§1.2含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考1.2含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法雙基研習·面對高考不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a_______?|x|>ax>a或x<－a{x∈R|x≠0}_____雙基研習·面對高考1．絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集?基礎梳理R(2)|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)的解法①|ax＋b|>c?___________________；②|ax＋b|<c?－c<ax＋b<c.(3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法①|f(x)|<g(x)?______________________________；②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)，且f(x)、g(x)有意義．ax＋b>c或ax＋b<－c－g(x)<f(x)<g(x)且f(x)、g(x)有意義2．一元二次不等式的解集思考感悟1．|x|及|x－a|表示的幾何意義是什么？提示：|x|表示數軸上的點x到原點的距離，|x－a|表示數軸上的點x到a點的距離．2．不等式|f(x)|>|g(x)|怎樣求解？提示：在f(x)、g(x)都有意義的前提下|f(x)|>|g(x)|?f2(x)>g2(x)．課前熱身1．(教材例4改編)不等式－x2＋2x－3≥0的解集為(

)A．?B．RC．{x|x≥3或x≤－1}D．{x|－3≤x≤1}答案：A答案：B答案：B4．不等式|2x－6|≤4的解集為________．答案：{x|1≤x≤5}5．(原創題)不等式|x2＋2x＋3|>m的解集為R，則m的范圍為________．答案：m<2考點探究·挑戰高考考點一絕對值不等式的解法解絕對值不等等式關鍵是正正確去掉絕對對值符號，轉轉化為一般不不等式求解，，去絕對值常常用的方法是是定義法和平平方法．根據教材1.4中的例1、例2的解答方法，，求解．考點突破解不等式：(1)3<|2x－3|<5；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.【思路分析】對于第(1)題，可從以下下角度考慮：：由于原不等等式等價于|2x－3|>3且|2x－3|<5，因此可先分分別解出兩個個絕對值不等等式的解集，，然后求其交交集．對于第(2)題可利用零點點分段法和絕絕對值的幾何何意義來解決決．例1則原不等式的的解集為(－1,0)∪(3,4)．(2)法一：分別求求|x－1|、|x＋2|的零點，即1，－2.由－2,1把數軸分成三三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.當x<－2時，原不等式式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；當－2≤x≤1時，原不等式式即1－x＋2＋x<5，因為3<5恒成立，所以以－2≤x≤1時原不等式成成立；當x>1時，原不等式式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.綜上，原不等等式的解集為為{x|－3<x<2}．【領悟歸納】這兩個小題的的解法中，法法二用了絕對對值的幾何意意義，比法一一簡單．第(1)題也可直接轉轉化為：3<2x－3<5或－5<2x－3<－3兩個不等式的的并集．總之之把絕對值不不等式轉化為為不含絕對值值不等式．考點二一元二次不等式的解法一元二次不等等式的形式為為ax2＋bx＋c>0(<0)(a≠0)．一元二次不等等式的解題步步驟：(1)將二次項系數數化為正數；；(2)看判別式Δ的符號；(3)求出相應一元元二次方程的的根(若根存在)；(4)根據二次函數數圖象、一元元二次方程的的根與不等式式解集的關系系，結合不等等號定解集．．有時通過因式式分解，直接接求出方程的的根．例2解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a>0)【思路分析】因式分解→求根→比較根的大小小→寫出解集．互動探究若將例2中的條件改為為“a<0”，求解這個不不等式．