《兩角和與差的三角函數》教學設計一、教學目標：首先要求學生理解平面上的兩點間距離公式的推導過程，熟練掌握兩點間距離公式并由此推導出兩角和與差的余弦公式，并能夠運用解決具體問題。二、教學重點：掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式，并運用這些公式以及三角函數的積化和差與和差化積等公式化簡三角函數式、求某些角的三角函數值，證明三角恒等式等．教學難點：了解各公式間的內在聯系，熟練地掌握這些公式的正用、逆用以及某些公式變形后的應用．四、課時安排：1課時五、課前訓練1．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）（A）－ （B） （C）－ （D）2．的值是_______．3．已知∈（0，），∈（，π），sin（+）=，cos=－，則sin=_______．4．設a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，則a、b、c的大小關系是（）（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b（C）b＜c＜a （D）b＜a＜c六、典型例題例1設cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+）．解：∵＜＜π，0＜＜，∴＜－＜π，－＜－＜.故由cos（－）=－，得sin（－）=.由sin（－）=，得cos（－）=.∴cos（）=cos［（－）－（－）］=…=.∴cos（+）=2cos2－1=…=－.例2已知、、∈（0，），sin+sin=sin，cos+cos=cos，求－的值．解：由已知，得sin=sin－sin，cos=cos－cos.平方相加得（sin－sin）2+（cos－cos）2=1.∴－2cos（－）=－1.∴cos（－）=.∴－=±.∵sin=sin－sin＞0，∴＞.∴－=.例3試求函數y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，則y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值為3+，最小值為.當x∈［0，］時，則t∈［1，］，此時y的最大值是3+，而最小值是3.已知為第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2+cos2的值．解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sin=，cos=－.此時kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴為第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，sin2+cos2=2sincos+1－2sin2=.評述：由三角函數值判斷的范圍是關鍵.已知、∈（0，），3sin2+2sin2=1①，3sin2－2sin2=0②，求+2的值．解：由①得3sin2=1－2sin2=cos2.由②得sin2=sin2.∴cos（+2）=coscos2－sinsin2=3cossin2－sin·sin2=0.∵、∈（0，），∴+2∈（0，）∴+2=.例6試證：=．解：左邊=====cot，右邊====cot，∴原等式成立.七、課堂小結掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式，并運用這些公式以及三角函數的積化和差與和差化積等公式化簡三角函數式、求某些角的三角函數值，證明三角恒等式等．隨堂練習1．tan15°+cot15°的值是() （A）2（B）2+（C）4 （D）2．要使sinα－cosα=有意義，則應有（）（A）m≤ （B）m≥－1（C）m≤－1或m≥ （D）－1≤m≤3．已知f（x）=，當∈（，）時，f（sin2）－f（－sin2）可化簡為（）（A）2sin （B）－2cos （C）－2sin （D）2cos4．下列四個命題中的假命題是（）（A）存在這樣的、，使得cos（+）=coscos+sinsin（B）不存在無窮多個、，使得cos（+）=coscos+sinsin（C）對于任意的、，cos（+）=coscos－sinsin（D）不存在這樣的、，使得cos（+）≠coscos－sinsin5．函數y=5sinx+cos2x的最大值是_______．6．若tanx=，則=_______．7．（2005年北京西城區抽樣測試）已知sin2=，∈（，）．（1）求cos的值；（2）求滿足sin（－x）－sin（+x）+2cos=－的銳角x．8．已知sin（+2）·sin（－2）=，∈（，），求2sin2+tan－cot－1的值．課前訓練部分答案B2．C3．.－4．B隨堂練習答案1．C2．D3．D4．B5．46．2－37．（1）因為＜＜，所以＜2＜3π.所以cos2=－=－.由cos2=2cos2－1，所以cos=－.（2）因為sin（－x）－sin（+x）+2cos=－，所以2cos（1－sinx）=－.所以sinx=.因為x為銳角，所以x=.8．由sin（