2015年10月高等教育統一命題考試 3l00l50分鐘。第一部分為選擇題。必須對應試卷上的題號使 鉛筆將“答題卡”的相應代碼涂黑第二部分為非選擇題。必須注明大、小題號，使 毫米黑色字跡簽字筆作答一、單項選擇題(本大題共l0小題。每小題330分)A．- D. B.x=- C． C．y=1/2 D．y=-1/2f(xf’(x0)=0f(x)x=x0 see B．secC．tan D．tan D.4+e-第一分非選擇題 (本大題共5小題，每小題4分，共20分)四、綜合題(本大題共4小題，第21、22、23小題各6分，第24小題7分，共25分)計算二重積分，，其中D是由直線x=1、y=1及x軸、y軸所圍成的平面區域2015年4月高等教育 3l00l50第一部分為選擇題。必須對應試卷上的題號使 鉛筆將“答題卡”的相應代碼涂黑第二部分為非選擇題。必須注明大、小題號，使 毫米黑色字跡簽字筆作答一、單項選擇題(本大題共l0小題，每小題330分) D.(1，+∞)A．- D. C. 一l B.0 B．- D.- D. B. D.A.(-∞，一1) D.(-∞，+∞)10．設，則f(x)= B．x2 D.二、簡單計算題(本大題共5小題，每小題4分，共20：求常數a的值，使函數在x=0處連續四、綜合題(本大題共4小題，第21、22、23小題各6分，第24小題7分，共25Q(萬件)的總成本函數c(9=5Q+200(TJX=1、x=2y=1、y=2的平面圖形為D．高等數學（一）試卷3l00l50分鐘。第一部分為選擇題。必須對應試卷上的題號使 鉛筆將“答題卡”的相應代碼涂黑 一、單項選擇題(本大題共l0小題，每小題3分，共30分)20144月高等教育 B.ln6- D.ln6 1設函數f(x)可導，且 x,則導數xA.xC.)=f(x,yxyf11)=

B.-D.-1y1C. x

x y

B.xD.x2x函數f(x)=sinx+cosx奇函 B.偶函 y=ln(x2)與 B.y=tan(2x)與x2xy=x

y=x-1

x設函數f(x)=2x2，g(x)=sinx，則當x→0B.f(x)是比g(x)低階的無窮小量D.f(xg(x)是等價無窮小量 4xa,x<設函數f

x

2x=2處連續，則x 設y=y(x)是由方程xy3=y-1所確定的隱函數，則導數

x0A.- 已知函數y=acosx+1cos2x(其中a為常數)在 處取得極值，則 設函數f(x)=lnxxA.f(x)在(0，+∞)內單調減 B.f(x)在(0，e)內單調減少C.f(x)在(0，+∞)內單調增 D.f(x)在(0，e)內單調增 求極限 設函f(xx=0處可導f(0)=1,f′(x)=2.用導數定義求極限limf(x)1x 12設函數f(x)滿足 ，且f(1)=2,求12求曲線y=x3-3x2-1的拐已知極限 x

x=e2，求常數k的值xx求拋物線y=x2上一點，使該點的切線平行于直線y=4x-求極限 ln(1x)x

02

計算二重積分 1dxdy，其中D是由直線y=x，y=1 x=5所圍成的平Dyln設D是由拋物線y=1-x2與x軸所圍成的平面區域，如圖所示.求DxVx.23.(本小題6分) z1 3計算定積分I= 30201310月高等教育 C．e2x

