第六章不等式、推理與證明第七節數學歸納法(理)抓基礎明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.怎

么

考1.用數學歸納法證明與正整數有關的不等式以及與數列有關的命題是高考命題的熱點．2.題型為解答題，著重考查數學歸納法的應用及學生的邏輯推理能力，難度中、高檔.

數學歸納法證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟：1．(歸納奠基)證明當n取

時命題成立；2．(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當

時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．第一個值n0(n0∈N*)n＝k＋1答案：

B解析：∵n為偶數故假設n＝k成立后，再證n＝k＋2時等式成立．答案：

D2．用數學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗證n＝1時，左邊計算所得的式子為(

)A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23解析：由n＝1時，左＝1＋2＋22＋23.答案：

D答案：2k答案：3解析：第一步檢驗驗的第一個個值n0應為3.數學歸納法法的應用(1)數學歸納法法是一種只只適用于與與正整數有有關的命題題的證明方法，它它們的表述述嚴格而且且規范，兩兩個步驟缺缺一不可．．第一步是是遞推的基基礎，第二二步是遞推推的依據，，第二步中中，歸納假假設起著“已知條件”的作用，在在n＝k＋1時一定要運運用它，否否則就不是是數學歸納納法．第二二步的關鍵鍵是“一湊假設，，二湊結論論”．(2)在用數學歸歸納法證明明問題的過過程中，要要注意從k到k＋1時命題中的的項與項數數的變化，，防止對項項數估算錯錯誤．[精析考題][例1]求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3··5·…·(2n－1)(n∈N*)．[自主解答]當n＝1時，等式左左邊＝2，右邊＝2，故等式成成立；假設設當n＝k時等式成立立，即(k＋1)(k＋2)·…··(k＋k)＝2k·1·3·5··…·(2k－1)，那么當n＝k＋1時，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5··…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5··…·(2k－1)(2k＋1)，這就是是說當n＝k＋1時等式也也成立．．綜上可知知原等式式對于任任意正整整數n都成立．．[巧練模擬擬]————————(課堂突破破保分題題，分分分必保??！)[沖關錦囊囊]用數學歸歸納法證證明恒等等式應注注意(1)明確初始始值n0的取值并并驗證n＝n0時等式成成立．(2)由n＝k證明n＝k＋1時，弄清清左邊增增加的項項，且明明確變形目標．．(3)掌握恒等等變形常常用的方方法：①①因式分分解；②②添拆項項；③配方法法.若x1，x2，…，xn為正數，，則(1－x1)·(1－x2)·…··(1－xn)>1－(x1＋x2＋…＋xn)(n≥2，n∈N)．(*)①當n＝2時，∵x1>0，x2>0，∴(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2>1－(x1＋x2)．②假設當當n＝k(k≥2)時，不等等式成立立，即若若x1，x2，…，xk為正數，，則(1－x1)(1－x2)…(1－xk)>1－(x1＋x2＋…＋xk)，[沖關錦囊囊]1．用數學學歸納法法證明與與正整數數n有關的不不等式，，一般有有三種具體體形式：：一是直直接給出出不等式式，按要要求進行行證明；；二是比比較兩個個式子的的大小，，先利用用n的幾個特特殊值猜猜想大小小再給出出證明；；三是已已知不等等式成立立，尋求求變量的的取值范范圍．2．在證明明由n＝k到n＝k＋1成立時，，一定要要用歸納納假設n＝k時得到的的中間過過渡式，，由過渡渡式到目目標式的的證明可可以用放放縮法、、基本不不等式、、分析法法等.[精析考題題][例3](2012·北京海淀淀模擬)數列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此此猜想通通項公式式an；(2)用數學歸歸納法證證明(1)中的猜想想．[巧練模擬擬]——————(課堂突破破保分題題，分分分必保！！)[沖關錦囊囊]解“歸納—猜想—證明”題的關鍵鍵環節(1)準確計算算出前若若干具體體項，這這是歸納納、猜想想的基礎礎．(2)通過觀察察、分析析、比較較、聯想想，猜想想出一般般結論．．(3)用數學歸歸納法證證明之．．解題樣板板數數學學歸納法法解答題題的規范范解答[高手點撥撥]1．解答本本題時易易忽略的的步驟(1)構造φ(x)后易忽略φ(x)的單調性的判判斷．尤其是是其定義域為(0，＋∞)易忽視．(2)在推證n＝k＋1時沒有用上歸歸納假設．2．解答本題時時易出現