第講9指數函數與對數函數

（第二課時）第二章函數1題型四：對數函數綜合問題1.設a、b∈R，且a≠2，定義在區間(-b，b)內的函數是奇函數.(1)求b的取值范圍；(2)討論函數f(x)的單調性.2(1)函數在區間(-b，b)內是奇函數等價于對任意x∈(-b，b)都有f(-x)=-f(x)因為f(-x)=-f(x)，即由此可得即a2x2=4x2.3上式對任意x∈(-b，b)都成立相當于a2=4，因為a≠2，所以a=-2.將其代入中，得即上式對任意x∈(-b，b)都成立相當于所以b的取值范圍是4(2)設任意的x1，x2∈(-b，b)，且x1＜x2，由得所以0＜1-2x2＜1-2x1，0＜1+2x1＜1+2x2，從而因此f(x)在(-b，b)內是減函數，具有單調性.5點評：對數函數問題是重點知識，它綜合了對數的運算、函數的有關性質等知識，所以在解題過程中計算量較大且易出錯，而函數的性質的討論和證明又涉及到代數推理方面的問題，故又是難點知識.6函數是奇函數(其中0＜a＜1)，則(1)m=

;(2)若m≠1，則f(x)的值域為

.7(1)因為f(x)是奇函數，所以f(-x)=-f(x)在其定義域內恒成立.即所以1-m2x2=1-x2恒成立

m2=1m=±1.答案:m=±18(2)由(1)知，m=-1，y∈R，所以的值域為R.答案:R9

題型五：指數函數綜合問題2.設a＞0且a≠1，為常數，函數

(1)試確定函數f(x)的奇偶性；(2)若f(x)是增函數，求a的取值范圍.10(1)f(x)的定定義義域域為為R.因為為所以以f(x)為奇奇函函數數.(2)設x1＞x2，則則11因為為f(x)為增增函函數數，，則則f(x1)-f(x2)＞0.則又x1＞x2，所以以a＞1或解得得或或0＜a＜1.故a的取取值值范范圍圍是是0＜a＜112點評評：：討論論函函數數的的奇奇偶偶性性，，一一定定要要按按定定義義域域優優先先的的原原則則，，然然后后在在定定義義域域范范圍圍內內，，再再判判斷斷f(x)與f(-x)是相相等等還還是是相相反反.底數數是是含含參參式式子子的的指指數數函函數數的的單單調調性性問問題題，，要要注注意意運運用用分分類類討討論論思思想想，，根根據據底底數數的的不不同同情情況況時時的的單單調調性性質質得得到到相相應應的的不不等等式式(組)，最最后后綜綜合合各各種種情情況況得得出出所所求求問問題題的的答答案案.13設函函數數(a∈R)是R上的的奇奇函函數數.(1)求a的值值；；(2)求f(x)的反反函函數數；；(3)若k∈R,解不不等等式式14(1)因為為f(x)是R上的的奇奇函函數數，，所以以f(0)=0,得a=1.(2)因為為所以以y+y··2x=2x-1,所以以2x(y-1)=-1-y,所以以即15(3)-1<x<1log2(1+x)-log2(1-x)>log2(1+x)-log2k-1<x<1log2(1-x)<log2k-1<x<10<1-x<k,16(ⅰⅰ)當-1<1-k<1,即0<k<2時，，不等等式式的的解解集集為為{x|1-k<x<1}；(ⅱⅱ)當1-k≤-1,即k≥2時，，不等等式式的的解解集集為為{x|-1<x<1}.17題型型六六：：復復合合型型指指數數函函數數、、對對數數函函數數問問題題3.已知知函函數數f(x)=loga(a-ax)(a＞1且為為常常數數).(1)求f(x)的定義域和值值域;(2)判斷f(x)的單調性；(3)證明：函數y=f(x)的圖象關于直直線y=x對稱.18(1)由a-ax＞0ax＜a，因為a＞1，所以x＜1.所以f(x)的定義域是(-∞，1).因為x＜1，a＞1，所以0＜ax＜aa-ax＜a，所以loga(a-ax)＜logaa=1.所以f(x)的值域為(-∞，1).19(2)設x1＜x則

即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是減函數.20(3)證明：由y=loga(a-ax)a-ax=ayax=a-ay，所以x=loga(a-ay)，所以f-1(x)=loga(a-ax)(x＜1).于是f-1(x)=f(x)，故函數y=f(x)的圖象關于直直線y=x對稱.21點評：復合函數的單單調性既可利利用定義直接接判斷，也可可轉化為簡單單函數來處理理其單調性.若函數的圖象象關于直線y=x對稱，則此函函數的反函數數的解析式與與原函數的解解析式相同.22已知f(x)=lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0).(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)在其定義域內內的單調性；；(3)若f(x)在(1，+∞)內恒為正，試比較a-b與1的大小小.23(1)由ax-bx＞0，所以又又所以x＞0.所以定定義域域為(0，+∞).(2)設x2＞x1＞0，a＞1＞b＞0，所以所以24所以所以f(x2)-f(x1)＞0.所以f(x)在(0，+∞)是增函函數.(3)當x∈(1，+∞)時，f(x)＞f(1)，要使f(x)＞0，須f(1)≥0，所以a-b≥1.251.指數函函數y=ax(a＞0，且a≠1)與對數數函數數y=logax(a＞0，且a≠1)互為反反函數數，要要能從從概念念、圖圖象和和性質質三個個方面面理解解它們們之間間的聯聯系262.要把對對一般般函數數的研研究方方法用用到指指數函函數和和對數數函數數的研研究上上