A．y=xsin B．y=xcosC．y=sinx+cos D．y=x(sinx+cos =【Cx3 B．3C．21f(xx

D．2 設函數f(x)=arctan(x2)，則導數f(1)=【C】A．-

B．2 ln(x極限 =【Cx A．-2C．2

f(x)dx g(x)dx f(x)dx=g(x) g(x)dx=f(x)10．設函數z=ln(x2+y2)，則z z=【A】 x

xy 11．已知函數f(x+1)=x2+2x，求f(x)．sin(x2 x0 求函y=ex22x的單調區間．求不定積 11x21求a的值，使得函數f(x)= 2x) x0在x=0處連續a x 求曲線 的水平和鉛直漸近線x設z=z(x，y)是由方程z3-3xyz-1=0所確定的隱函數，求偏導數z z 計算定積分I=1e1xdx0求微分方程 0滿足初始條件y|=1的特解 計算二重積分 xydxdy，其中D是由直線y=2x、x=l及曲線y=x2圍成的平面區域D20137月高等教育20134月高等教育一、單項選擇題（5210）A.f(x)為奇函 B.f(x)為偶函 f 設函數f(x)滿足f(1)=0,f(1)=2，則 x 設函f(x)在區間[a,b]上可導，且f(x)<0,f(b)>0,則在[a,b]上 C.恒等于 D.有正有微分方程 =0的通解y C. D.1設極限lim(12x) ea，則常數xA.- 1 2

2二、填空題（本大題共10330）

1 35 2n12n1 函數f(x)= 2+ln(5-x)的定義域 q x

+2，則微分 f(x)=asinx1cos3x3

3處取得極值，則常數 曲線y=x3-3x+1的拐點坐標 設f′(x)=1-x,且f(0)=1,則 3x3設函數f(x)在 )上連續，且對任意的x， tf 40，則 2

（設函數

2(xaaaax

x,確定常數a的值，使得f(x)在x=0處連續xln(2

101

求極限x

cosx設函數f(x,y)=xy,求全微分d

ln0

exdx（d2 計算二重積分 xydxdy，其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區域Dx設函數f(x)可導，且f(cos ,f(0)=-2,求x某商品的銷售量x(噸)與p(萬元/噸)滿足關系x=35-5p,際1（萬元，求該商品獲最大利潤時的銷售量及價格.

設函數f(x)連續，且

xf

tf(t)dt，證

f(t)dt 設函數 x x，貝A. B．x(x-C.(x+1)(x- D．(x-1)x0時函f(xx2limfx)x0 B．2 設函數f 1，則高階導數f(12) x= x

3 設函數f(x)連續，

tf(t)dt, (x)xA.xf B．aC．-x D．-af二、填空題（本大題共10330）2x設函數 ，則f(x)的定義域 71極限lim 2x2x2 x某商品需求量Q與價格P的函數關系為Q=150-2P2，則P=6時的邊際需求 函數 x2在區間［0，1］上滿 日中值定理的中 4函數 1在區間［-1,1］上的最小值 3極限 sin x0(1x)ln(1定積

1xcos 1微分方程 y的通解 x xdx C，則 設函數z=esinxy， y（e3cos2x,x討論函數f 在x=0處的連續性(13x)x,x設函數 earcsinx，求d求不定積 xe-2xdx1,x 設函數f 1，計算定積 1f(x)dx1x,x計算二重積 xdxdy，其中區域D由曲線 1 x2及直線x=2圍成 （設函數 ln1 1arctanx2,求 1x dxx求曲線 xe2x的凹凸區間及拐點計算定積 dx設某企業生產一定量的某產品時可用兩種原料，第一種為x（千噸，第二種為y（千噸，其電能消耗量 2xy2 4x6y證明當x>0時，arctan x-x32012年10月高等數學（一）試題在區間( )內，下列函數的sin B.xsinC.sinx+cos 1已知極限lim

設函數f(x)二階可導，則極限limf 2x)f(x0f(x0

Vx

f(x02f(x0 f F(x)C, f(sinx)cos

D.2f(x0A.F(sinx)sin B.f(sinx)sinC.F(sin D.f(sin C.連 D.可二、填空題（本大題共10330） ，則復合函數f[f 11極限limln(1+x) x 1某產品產量為q時總成本

q2,則 100時的邊際成本 極限limx1 x1xlnsin曲線 的鉛直漸近線 1已知直線l與x軸平行且與曲線 ex相切，則切點坐標 函數f x2)在區間[-1,2]上的最小值 設函數

2tcostdt, (x) 0函數 y2)的定義域 設函數 ey

，則z

（求極限 x sin已知函數f(x)可導，且f a, f(sinx)，求g(0)1設函數 xx 0),求設函數f(x)在區間I上二階可導，且f 0，判斷曲線 ef(x)在區間I上的凹凸性計算不定積 x 1)dx（ln 求函數 的單調區間與極值x求微分方程 0滿足初始條件x

