2.如果函數在上滿足羅爾定理全部條件，則至少存在一點，使得，其中滿足【】.A.；B.；C.；D..3.函數，滿足拉格朗日中值定理條件的區間是【】.A.；B.；C.；D..4.下列函數中在給定區間上滿足羅爾中值定理的是【】.A.；B.；C.；D..5.設函數，則方程有【】.A.一個實根；B.二個實根；C.三個實根；D.無實根.6.區間上滿足拉格朗日中值定理條件的函數是【】.A.；B.；C.；D..7.函數在上滿足拉格朗日中值定理的全部條件，則使結論成立的【】.A.；B.；C.；D..8.函數在上使拉格朗日中值定理結論成立的=【】.A.；B.；C.；D..9.下列函數在給定區間上滿足拉格朗日中值定理的是【】.A.；B.；C.；D..10.下列函數中，在閉區間上滿足羅爾定理條件的是【】.A.；B.；C.；D..二、證明題11.證明恒等式：().12.若函數在內具有二階導數，且，其中，證明：在內至少有一點，使.13.證明不等式.14.設，證明：.第二節洛必達（L’Hospital）法則一、單項選擇題1.【】.A.；B.；C.；D..2.，則此計算【】.A.正確；B.錯誤，因為不是型未定式；C.錯誤，因為不存在；D.錯誤，因為是型未定式；3.設在區間內均有一階連續導數，且，，則【】.A.；B.；C.；D.不存在.4.【】.A.；B.；C.；D..5.下列求極限問題不能使用洛必塔法則的是【】.A.；B.；C.；D..6.【】.A.；B.；C.；D..二、填空題7. .8. .9.設為常數， .10. .11.設在點可導，則 .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .21. .22. .23. .24 .25. .26. .27. .28. .29. .30. .31. .第三節泰勒（Taylor）公式一、應用泰勒公式求下列極限（1）（2）二、求下列函數在指定點處具有佩亞諾余項的三階泰勒公式（1）；（2）；（3）；（4）.三、求函數的帶有拉格朗日型余項的3階麥克勞林公式.四、求函數的帶有佩亞諾型余項的階麥克勞林公式.五、應用三階泰勒公式求下列各數的近似值，并估計誤差.（1）；（2）.第四節函數性態的研究一、單項選擇題1.為使函數在區間內單調增加，則應滿足【】.A.且；B.且是任意實數；C.且；D.且是任意實數.2.對于函數，下列結論正確的是【】.A.是極大值點；B.是極小值點；C.不是曲線的拐點；D.是曲線的拐點.3.函數的極小值點為【】.A.；B.；C.；D.不存在.4.函數的極小值點為【】.A.；B.；C.；D..5.函數可能存在極值的點是【】.A.；B.；C.；D.不存在.6.下列說法中正確的是【】.A.若在內可導，則在內必有極值；B.可導函數的極值點處必有；C.若在點處可導，則在點處也可導；D.在內的連續函數必有取大值.7.函數在區間【】.A.內單調減；B.內單調增；C.內單調減；D.內單調減.8.使函數單調增加的區間是【】.A.；B.；C.；D..9.函數在上的最大值是，最小值是，若，則【】.A.等于零；B.大于零；C.小于零；D.等于常數.10.設在的某鄰區內二階可導，且，在點處【】.A.取得極小值；B.取得極大值；C.不取得極值；D..二、填空題11.函數在區間上極小值是 .12.設函數，那么函數的最小值是 .13.函數在區間上是單調 .14.函數在處取得極大值，因為，而 .15.函數在內是單調遞增的，原因是 .16.當時，函數有極值，其中為常數，那么 .三、證明題17.當時，證明.18.當時，證明.四、求下列函數的極值19.； 20.；21.； 22..第五節函數作圖一、單項選擇題1.曲線【】.A.僅有鉛垂漸近線；B.僅有水平漸近線；C.既有鉛垂漸近線又水平漸近線；D.無漸近線；2.函數的水平漸近線方程為【】.A.；B.；C.；D..3.若直線是下列曲線的一條鉛垂漸近線，則【】.A.；B.；C.；D..4.下列曲線中上凹的是【】.A.；B.；C.；D..5.曲線【】.A.沒有拐點；B.有一個拐點；C.有兩個拐點；D.有三個拐點.6.若在點的某鄰區內二階可導，則是點為曲線的拐點的【】.A.必要但非充分條件；B.充分但非必要條件；C.充要條件；D.既不充分也不必要的條件.7.若曲線位于其上任一點切線的上方，則該曲線是【】.A.下凹的；B.上凹的；C.上升的；D.下降的.8.曲線向上凹與下凹的分界點是曲線的【】.A.