第8課時棱柱與棱錐1．棱柱、棱錐的定義棱柱棱錐定義有兩個面互相

，其余各面都是

，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

，這些面圍成的幾何體有一個面是

，其余各面是

的三角形，由這些面圍成的幾何體平行四邊形平行多邊形有一個公共頂點底面

多邊形側面其余各面側棱

頂點

高兩個底面間的距離

互相平行的面兩個側面的公共邊側面與底面的公共頂點各側面的公共頂點頂點到底面的距離2.棱柱、棱錐的性質棱柱棱錐側面

側棱平行且相等交于一點平行于底面的截面

縱截面平行四邊形三角形平行四邊形三角形與底面全等的多邊形與底面相似的多邊形3.正棱錐(1)定義底面是

，并且頂點在底面上的射影是底面的

，這樣的棱錐叫做正棱錐．(2)性質①側面是

，與底面所成二面角均

；②側棱均

，側棱與底面所成的角均

；③平行于底面的截面也是

．正多邊形中心全等的等腰三角形相等相等相等正多邊形4．體積與面積(1)柱體體積公式為V＝

，其中

為底面面積，

為高．(2)錐體體積公式為V＝Sh，其中

為底面面積，

為高．(3)棱柱的側面積是各側面

，直棱柱的側面積是底面周長與

；棱錐的側面積是各側面

，正棱錐的側面積是底面周長與

．(4)全面積等于

與

之和，即S全＝S側＋S底．ShShSh平行四邊形面積之和側棱長的積三角形面積之和斜高乘積的一半側面積底面積1．正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為(

)A．75°

B．60°C．45°D．30°答案：

C2．棱柱成為直棱柱的一個必要非充分條件是(

)A．棱柱有一條側棱和底面垂直B．棱柱有一條側棱和底面的兩邊垂直C．棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直D．棱柱有一個側面是矩形且和底面垂直解析：

A是充要條件；C是非必要條件；D是充要條件．∴正確答案是B.答案：

B3．一個三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個側面(

)A．必然都是非直角三角形B．至多只能有一個是直角三角形C．至多只能有兩個是直角三角形D．可能都是直角三角形解析：例如三棱錐P—ABC中，若PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，則四個側面均為直角三角形．答案：

D4．底面半徑為2的圓錐被過高的中點且平行于底面的平面所截，則截面圓的面積為________．解析：由題意知截面圓的半徑為1，所以截面圓的面積為π.答案：

π5．已知正六棱錐的底面邊長為a，側棱長為2a，則它的最大對角面的面積為________．答案：此題型主要研究直棱柱和正棱錐的概念及性質，對于正棱錐要注意它與正多面體的區別與聯系，棱柱的性質較為簡單，棱錐的性質實際上就是側棱、斜高及錐體的高等之間的關系問題．在下下列列命命題題中中，，真真命命題題的的個個數數為為()①正棱棱錐錐的的側側面面與與底底面面所所成成的的二二面面角角均均相相等等；；②正棱棱錐錐的的側側棱棱與與底底面面所所成成的的線線面面角角均均相相等等；；④正棱錐的頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心；⑤側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐．A．1