1x計算二重積分 ysindxdy,其中區域D由直線 x,x0,y1圍成 23過點（1,2）作拋物線 1的切線，設該切線與拋物線及y軸所圍的平面區域為D的面D繞xVx設函數f(x)可導，且f(sin sinx,f 0,證明f 1ln 1cos2 2012年4月高等教育一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)函數y=f(x)的圖形如圖所示，則它的值域為( 1A.C.e

1解：lim x

f f(1設函數f(x)可導，且lim 1，則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為 xxC.-D.-解：f')x

x

f(1)f(1 x

的漸近線的條數為 (x 因為 0，則原曲線有水平漸近線 (x因為 ,則原曲線有豎直漸近線x1(x 1

1

21 1 知識點：-公式二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分2,|x|設函數f ,則f 1,|x|解：f[f(1f33已知lim

e3，則 答案：-Qim

3

33n

e 若級 un的前n項和 n 2n12解： lim lim n 解：d[ef(x) （1，1）y' 由 0解得 因為當x0y"0,當x0y"當x1y"0,當x1y"函數f arctanx在閉區間[-1,1]上的最大值 答案4由fx)

1 1

0解得函數駐點 0,無不可導又f(- -1-，f(0)0，f(1) 所以函數在的最大值是d

2sin2udu 02sind2解

sin2udu2sin 2微分方程x(y 0的階數是2答案 設 {(x,y)| 4}，則二重積 D解 dxdyD設函數f(x, ln(

y，則偏導數

(0, yfy

三、計算題（一（本大題共5小題，每小題5分，共25分 設函數f ecos，求導數f(x)x 答案

x2sin

2xx

f ex2cos1 2xex2cos 1ex2sin x 1 1 2x 求極限limtanxx

x0sinxlimx0sinx

limx0sinx

sec2x

sec2xx0cosx x0cosxlim2sec2xtan

tan2x2

x0cosx x0cos2

x 221 求函數f 的極值 答案：極大值為f 2，極小值為f 3解：由f 4x (x1)(x 0解得函數駐點為 1,Qf 2xf 2"(3)2 1是函數的極大值點，極大值為f 3是函數的極小值點，極小值為f 3當x1時，fx)0,當1x3時，f(x)0,則x1是函數的極大值點，極大值為f1)2當1x3時，fx)0,當x3時，fx)則x3是函數的極小值點，極小值為f3)3計算無窮限反常積分I

3 6x

dx2解：I 3 6x dx x32arctanx 計算二重積分I 2y)dxdy，其中D是由直線x+y=1及兩個坐標軸圍成的區域，如圖所示D56法一:I (3x2D11

法二:I 2D113x2y05

3x2y05 四、計算題（二（本大題共3小題，每小題7分，共21分3sin x確定常數a,b的值，使函數f 在點x=0處可導aln(1x)b 答案解：Qf'(0)3cos xf x又Qf f lim3sinx=0=f(0)=bxp ；24 pQ'

解：

120.5

24 由R(12 10

12p0.52故p=12是R(P)的最大值點，最大值為22計算定積分I0

dx答案4設x=sint，當 0時 0,當 2時 ,x=sint在 上單調， 2I sin2tcost sec2t1dttantt 224 0cos3 五、應用題（本題9分1設曲線 與直線y=4x,x=2及x軸圍成的區域為x 答案 2ln2 1 2

法一 (4x 0)dx2x2 lnx 2ln 12

21

法二：A= )dy+ 2 2

ln 2121V 1 1V2 (4x)0

()1 2六、證明題（本題5分證明：y x y2 Q y2xf'xx2yf'yyzx 2xyf'u 2012年1月2011年10月高等數學（一）試題）A. A.- 曲線y=x3在點（1，1）處的切線斜率為 設函數f ，則f(0) 1A.-B.-） e1 11

11 2已知f(x 1,則f 2 設函數f(x)可導，且y=f(x2)， 1設函y4

x2函數 x x)的單調增加區間 23函數f 12x在[-3,3]上的最大值 32設函數f(x)sinx, 22由曲線 x與直線y=1所圍成的平面圖形的面積等 2定積