這類問題主要要是將一元二二次方程的根根，一元二次次不等式的解解集以及二次次函數的圖象象結合起來，，來解決問題題．即一元二二次方程根的的分布轉化為為一元二次不不等式求解，，一元二次不不等式轉化為為二次函數的的值域問題來來求解．考點三一元二次方程與不等式、二次函數的關系若1＜x≤2，不等式ax2－2ax－1＜0恒成立，求實實數a的取值范圍．．【思路分析】不等式的二二次項系數數為待定參參數a，故要先分分a＝0和a≠0兩大類進行行討論，然然后結合數數形結合法法求解．【解】法一一：：從從函函數數圖圖象象與與不不等等式式解解集集入入手手，，不不等等式式在在(1,2]上恒恒成成立立，，即f(x)＝ax2－2ax－1在x∈(1,2]時圖象恒恒在x軸下方．．當a＝0時，不等等式變為為－1＜0恒成立．．當a≠0時，設f(x)＝ax2－2ax－1，對稱軸軸x＝1，結合二二次函數數圖象，，例3(1,2]為f(x)的增區間間，∴f(x)max＝f(2)＝－1＜0成立，∴∴a＞0.當a＜0時，f(x)對稱軸為為x＝1，區間(1,2]為f(x)的減區間間，∴f(x)max＝f(1)＝－a－1≤0，∴a≥－1，∴－1≤a＜0，綜上所所述a≥－1.【思維總結結】關于一元元二次不不等式恒恒成立問問題，可可以利用用數形結結合法，，根據對對稱軸和和區間的的位置關關系，列列出不等等式求解解；也可可轉化為為函數在在某區間間上的最最大值恒恒小于零零或最小小值恒大大于零的的問題，，通過求求最值解解決.方法感悟方法技巧巧1．絕對值值的轉化化方法，，就是依依據絕對對值概念念和等價價不等式式，將其其轉化為為不含絕絕對值的的整式不不等式(或不等式式組)來解．也也可結合合絕對值值的幾何何意義去去絕對值值號，含含兩個以以上絕對對值的不不等式，，欲去掉掉絕對值值符號，，需先找找出零點點，劃分分區間，，利用零零點分段段討論，，從而去去掉絕對對值符號號．如例例1.2．解一元元二次不不等式時時，應當當考慮相相應的一一元二次次方程，，二次函函數的圖圖象根據據二次項項系數的的符號確確定不等等式解集集的形式式，當然然還要考考慮相應應的二次次方程根根的大小小．如例例2.失誤防范范1．在二次次項系數數沒有轉轉化為正正號的情情況下解解不等式式，在寫寫解集時時易出現現把不等等號的方方向寫反反的錯誤誤．如課課前熱身身12．在二次次項系數數含有參參數時，，不要直直觀認為為就是二二次不等等式，易易丟掉對對系數為為0的討論，，如例3.3．分類討討論結束束后，要要把各種種情況進進行綜合合歸納，，如例3.4．對于|f(x)|，其取值值為[0，＋∞)不能認為為(0，＋∞)．如課前前熱身2.考向瞭望·把脈高考絕對值不不等式與與一元二二次不等等式是高高中數學學的基本本內容，，是高考考命題的的重點．．試題的的命制常常以這兩兩類不等等式為載載體，既既考查不不等式的的解法，，又考查查對集合合概念和和運算的的熟練掌掌握程度度.2010年高考考中，，絕大大多數數省份份試題題以選選擇題題、填填空題題形式式出現現，也也有少少數省省份的的高考考題以以解答答題的的某一一步出出現．．考情分析如2010年上海海22題，第第(1)問是解解絕對對值不不等式式，一一元二二次不不等式式出現現在與與導數數結合合，研研究函函數性性質，，如單單調性性、極極值等等，這這類問問題較較多．．預測2012年的高考題題對絕對值值不等式和和一元二次次不等式仍仍堅持如上上述內容的的考查．(本題滿分12分)(2010年大綱全國國卷Ⅱ文)已知函數f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1(1)設a＝2，求f(x)的單調區間間；(2)設f(x)在區間(2,3)中至少有一一個極值點點，求a的取值范圍圍．規范解答例(2)f′(x)＝3(x2－2ax＋1)＝3[(x－a)2＋1－a2]f(x)在(2,3)中至少有一一個極值點點，等價于f′(x)＝0在(2,3)中至少有一一個根.8分若只有一個個根，則f′(2)··f′(3)<0，即(4－4a＋1)(9－6a＋1)<0，<a<.10分若f′(x)＝0有兩根在(2,3)中【名師點評】本題從外觀觀上看，是是利用導數數研究函數數的單調區區間與極值值，求導只只是解題的的入手點，，而中間過過程實質是是解不等式式，問題(1)是解一元二二次不等式式，問題(2)第一種情況況是解關于于a的一元二次次不等式，，第二種情情況是求解解關于a的一元一次次不等式組組，故本題題的中心內內容是轉化化為不等式式求解，本本題難度屬屬于中檔題題，只要解解不等式的的基本過程程掌握好，，本題很容容易成功．．名師預測解析：選D.原不等式式可化為為|x＋1|<|x－1|∴x2＋2x＋1<x2－2x＋1.∴x<0.2．若不等等式