B．2C．3D．4解析析：：由于于正正棱棱錐錐的的各各側側棱棱長長、、斜斜高高均均相相等等，，故故對對應應的的二二面面角角、、側側棱棱與與底底面面所所成成的的角角也也相相等等，，故故①②②正確確．．根根據據正正棱棱錐錐的的定定義義知知④正確確．．對對于于③，其其中中的的對對角角面面有有多多種種情情況況，，如如五五棱棱錐錐、、六六棱棱錐錐等等，，故故③不正正確確．．⑤中對對等等腰腰三三角角形形的的腰腰是是否否為為側側棱棱未未作作說說明明，，故故不不正正確確．．故故選選C.答案案：：C[變式式訓訓練練]1.下列列命命題題中中，，正正確確的的是是()A．有兩個個側面是是矩形的的棱柱是是直棱柱柱B．側面是是全等矩矩形的棱棱柱是正正棱柱C．側面都都是矩形形的直四四棱柱是是長方體體D．底面為為正多邊邊形，且且有相鄰鄰兩個側側面與底底面垂直直的棱柱柱是正棱棱柱解析：認識棱柱柱一般要要從側棱棱與底面面的垂直直與否和和底面多多邊形的的形狀兩兩方面去去分析，，故A，C都不夠準準確，B中棱柱底底面可以以為菱形形，也不不正確，，故選D.答案：D在棱錐、、棱柱中中進行線線線、線線面、面面面的平平行與垂垂直的證證明，除除了要正正確使用用判定定定理與性性質定理理外，對對幾何體體本身所所具有的的性質也也要正確確把握．．如正棱棱錐、正正棱柱的的特性，，特殊三三角形、、特殊梯梯形的使使用等，，其次還還要注意意各種平平行與垂垂直之間間的相互互轉化，，如將線線線平行行轉化為為線面平平行或面面面平行行來解決決．如圖，四四棱錐S－ABCD的底面ABCD是直角梯梯形，已已知SD垂直底面面ABCD，且∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD.(1)求證：平平面SBC⊥⊥平面SCD.(2)E為側棱SB上的一點點，為為何值時時，AE∥平面SCD？證明明你的的結論論．解析：：(1)∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC.又BC⊥CD，故BC⊥平面SCD.BC平面SBC，故平面面SBC⊥平面SCD.[變式訓訓練]2.如圖，，正三三棱柱柱ABC－A1B1C1的底面面邊長長為2，點E、F分別是是棱CC1、BB1上的點點，點點M是線段段AC上的動動點，，EC＝2FB＝2.(1)當點M在何位位置時時，MB∥平面AEF；(2)當MB∥平面AEF時，判判斷MB與EF的位置置關系系，說說明理理由．．解析：：(1)若MB∥平面AEF，過F，B，M作平面面FBM交AE于N，連結結MN，NF.∵BB1∥平面A1ACC1，∴BF∥MN.又BM∥平面AEF，∴BM∥FN，∴四邊形形BFNM為平行行四邊邊形．．以棱柱柱、棱棱錐為為載體體，求求解角角與距距離問問題時時，應應注意意：解解決空空間角角度問問題，，應特特別注注意垂垂直關關系．．如果果空間間角為為90°°，就不不必轉轉化為為平面面角來來求，，可利利用垂垂直關關系證證明．．求距距離時時借助助輔助助平面面，將將空間間距離離轉化化為平平面距距離來來求．．棱錐體體積具具有自自等性性，即即把三三棱錐錐的任任何一一個頂頂點看看作頂頂點，，相對對的面面作為為底面面，因因此利利用等等積法法可求求點到到平面面的距距離等等．在四棱棱錐E－ABCD中，底底面ABCD是矩形形且AB＝2BC＝2，側面面△ADE是正三三角形形且垂垂直于于底面面ABCD，F是AB的中點點，AD的中點點為O.求：(1)異面直直線AE與CF所成角角；(2)點O到平面面EFC的距離離；(3)二面角角E－FC－D的大小小．解析：：(1)取EB的中點點G，連結結FGFG∥AE，則∠GFC為AE與CF所成角角，[變式訓訓練]3.如圖，，正三三棱柱柱ABC－A1B1C1的各棱棱長都都等于于2，D為AC1的中點點，F為BB1的中點點．(1)求證：：FD⊥AC1；(2)求二面角F－AC1－C的大小；(3)求點C1到平面AFC的距離．解析：方法一：(1)證明：連結結AF，FC1，∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱柱且各棱長長都等于2，又F為BB1的中點，∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F.∴AF＝FC1.在△AFC1中，D為AC1的中點，∴FD⊥AC1.(2)取AC的中點E，連結BE及DE，易得DE與FB平行且相等等，∴四邊形DEBF是平行四邊邊形．∴FD與BE平行．∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱柱，∴△ABC是正三角形形．∴BE⊥AC.∴FD⊥AC.又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1.∴二面角F－AC1－C的大小為90°.方法二：(B)(1)取BC的中點O，建立如圖圖所示的空空間直角坐坐標系．