駐點；B.極大值點；C.拐點；D.極小值點.9.曲線的鉛直漸近線的方程是【】.A.；B.；C.；D..10.曲線【】.A.只有水平漸近線；B.沒有水平漸近線和鉛直漸近線；C.只有鉛直漸近線；D.有水平漸近線也有鉛直漸近線.二、填空題11.的水平漸近線方程是，鉛直漸近線方程是 .12.曲線在內的拐點是 .13.曲線的向上凸區間是 .14.曲線有幾個拐點 .15.的漸近線方程是 .16.的漸近線方程是 .17.的漸近線方程是 .三、描繪下列函數圖形18.；19.；20.；21..第六節最大最小值問題及在經濟管理中的應用一、求下列函數在指定區間的最大值與最小值（1）；；（2）；.二、要造一個圓柱形的油罐，體積為，問底半徑和高為多少，才能使表面積最小？三、設某廠生產某產品單位的總成本函數為（萬元）求：⑴產量是多少時，平均成本最低，并求其最低平均成本.⑵平均成本最低時的邊際成本.四、某商品定價為5元/件，每月可售1000件，若每件每降價0.01元，則可多出售10件，求出售商品多少件時收益最高.五、假設某種商品的需求量Q是單價p(單位:元)的函數:,商品的總成本C是需求量Q的函數:C=25000+50Q,每單位商品需納稅2元.試求使銷售利潤最大的商品單位和最大利潤.第三章綜合練習1.證明：若函數在內滿足關系式，且，則.2.不用羅必達法則，證明極限存在.3.求下列函數的單調區間（1）；（2）；（3）； （4）.4.證明曲線有三個拐點，且三個拐點在同一條直線上.5.設在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且.證明:存在點,使6.討論方程的實根個數.7.已知,其中具有二階連續導數,,,求并討論的連續區間.8.設函數在閉區間上連續,且.如果在存在且為增函數,證明:在內是增函數.9.設由方程所確定,試求的駐點,并判定它是否是極值點.10.設,證明:.11.設,求的極值.12.設,其中是正整數,在處連續,且,問在處有無極值?13.將長為的鐵絲切成兩段,一段圍成正方形,另一段圍成圓形,問這兩段鐵絲各長為多少時,正方形與圓形的面積之和為最小?14.設某種商品的單價為p時,售出的商品數量Q可以表示成其中a、b、c均為正數,且.(1)求p在何范圍內變化時,使相應銷售額增加或減少；(2)要使銷售額最大,商品單價p應取何值?最大銷售額是多少?15.某商品進價為(元/件)，根據以往經驗，當銷售價為(元/件)時，銷售量為件(均為正常數,且)。市場調查表明，銷售價每下降10%，銷售量可增加40%，現決定一次性降價。試問當銷售價定為多少時，可獲得最大利潤?并求出最大利潤.第四章不定積分本章要點1.不定積分的概念及性質。2.不定積分的基本公式。3.不定積分的換元積分法與分部積分法。4.簡單的有理函數的積分。本章目標1.理解不定積分的概念及性質。2.掌握不定積分的基本公式。3.掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。4.會求簡單的有理函數的積分。本章重點1.不定積分的概念及性質。2.不定積分的基本公式。3.不定積分的換元積分法與分部積分法。本章難點1.不定積分的概念及性質。2.不定積分的換元積分法與分部積分法。第一節不定積分的概念及性質一、單項選擇題（下列各題中為任意常數）1.【】.A.；B.；C.；D..2.【】.A.；B.；C.；D..3.函數的一個原函數是【】A.；B.；C.；D..4.在可積函數的積分曲線族中，每一條曲線在橫坐標相同的點上的切線【】A.平行軸；B.平行軸；C.互相平行；D.互相垂直.5.曲線過點，且每點切線斜率都是該點橫坐標的2倍，則該曲線方程是【】A.；B.；C.；D..6.【】A.；B.；C.；D..7.【】A.；B.；C.；D..8.【】A.；B.；C.；D..9.【】A.；B.；C.；D..二、填空題10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .21. .22. .23.= .24. .25. .26. .27. .第二節基本積分法（換元積分法）一、單項選擇題1.可變為【】.A.；B.；C.；D..2.【】.A.；B.；C.；D..3.【】.A.；B.；C.；D..4.【】.A.；B.；C.；D..5.【】.A.；B.；C.；D..6.【】.A.；B.；C.；