(|x|sin 1設二元函數 xy,則 （ 設函數 , xln(117求極限lim x 1求曲線 e2的凹凸區間2xarctan求不定積 dx1z=z(x,ysinz=xyz所確定的隱函數，求,.求微分方程 xycosx的通解計算定積分

02x02x計算二重積分 (1x2)ydxdy,其中D是由圓x2+y2=1與x軸、y軸所圍成的第一象限的區域D設某廠每周生產某產品x噸時的邊際成本為C 8（元/噸，固定成本為100元x；六、證明題（本題5分）證明：方程x-2sinx=0一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分函數f(x) ln|x B.(1,+錯誤!未找到源。)C.[0,+錯誤!未找到引用源。) sinx B.xsinC. sin D.1cos設函數f(x）在點x處可導，則limf x f(x0) 2f(x

1f(x

Vx

1f(x 2f(x 2函數f(x)= 1的極小值點為 A.x=- B. C.x=錯誤!未找到源 D.不存 設函數z=1x2y2，則偏導 x 2x2(1x2y2

B.錯誤!未找到源

(1x2y2

D.錯誤!未找到源已知函數f 2x，則f(x) 數列極限lim2n1 設某產品產量為Q件時的總成本為 Q2（元，則當Q=20件時的邊際成本已知f x，則微分df(ex)函數f xe2x的單調增加區間

(x

微分方程定積分y 0的階數

x|x dx22設函數 yf(x)，其中f(x)可微，且fz

f 1，則該函數在點（1，1）處的全微分dz|(1,1)y設 z（x，y）是由方程 所確定的隱函數，則偏導 x三、計算題（一（本大題共5小題，每小題5分，共25分1求極限lim(1sin2xxx求函數 12x10在閉區間[0，4]上的最大值和最小值 sin求極限 x 求曲線 2xesintdt在點（0，0）處的切線方程0求無窮限反常積分 0e2 e2四、計算題（二（本大題共3小題，每小題7分，共21分求函數f x2(sinlnxcoslnx)的二階倒數f(1)1求曲線y1x2在閉區間（0，+錯誤!未找 計算二重積分 xdxdy，其中D是由直線 2x，y3x與x軸所圍成的區域D五、應用題（本題9分設D是由曲線 lnx，直線 e及x軸圍成的平面區域，如圖所示24 acos acos bsin 設a，b為常數，證 2a2sin2xb2cos2

設函數f(x)=lg2x,則f(x)+f(y)= yA.f(xC.

xcos,

B.f(x-D.設函數f ,則下列結論正確的是 xA.f’(0)=- B.fC.f D.f’(0曲線 1的漸近線的條數是 1 已知f(x)是2x的一個原函數,且

1,則 ln2A. B. ln lnC.2xln2+C(C是任意常數 設二元函數f(x, sinxy,則f' 函數f 的定義域是 函數f(x)=ln(x2-2x+1)的間斷點的個數 設函數y=xsinx2,則 某廠生產某種產品x個單位時的總成本函數為C(x)=100+x+x2,則在x=10時的邊際成本 5曲線 2)3的拐點

4

已 a 64,則 設函數f 2xcost2dt,則f 0設二元函數z=sinxy,則全微分 三、計算題（一）(本大題共5小題，每小題5分，共25試確定常數a的值,使得函數f

(1ax)

2x 0x=0處連續x求曲線y=ex+xcos3x在點(0,1求極限mxsinxx0e2x 求微分方程y x滿足初始條件y|=4的特解1設 exdx, exdx,,試比較I與I的大小1 設函數f(x)=xarcsin2x,求二階導數求曲線y=3-x2與直線y=2x所圍區域的面積計算二重積分 y)dxdy,其中積分區域D是由曲線x2+y2=1與x軸所圍的下半圓D五、應用題(本題9求收益R與P的函數關系求成本C與P的函數關系六、證明題(本題5設函數 ,證明 2 y z 2011年1月高等數學（一）試題函數f(x)= A．[- C．[- D．[-xksin1,x