求側面積和和體積問題題要注意以以下兩點：：(1)要熟練地掌掌握棱柱、、棱錐的定定義、性質質以及側面面積和體積積公式．(2)求側面積、、體積時要要抓好以下下三個環節節：①準確、熟練練地記憶、、應用各種種面積、體體積公式；；②求出公式所所需要的量量及對相關關量進行推推理論證；；③進行正確簡簡明的運算算．已知正三棱棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長長為4，側棱長為為3，過BC的截面與底底面成30°的二面角，，計算截面面的面積．．解析：設截面與側側棱AA1所在的直線線交于點D，取BC的中點E，連接AE、DE.∵△ABC是等邊三角角形，∴AE⊥BC.∵A1A⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∴∠DEA為截面與底底面所成二二面角的平平面角，∴∠DEA＝30°.∵等邊△ABC的邊長為4，∴AE＝2.在Rt△DAE中，DA＝AE·tan∠DEA＝2.因AA1＝3，D點在側棱AA1上，截面為為△BCD，如圖．[變式訓練]4.如圖所示，，已知三棱棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均均為2，側棱B1B與底面ABC所成的角為為，，且側面面ABB1A1垂直于底底面ABC.(1)證明：AB⊥CB1；(2)求三棱錐錐B1－ABC的體積．．解析：(1)如圖，在在平面ABB1A1內，過B1作B1D⊥AB于D，連結AB1.∵側面ABB1A1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∴∠B1BA是B1B與底面ABC所成的角角，∴∠B1BA＝60°.∵三棱柱的的各棱長長均是2，∴△ABB1是正三角角形，∴D是AB的中點．．連結CD，在正三三角形ABC中，CD⊥AB，∴AB⊥CB1.(2)∵B1D⊥平面ABC，∴B1D是三棱錐錐B1－ABC的高．1．對空間幾何何體結構的觀觀察，要從整整體上入手，，遵循從整體體到局部，具具體到抽象的的原則，能夠夠區別幾種概概念相近的幾幾何體的特征征性質．2．在面積與體體積的計算中中，應以棱錐錐和不規則幾幾何體的表面面積、體積計計算為主，注注意分割與補補體等思想方方法的靈活運運用．通過近三年高高考試題的統統計分析，有有以下的命題題規律：1．考查熱點：：熱點是以棱棱柱、棱錐為為載體綜合考考查有關線面面位置關系、、角與距離的的計算2．考查形式：：選擇、填空空、解答題均均可能出現．．3．考查角度：：一是直接考查查棱柱、棱錐錐的定義和性性質；二是有關面積積和體積的計計算；三是以棱柱、、棱錐為載體體考查有關線線面位置關系系、角與距離離的計算．4．命題趨勢：：高考仍將以以選擇題、填填空題的形式式考查基本概概念和性質；；以解答題的的形式借棱柱柱、棱錐為載載體對有關線線面位置關系系的判斷和論論證、角與距距離以及面積積和體積的計計算作綜合考考查．(2010·陜西卷)如圖，在四棱棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分別是AD，PC的中點．(1)證明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小．．規范解答：方法一：(1)證明：如圖，，以A為坐標原點，，AB，AD，AP所在直線分別別為x，y，z軸建立空間直直角坐標系.1分方法二：(1)證明：連結PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中．PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形形，又F是PC的中點，∴EF⊥PC，3分(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又又ABCD是矩矩形形，，∴AB⊥BC，7分∴BC⊥平面面BAP，BC⊥PB，又又由由(1)知PC⊥平面面BEF，8分∴直線線PC與BC的夾夾角角即即為為平平面面BEF與平平面面BAP的夾夾角角，，9分在△PBC中，，PB＝BC，∠PBC＝90°°，∴∠∠PCB＝45°°.所以以平平面面BEF與平平面面BAP的夾夾角角為為45°°.12分[閱后后報報告告]本題題在在求求解解時時不不利利用用向向量量法法，，而而采采用用方方法法二二有有一一定定難難度度，，特特別別在在求求二二面面角角時時“找”不到到平平面面角角，，從從而而造造成成考考生生不不能能得得分分．．1．(2010·福建建卷卷)如圖圖，，若若Ω是長長方方體體ABCD－A1B1C1D1被平平面面EFGH截去去幾幾何何體體EFGHB1C1后得得到到的的幾幾何何體體，，其其中中E為線線段段A1B1上異異于于B1的點點，，F為線線段段BB1上異異于于B1的點點，，且且EH∥A1D1，則則下下列列結結論論中中不不正正確確的的是是()A．EH∥FGB．四四