第四章三角函數同角三角函數的關系與誘導公式第講21考點搜索●同角三角函數的三個基本關系式●誘導公式●“1”在化簡、求值、證明中的妙用●已知tanα的值，求sinα和cosα構成的齊次式(或能化為齊次式)的值●三角恒等式的證明2高考猜想以同角三角函數的基本關系式與誘導公式作為工具對三角函數進行恒等變換.3

一、同角三角函數間的基本關系式1.平方關系：

;1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α;2.商數關系：

，

3.倒數關系：

,cosαsecα=1,sinαcscα=1.

二、誘導公式sin2α+cos2α=1tanα·cotα=141.2kπ+α(k∈Z)，-α，π±α，2π-α的三角函數值等于α的

三角函數值，前面加上一個把α看成

角時原函數值的符號.

2.

±α，

±α的三角函數值等于α的

函數值，前面加上一個把α看成

角時原函數值的符號.記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限.(注：奇、偶指

的奇數倍或偶數倍.)

同名銳互余銳51已知△ABC中，則cosA=()先由知A為鈍角，則cosA<0,排除A和B；再由和sin2A+cos2A=1,求得故選D.D6C73.已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=()8sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ故選D.9

考點1：運用同角三角函數關系求值1.(1)已知求tanα;(1)因sinα=＞0，所以α為第一或第二象限角.當α為第一象限角時，當α為第二象限角時，由(1)知，tanα=.10(2)已知知sinαα=m(m≠0,m≠±±1),求tanαα.(2)因為為sinα=m(m≠0，m≠±±1)，所以以(當α在第第一一、、四四象象限限時時取取正正號號,當α在第第二二、、三三象象限限時時取取負負號號).所以，當α為第一、四象象限角時，當α為第二、三象象限角時，11【點評】：同角三角函數數關系式是化化異名(函數)為同名(函數)的基礎.主要的三個關關系式為sin2x+cos2x=1，tanx·cotx=1.轉化時注意符符號的取舍，，如果角的范范圍不能確定定，則注意分分類討論.12已知tanα=m(m＜0)，求sinα的值.因為tanα=m＜0，所以α在第二、四象象限.當α在第二象限時時,當α在第四象限時時，132.設θ是第二、三象象限的角，求證：證明：因為θ是第二、三象象限的角，所以cosθ＜0.所以左邊題型2：運用同角三三角函數關系系化簡、證明明14=右邊，所以結論成立立.【點評】：解決有關三角角函數式的化化簡與證明的的問題,關鍵是合理選選擇公式和變變形方向,如異名化同名名、整體代換換、切化弦,等等.15化簡原式=163.化簡下列各式式：(1)(2)(1)原式=題型3:誘導公式的應應用17(2)原式=18【點評】：誘導公式是化化任意角的三三角函數為銳銳角三角函數數的公式，也也是化異角為為同角的公式式，化簡時特特別注意符號號的規定.19已知(1)化簡f(α)；(2)若求求f(α)的值；(3)若α=-1860°，求f(α)的值.20(1)(2)由及及得(3)214.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π).求下列各式的的值：(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ;(3)sin3θ+cos3θ.題型4：sinα±cosα與方程思想22解法1：因為sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),所以(sinθ+cosθ)2==1+2sinθcosθ,所以sinθcosθ=-<0.由根與系數的的關系知，sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的兩根,解方程得x1=,x2=-.因為sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ=,cosθ=-.23所以，，(1)tanθ=-；(2)sinθ-cosθ=；(3)sin3θ+cos3θ=.解法2：(1)同解法法1.因為sinθ>0,cosθ<0，所以sinθ-cosθ>0，所以sinθ-cosθ=.24(3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=【點評】：由sin2α+cos2α=1知,在式子子sinα+cosα,sinα-cosα及sinαcosα中，知知道其其中一一個，，便可可求得得其余余兩個個式子子的值值.求解中中注意意符號號的討討論與與取舍舍.25已知α是第二二象限限的角角，且且sinα+cosα=，則sinα-cosα=_____.由α是第二二象限限的角角，知知sinα＞0＞cosα，所以以sinα-cosα＞0.由條件件可得得則2sinαcosα=-.所以得sinα-cosα=.26化簡解法1：原式=題型：：““1”的妙用用

參考題27解法2：原式=282.已知求求下下列各各式的的值:（1）;（2）sin2α+sinαcosα+2.由已知知得(1)題型：：切割割化弦弦與齊齊次式式的應應用29(2)301.已知角角α的某一一個三三角函函數值值，求求角α的其余余三角角函數數值時時，要要注意意公式式的合合理選選擇.一般思思路是是按““倒、、平、、倒、、商、、倒””的順順序求求解，，特別別是要要注意意開方方時的的符號號選取取.312.在進行行三角角函數數式化化簡和和三角角恒等等式的的證明明時，，細心心觀察察題目目的特特征，，