在x=0處連續，則常數k的取值范圍為 x 曲線 3的水平漸近線為 xy=- B．y=- 1 e定積 dx 1 B．e 若f(x,y)0,f(x,y)0，則點(x0,y0)是函數f(x,y)的 x y 極小值 B．極大值C．最值 D．駐xf

，則 x

的間斷點 6設函數y=sin(2x+2x)，則dy= x1極限 x1xln曲線y=ln(1+x2)的凹區間 22

x2dx xsint2極限lim = x

edx 22設二元函數z=cos(2y-x), x（ 求極限 .x sinx x已知f(x)的一個原函數是ex2, xf'(求微分方程y＇+y=0在初始條件y(0)=1計算二重積分 2dxdy,其中D是由直線y=2-xD拋物線y=x2所圍成的平面（設函數f(x)=(1+x2)arctanx,求f(x)的三階導數1求函f(xxex2的極值五、應用題（本題9分）某工廠生產兩種產品III,銷售單價分別為109元,生產x件產品I與生產y件產品II的總費C=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2 設函數f(u)可導, f(),證明: 0 201010月高等教育5210設函數f 3x的反函數為g(x)，則g(10)=（ (11)A.xB.sinxexxC.limx(x D.limarctan 已知曲線 2x在點M處的切線平行于x軸，則切點M的坐標為（ f F(x)C，則不定積 2xf(2x)dx F(2xCln

2若函數 z(x,y)的全微分 sin xcosydy，則二階偏導 xsinC.cos

sinD.cos設函數f(x)的定義域為[0，4]，則f(x2)的定義域是 2n

，則產量q=120時的邊際成本 8

1

在x=0處的微分

ln x

設函數f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，則方程 0的實根個數 d導數

xt(t dx定積

2|x1dx 0二元函數f(x，y)=x2+y4-1的極小值 設y=y(x)是由方程e-xy=e所確定的隱函數，則導 sin設函數f ，問能否補充定義f(0)使函數在x=0處連續?并說明理由|x求極限limx2x

設函數y=ax3+bx2+cx+2在x=0處取得極值，且其圖形上有拐點(-1，4)，求常數a，b，c的值求微分方程 2)2 y2)的通解1求不定積 dx設函數f(x)=sine-x，求f f f(0)1計算定積分 12

2x1dx計算二重積分 (x2 1)dxdy，其中D是由直線y=x，y=2-x及y軸所圍成的區域D在一天內，某用戶t時刻用電的電流為求電流I(t

1

2 )，其中 24六、證明題(本題5分)設函數f(x)，g(x)在區間[-a，a]上連續，g(x)為偶函數，且f(- 證明

f a

g(x)dx02010年7月高等數學（一）試題若f(x)為奇函數,且對任意實數x恒有f(x+3)-f(x-1)=0,則 - 3極限lim ) 若曲線y=f(x)在x=x0處有切線,則導數 等于 C.不存 4 設函數y=(sinx),則導 若f＇(x)=(x>0),則 x1 若f(x+1)=x2-3x+2,則 無窮級數

124

1的和 21,f(x)=1,則導數f＇(x 1若導數f＇(x0)=10,則極限 h0f f(x0函數f(x)=5 1)2的單調減少區間 函數f(x)=x4-4x+3在區間[0,2]上的最小值 微分方程y〃+x(y＇)3+siny=0的階數 2定積

|x|sin 2dx 導 dx

.,則偏導數z （設y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所確定的隱函數,求微分dy. ex 求極限 x tanx計算無窮限反常積分

x

dx 2 2設函z=arccotx,求二階偏導數x2,xy設f(x)的一個原函數為ex2,求不定積 計算二重積分

e(xxD

dxdy,其中D是由曲線y=x2-1及直線y=0,x=2所圍成的區(1)求該產品的收益函數R(q)；證明方程x3-4x2+1=0在區間(0,12010年1月高等教育

x1的定義域為 2 C.（- D.（-要使無窮 aqn（a為常數，a≠0）收斂，則 n 函數f 2x 1在x=1處的導數為 x D函數y=x2-ln(1+x2)的極小值為 .

1 lnx lnx 1 11設f1limarctanx

0，g(x)=x2+1,則 x.