中學數學課程與教學中的函數及其思想3300字摘要：代數是中學數學課程中的重要內容，而函數又是代數的核心知識，也是學生學習代數的難點。從中學數學教科書中關于函數概念的幾種定義出發，討論了函數的本質和學習函數的要點以及課程設計的原那么。

關鍵詞：中學數學；課程；教學；函數

20世紀以來，世界各國中學數學中關于代數的內容逐漸從以解方程為中心轉到以研究函數為中心。［1］現在，函數概念已經成為中學數學中最為重要的概念之一。因此，在中學數學課程改革中，理解函數思想，把握函數本質，處理好函數的教學是很重要的。針對上述問題，我對史寧中教授進行了訪談，下面是經過整理后的訪談記錄。

一、函數及其思想

《問：函數概念是中學數學中最重要的概念之一，函數定義的形成經歷了較長的演變過程，您可以談談函數定義的開展歷史嗎？

▲史教授：是的，函數定義的形成的確經歷了較長的時間。即使在今天，在我們數學教科書中，函數的定義在初中、高中、大學還是有所不同的，這也從一個側面反映了函數定義的開展歷史。

最初，是德國數學家萊布尼茨〔Leibniz〕在他的一部手稿中，用到了Function一詞。是用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量，示例，切線、法線、次切線等的長度和縱坐標等，那是在17世紀〔1673年〕。［2］

到了18世紀〔1718年〕，貝努利〔Bernoulli〕給出了函數的解析定義：是由變量x和常數組成的式子。

歐拉〔Euler〕首先給出了函數的變量定義〔1755年〕：“如果某變量以如下方式依賴于另一些變量，即當后者變化時，前者本身也發生變化，那么稱前一個變量是后一些變量的函數。〞可以看到，我國初中數學教科書中關于函數的定義就采用了這一說法。

后來，黎曼〔Riemann〕給出了函數的對應定義〔1851年〕：“我們假定Z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的一個值與之對應，那么稱W是Z的函數。〞這可以被看作我國高中數學教科書中關于函數定義的雛形。

到了上個世紀〔1939年〕，布爾巴基學派認為，函數的定義應當強調關系，于是借用了笛卡兒積：假設X、Y是兩個匯合，二者的笛卡兒積是指匯合{〔x,y|x∈X，y∈Y〕}，笛卡兒積中的子集F被稱為x與y之間的一種關系。如果關系F滿足：對于每一個x∈X，都存在唯一的一個Y，使得〔x,y〕∈F，那么稱F是一個函數。在美國中學的一些教科書中就采用了這種定義，［3］我國的一些大學數學教科書也有采用這種定義的。［4］

有時，分別稱上述三種定義為變量說、對應說和關系說。

《問：既然函數的定義可以是多樣的，則函數定義的核心思想是什么呢？

▲史教授：我認為，在整個根底教育階段數學的核心是研究關系，具體來說研究三種關系，即數量關系、圖形關系和隨機關系，我在一篇文章中曾經談到這一點。［5］函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數敘述的數量之間的對應關系。其中有三點是重要的：一是變量的取值是實數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號來表示函數。我想，這些就是函數定義的核心思想。關于符號敘述，無論是借助解析式，還是利用圖像或者列表都是可以的。

《問：函數是中學數學的重要內容，您能否談一下在中學學習函數的重要性？

▲史教授：在中學階段的數學教學要突出函數的內容，這是數學家們長期實踐后得出的結論。克萊因〔F.Klein〕在為中學數學教學起草的?米蘭大綱》〔1905年〕中明確提出：“應將養成函數思想和空間察看能力作為數學教學的根底。〞在他的名著?高觀點下的初等數學》中，他進一步強調用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容。［6］〔19—21〕

剛剛已經談到，要敘述函數必須借助數字以外的符號。利用符號敘述是具有一般性的，因此函數敘述是數字敘述的抽象和深化。同時，利用符號進行運算和推理所得到的結論也是具有一般性的，正因為這一點，使得人們能夠借助函數構建模型，能夠更好地刻畫現實世界中的數量關系，并且通過數量關系的研究來解釋現實世界。這不僅僅體現在自然科學、體現在項目技術上，也逐漸廣泛地體現在人文社會科學上：世界萬物之間的聯系與變化都有可能以各種不同的函數作為它們的數學模型。這些，又促使數學家們深入地研究各種函數的性質、運算以及與空間形式的關聯，使得數學經歷了從常量到變量、從有限到無限、從低維到高維的開展，一批新的數學分支應運而生。因此，無論是從數學的應用還是從數學本身的開展上，函數的重要性怎么說都不過分。

《問：函數、方程、不等式都是中學代數的重要數學內容，您能否談一談它們之間的聯系和區別？

▲史教授：函數、方程、不等式是從不同角度刻畫變量之間的數量關系，它們之間是有關聯的，但又有本質的區別。比方，令f〔x〕=x2-3x-4，這是一個函數。外表上看，f(x)=0與方程x2=3x+4是等價的，但是二者所敘述的意義是不同的：前者表示函數取0值，而后者表示變量之間的等量關系。同樣，f(x)＞0與不等式x2＞3x+4所敘述的意義也是不同的。在解決具體問題時應當注意它們之間的關聯，比方，在求不等式的解的過程中，可以先求出等式的解，借助等式的解畫出函數的圖像，然后通過函數的圖像寫出不等式的解。

二、函數的課程設計

《問：剛剛您已經談到，關于函數的定義我國初中和高中的數學教科書中是有所不同的，您認為這種課程設計是合理的嗎？

▲史教授：我認為，整個根底教育階段的數學教育，應當從課程設計的角度統籌考慮。我們應當分明每個年齡段的學生適于學習什么，怎樣學。說得詳細些，如果把小學分為兩個學段，初中和高中各為一個學段，那么在根底教育階段共有四個學段。第一學段不要過多地學習數學，因為那時的孩子還不能很好地理解數學所敘述的意義；第二階段不要過多地波及邏輯，因為學生還沒有建立起足夠的可以理解邏輯的概念；第三階段不要過多地波及形式化的抽象，因為首先要培養學生基于物理屬性的、基于本原的抽象；到了第四階段，可以逐漸讓學生接觸形式化的抽象概念。

上述想法是否合理是需要驗證的，需要通過數據調查與分析。如果是合理的，則關于函數概念的定義在初中數學教科書中采用變量說，在高中數學教科書采用對應說是有道理的。特別是，在初中階段學生已經掌握了函數知識的主干局部，到高中階段再進一步開展和擴充，也是合乎布魯納所主張的建構主義辦法的。［6］〔50—51〕

《問：函數概念比擬抽象，學生不容易理解，您是否可以談一談在數學教材編寫上如何處理這個問題？

▲史教授：函數概念本身就不好理解，又是學生在數學學習過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學生對其理解有困難是不言而喻的。國外關于函數教學的研究也說明了這一點：函數概念有許多復雜的層次和許多相關的下層概念。這樣，函數的確變成了中學數學中最難教、最難學的概念之一。因此，針對這樣的概念，我們不要冀望一堂課或者幾堂課就能讓學生很好地理解，應當通過各種具體的例子和習題的分析幫忙學生理解函數概念。

至于函數概念的引入，一般來說有兩種處理方法：一種是從一般到特殊，直接給出函數的概念，然后舉例加以表明；另一種是從特殊到一般，先舉一些學生熟悉