隨機(jī)變量及其概率分布第二章

離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布律隨機(jī)變量函數(shù)的分布

在前面的學(xué)習(xí)中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間Ω的子集；針對(duì)等可能概型，主要研究了用排列組合手段計(jì)算事件的概率。本章，將用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機(jī)現(xiàn)象。

隨機(jī)變量及其分布RandomVariableandDistribution隨機(jī)變量基本思想將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗(yàn)的結(jié)果

有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示.例如:在擲骰子試驗(yàn)中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示

例如:擲硬幣試驗(yàn),其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable

有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化例

設(shè)箱中有10個(gè)球，其中有2個(gè)紅球，8個(gè)白球；從中任意抽取2個(gè),觀察抽球結(jié)果。取球結(jié)果為:兩個(gè)白球;兩個(gè)紅球;一紅一白

特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系如果用X表示取得的紅球數(shù)，則X的取值可為0，1，2。此時(shí)，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一白”記為

{X=1},“兩只白球”記為{X=0}試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化隨機(jī)變量的定義

1)一是變異性，它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變,它是一個(gè)變量

2）二是隨機(jī)性，即由于試驗(yàn)中究竟出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，因此該變量究竟取何值在試驗(yàn)之前是不知的。隨機(jī)變量隨機(jī)變量的兩個(gè)特征:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，均有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，稱為樣本空間Ω上的隨機(jī)變量。某個(gè)燈泡的使用壽命X。

某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)Y.在[0，1]區(qū)間上隨機(jī)取點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)X.X的可能取值為[0,+)Y的可能取值為0，1，2，3，...,X的可能取值為[0，1]上的全體實(shí)數(shù)。例隨機(jī)變量的實(shí)例用隨機(jī)變量表示事件

如在擲骰子試驗(yàn)中，用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可表示為：{X=2}{X=4}

{X=6}

“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于４”可表示為：{X<4}或{X3}

E中的事件通常都可以用X的不同取值來表示.隨機(jī)變量的類型

離散型

非離散型隨機(jī)變量的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè)隨即變量的取值有無窮多個(gè)，且不可列其中連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類型

離散隨機(jī)變量的概率分布

稱此式為X的分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)

設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值是

，而取值的概率為即例

設(shè)X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）

=1/2+1/6=2/3分布律確定概率解=P(抽得的兩件全為次品)求分布律舉例

例1設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P{X=1}P{X=2}=P(只有一件為次品)P{X=0}故X的分布律為而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}與{X=2}是互不相容的！

實(shí)際上，這仍是古典概型的計(jì)算題，只是表達(dá)事件的方式變了故

從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時(shí)，已抽取的次數(shù)X的分布律。解記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai,

i=1,2,3,…

是相互獨(dú)立的！且X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)對(duì)應(yīng)著事件

例設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為試確定常數(shù)b.解由分布律的性質(zhì),有例幾種常見的離散型分布0-1分布(二點(diǎn)分布)1－ppP01X

則稱X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布或(0-1)分布,△背景：樣本空間只有兩個(gè)樣本點(diǎn)的情況都可以用兩點(diǎn)分布來描述。如：上拋一枚硬幣。△定義：

若隨機(jī)變量X的分布律為:例設(shè)一個(gè)袋中裝有3個(gè)紅球和7個(gè)白球，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取一球，如果每個(gè)球抽取的機(jī)會(huì)相等，并且用數(shù)“1”代表取得紅球，“0”代表取得白球，則隨機(jī)抽取一球所得的值是一個(gè)離散型隨機(jī)變量其概率分布為即X服從兩點(diǎn)分布。

其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布(也稱Bernoulli分布）,記為X～B(n,p)二項(xiàng)分布Binomialdistribution在n重貝努利試驗(yàn)中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機(jī)變量X的分布律

從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.

有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實(shí)驗(yàn)記X為共抽到的次品數(shù)，則A=“一次實(shí)驗(yàn)中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例

一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后,求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)（見書中例題P35）泊松分布

Poissondistribution若隨機(jī)變量X的分布律為:

其中>0,則稱X服從參數(shù)為的泊松分布X～P()定義服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目

體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù)

可以由觀測(cè)值的平均值求出。

實(shí)際問題中若干R.v.X是服從或近似服從

Poisson分布的

已知某電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從的泊松分布，分別求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率例解泊松定理

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)n較大,p較小，np適中時(shí)，即可用泊松公式近似替換二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則至少成功一次的概率為成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率有百分之一的希望，就要做百分之百的努力隨機(jī)變量的分布函數(shù)

設(shè)X為一隨機(jī)變量,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，(X≤x)是一個(gè)隨機(jī)事件，稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ蓿蓿恢涤驗(yàn)椋郏埃保荨(x)是一個(gè)普通的函數(shù)！DistributionFunction分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)F(x)是單調(diào)不減函數(shù)0≤F(x)≤1,且不可能事件必然事件F(x)處處右連續(xù)分布函數(shù)F(x)的圖形F(x)是單調(diào)不減函數(shù)概率密度函數(shù)

定義

設(shè)X為一隨機(jī)變量，若存在非負(fù)實(shí)函數(shù)f(x),使對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b，有

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)

稱為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù).Probabilitydensityfunctionp.d.f.分布函數(shù)密度函數(shù)在區(qū)間上的積分=

隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率概率密度函數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性規(guī)范性密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系積分關(guān)系導(dǎo)數(shù)關(guān)系連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)P(X=a)=0P(aX<b)=P(a<Xb)=P(aXb)=P(a<X<b)X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)因此，連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定實(shí)數(shù)值a的概率為0解Step1:利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出

a例：已知密度函數(shù)求概率Step2:密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率例：已知分布函數(shù)求密度函數(shù)（2)X

的密度函數(shù)（2）密度函數(shù)為解

解

當(dāng)x1時(shí)012345yxx當(dāng)1<x5時(shí)例：已知密度函數(shù)求分布函數(shù)已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)當(dāng)x>5時(shí)所以0151均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間

（a，b）上服從均勻分布．記為X~U(a,b)UniformDistribution定義分布函數(shù)0abxX“等可能”地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。0abx（）

cd