3.2.1第二課時函數的最大（小）值123利用圖象求函數的最值利用單調性求函數的最值二次函數的最值4最值的實際應用教學目標核心素養：借助函數圖象，會用符號語言表達函數的最大值、最小值，理解它們的作用和意義.通過圖象經歷函數最值的抽象過程，發展學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算素養.函數的最大值與最小值知識梳理

最大值最小值條件一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：?x∈I，都有f(x)____

Mf(x)____

M?x0∈I，使得___________結論稱M是函數y＝f(x)的最大值稱M是函數y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的________f(x)圖象上最低點的________≤f(x0)＝M縱坐標縱坐標≥

總結歸納解

作出f(x)的圖象如圖：利用圖象求函數的最值用圖象法求最值的三個步驟總結提升2【練】函數y＝－3x2＋2在區間[－1，2]上的最大值為________.解析

函數y＝－3x2＋2的對稱軸為x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.利用圖象求函數的最值【練】函數f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，則f(x)的最大值為________.

解析根據圖象可知，f(x)max＝3.答案3利用圖象求函數的最值解析

(1)作出函數f(x)的圖象(如圖(1)).由圖象可知，當x＝±1時，f(x)取最大值f(±1)＝1.當x＝0時，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.答案1,0利用圖象求函數的最值(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x這兩個函數中的較小者，則f(x)的最大值為(

)A.2 B.1C.－1 D.無最大值解析

在同一坐標系中，作出函數的圖象(如圖(2)中實線部分)，則f(x)max＝f(1)＝1，故選B.答案B圖(1)圖(2)利用圖象求函數的最值【例】求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.解

由(1)可知f(x)在[1，4]上單調遞增，∴當x＝1時，f(x)取得最小值，最小值為f(1)＝2，利用單調性求函數的最值1.利用單調性求最值：首先判斷函數的單調性；然后利用單調性寫出最值.2.函數的最值與單調性的關系：(1)若函數在閉區間[a，b]上是減函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；(2)若函數在閉區間[a，b]上是增函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a).總結提升任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，即函數f(x)在[1，＋∞)上是增函數.利用單調性求函數的最值【練】函數f(x)在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是(

)A.f(－2)，0

B.0，2C.f(－2)，2 D.f(2)，2解析

由圖象可知，此函數的最小值是f(－2)，最大值是2.答案C利用單調性求函數的最值(2)若對任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍.所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.記y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上單調遞增，故當x＝1時，y取得最小值，最小值為3＋a.所以當3＋a>0，即a>－3時，f(x)>0恒成立，所以實數a的取值范圍為(－3，＋∞).利用單調性求函數的最值微專題1不含參數的二次函數的最值【例】函數f(x)＝x2－4x＋7(0≤x≤6)的最大值為________，最小值為________.解析

∵f(x)＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，∴此二次函數的對稱軸為x＝2，∴原函數的最大值為f(6)＝19，最小值為f(2)＝3.答案19，3二次函數的最值微專題2含參數的二次函數的最值【例】已知函數f(x)＝x2－ax＋1，(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；所以區間[0，1]的哪一個端點離對稱軸遠，則在哪個端點取到最大值，二次函數的最值(2)當a＝1時，求f(x)在閉區間[t，t＋1](t∈R)上的最小值.∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；二次函數的最值1.含參數的二次函數最值問題的解法解決含參數的二次函數的最值問題，首先將二次函數化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號確定拋物線的開口方向，依對稱軸x＝－h得出頂點的位置，再根據x的定義區間結合大致圖象確定最大或最小值.2.對于含參數的二次函數的最值問題，一般有如下幾種類型：(1)區間固定，對稱軸變動(含參數)，求最值；(2)對稱軸固定，區間變動(含參數)，求最值；(3)區間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數.通常都是根據區間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論.總結提升【練】

已知二次函數f(x)＝x2－2x＋3. (1)當x∈[－2，0]時，求f(x)的最值； (2)當x∈[－2，3]時，求f(x)的最值；解

f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其對稱軸為x＝1，開口向上.(1)當x∈[－2，0]時，f(x)在[－2，0]上是減函數，故當x＝－2時，f(x)有最大值f(－2)＝11；當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)當x∈[－2，3]時，f(x)在[－2，3]上先遞減后遞增，故當x＝1時，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，∴f(x)的最大值為f(－2)＝11.二次函數的最值(3)當x∈[t，t＋1]時，求f(x)的最小值g(t).解

①當t>1時，f(x)在[t，t＋1]上是增函數，所以當x＝t時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②當t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，f(x)在[t，t＋1]上先遞減后遞增，故當x＝1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(1)＝2.③當t＋1<1，即t<0時，f(x)在[t，t＋1]上是減函數，所以當x＝t＋1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，二次函數的最值【練】(多選題)若函數y＝x2－4x－4的定義域為[0，m]，值域為[－8，－4]，則實數m的值可能是(

) A.2 B.3 C.4 D.5

解析

函數y＝x2－4x－4的圖象關于x＝2對稱，且f(2)＝－8，f(0)＝f(4)＝－4，

如圖，y＝x2－4x－4在(－∞，2)上單調遞減，(2，＋∞)上單調遞增，

由圖可知，m∈[2，4]，所以實數m的取值范圍是[2，4]，故選ABC.答案ABC二次函數的最值【練】已知二次函數f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在區間[2a，a＋1]上不單調，求實數a的取值范圍；解

(1)由已知，設f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，由f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.二次函數的最值【練】在區間[－1，1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，

試確定實數m的取值范圍.解

由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，化簡，得x2－3x＋1－m>0.設g(x)＝x2－3x＋1－m，則只要g(x)min>0，因為g(x)在區間[－1，1]上單調遞減，所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，即－1－m>0，解得：m<－1，即實數m的取值范圍是(－∞，－1).二次函數的最值二次函數的最值(2)當a∈(1，6)時，求函數f(x)的最大值M(a).解

因為a∈(1，6)，二次函數的最值二次函數的最值最值的實際應用(2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)∴當x＝300時，f(x)max＝25000，當x>400時，f(x)＝60000－100x是減函數，f(x)<60000－100×400<25000.∴當x＝300時

，f(x)max＝25000.即每月生產300臺儀器時利潤最大，最大利潤為25000元.最值的實際應用對于實際應用問題，首先要審清題意，確定自變量和因變量的條件關系，建立數學模型，列出函數關系式，進而分析函數的性質，從而解決問題.同時要注意自變量的取值范圍.總結提升最值的實際應用(2)試問如何安排甲、乙兩座城市的投資，才能使公司總收益最大？最值的實際應用最值的實際應用

求函數最值的常用方法與技巧(1)圖象法求函數最值.①畫出函數y＝f(x)的圖象；②觀察圖象，找出圖象的最高點和最低點；③寫出最值，最高點的縱坐標是函數的最大值，最低點的縱坐標是函數的最小值.(2)運用函數單調性求最值是求函數最值的常用方法，特別是當函數圖象不易作出時，單調性幾乎成為首選方法.(3)①注意對問題中求最值的區間與函數的單調區間之間的關系進行辨析；②注意對問題中求最值的區間的端點值的取舍.