誤差理論與數(shù)據(jù)處理【院系】

光電工程學院目錄第一章誤差和精度的基本概念

1第二章誤差分布

2第三章隨機誤差3第四章系統(tǒng)誤差4第七章測量結果的不確定度評定75第六章誤差傳播與誤差合成6第五章粗大誤差5第八章最小二乘法與組合測量8【院系】

光電工程學院第一章誤差和精度的基本概念本章教學目標與重點難點重點與難點§誤差的定義和表示方法§誤差的分類§精度的含義§測量與測量過程§測量的要素教學目標通過學習，應該掌握：§誤差的定義、分類和誤差的表示方法§精度的一般含義和具體意義§測量及測量的要素第一節(jié)

研究誤差理論的意義研究誤差的重要意義探索和揭示客觀世界的規(guī)律性的方法，有兩種：①理論分析②實驗測量對于實驗測量的方法，常常需要極其精確的實驗測定，以希望得到?jīng)]有誤差的測量結果，因為誤差會在一定的程度上歪曲客觀事物的規(guī)律性。研究誤差的來源及其規(guī)律性，減小和盡可能地消除誤差，以得到精確的實驗結果，對于科學技術的產(chǎn)生及進展是非常重要的。例如：研究誤差的重要意義英國物理學家瑞利（Rayleigh）在測定氮的密度時，發(fā)現(xiàn)大氣中分離的氮的密度為1.2572g/L，而化學方法提取的氮的密度1.2508g/L,兩者相差0.0064g/L。分析結果證明，空氣中分離的氮含有其他成分，由此導致了后來雷塞姆（化學家雷萊）發(fā)現(xiàn)了空氣中的惰性氣體。

發(fā)射人造衛(wèi)星的控制和遙測系統(tǒng)，如果測量不夠準確，最后一級運載火箭的速度若有2/1000的相對誤差，則衛(wèi)星就會偏離預定軌道100km，真可謂“失之毫厘，差之千里”。在日常生活中，也是如此。如使用γ射線治療疾病時，若對劑量測量不準，過少則達不到治病的目的，延誤治療；過多則會對人體造成損害。誤差理論的基本任務研究誤差的來源和特性，對誤差做出科學的分類；研究誤差的評定和估計的合理方法，研究誤差的傳遞、轉(zhuǎn)化和相互作用的規(guī)律性，以及誤差的合成和分配的原則；研究在各種測量方式及測量條件下，降低誤差、提高精度的途徑，以最經(jīng)濟簡便的方法得到最優(yōu)的測量結果。誤差理論的實際應用對測量結果進行判斷和統(tǒng)計處理，如對測量數(shù)據(jù)的合理性、可靠性、相關性及其分布規(guī)律的判斷和估計，通過一系列的計算和處理，得到測量結果的數(shù)學表示及其精度評定；綜合評定某實驗方法或測量儀器的精確性和可靠性；產(chǎn)品設計時，進行誤差的分析和分配，預估產(chǎn)品的精度；確定最有利的實驗條件；根據(jù)被測參數(shù)或被檢儀器的精度，合理選擇測量儀器或檢定儀器的精度；根據(jù)測量精度，合理選擇測量方法、測量方程式及必要的測量次數(shù)。判斷舊產(chǎn)品的精度是否蛻化降低，或技術革新和改進后的效果。誤差理論的發(fā)展歷程經(jīng)典誤差理論的萌芽期（十八世紀）1794年，德國數(shù)學家高斯首次提出了最小二乘法原理，并于1809年在其著作《天體沿圓錐截面圍繞太陽運動的理論》中發(fā)表，被稱為高斯最小二乘法。同一時期法國數(shù)學家勒讓德爾也于1805年在其著作《決定彗星軌道的新方法》中應用最小二乘法處理觀察結果，為測量數(shù)據(jù)處理奠定了理論基礎。經(jīng)典誤差理論的成熟期（二十世紀前后）蘇聯(lián)科學家契比雪夫、克雷洛夫、馬利柯夫等發(fā)表了許多卓有成效的研究成果。其中最著名的是馬利柯夫在1949年出版的《計量學基礎》一書，它全面系統(tǒng)地介紹了誤差理論，成為經(jīng)典誤差理論的科學總結。經(jīng)典誤差理論的特點：①以統(tǒng)計學理論為基礎②以靜態(tài)測量誤差為研究對象

③以服從正態(tài)分布為主的隨機誤差估計和數(shù)據(jù)處理方法為特征④用測量誤差來表征測量結果的質(zhì)量誤差理論的發(fā)展歷程現(xiàn)代誤差理論的形成與發(fā)展期（二十世紀末）1993年，國際標準化組織（ISO）等頒布了《測量不確定度表示指南》，建立了在測量中評定和表達不確定度的一般規(guī)則，適用于不同準確度要求的測量領域。現(xiàn)代誤差理論的特點：①由靜態(tài)測量問題發(fā)展到動態(tài)測量、全過程的測量控制；②由簡單的誤差修正發(fā)展到實時的、在線的復雜誤差修正、補償、自校準；誤差理論的發(fā)展歷程③由簡單常見誤差分布發(fā)展到非正態(tài)非對稱復雜誤差分布；④關注測量不確定度的原理及應用的研究，解決合理評定與表示測量結果的問題；⑤在理論上突破了以統(tǒng)計學理論為基礎的傳統(tǒng)研究方法，在實踐上力求形成統(tǒng)一、實用、可靠的評定準則和方法，在水平上實現(xiàn)了誤差理論與計算機應用技術、近代數(shù)學物理方法、測量和計量實踐，以及與標準化等緊密結合，正朝著現(xiàn)代化、科學化、實用化和高精度的目標推進。誤差理論的發(fā)展歷程第二節(jié)誤差測量誤差：是指測得值與被測量真值之差。測量誤差值＝測得值－真值真誤差：其大小表示每一次測得值對真值的不符合的程度。1）誤差的必然性——真誤差恒不等于零。2）誤差的不確定性——真誤差之間一般是不相等的，或者說，測得值之間是不相等的。3）誤差的未知性——真誤差一般是未知的。誤差的定義真值：是指一個特定的物理量在一定條件下所具有的客觀量值，又稱理論值或定義值。1）理論真值：亦稱絕對真值，一般只存在于純理論之中。如三角形內(nèi)角之和恒為180o，一個整圓周角為360o。2）約定真值：世界各國公認的一些幾何量和物理量的最高基準的量值。如米基準的長度定義為：1米=1650763.73λ，λ為（）氪躍遷在真空中的輻射波長。

3）相對真值：如果標準儀器的誤差比一般儀器的誤差小一個數(shù)量級，則標準儀器的測定值可視為真值，即相對真值。兩者誤差的比值，根據(jù)使用要求可適當放寬到1/3或1/5。誤差的定義為了減小測量誤差，提高測量準確度，就必須了解誤差來源。而誤差來源是多方面的，在測量過程中，幾乎所有因素都將引入測量誤差。由于儀器的設計、制造和裝配校正等方面欠缺所引起的測量誤差。由于測量過程中測量條件的變動所引起的測量誤差。由于測量者造成的誤差，如瞄準誤差，讀數(shù)誤差，以及測量者生理感官與精神狀態(tài)所引起的測量誤差。誤差的來源以固定形式復現(xiàn)標準量值的器具，如標準電阻、標準量塊、標準砝碼等等，他們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標準器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。

測量裝置在制造過程中由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過程中，由于元器件的老化、機械部件磨損和疲勞等因素而使設備所產(chǎn)生的誤差。

測量儀器所帶附件和附屬工具所帶來的誤差。誤差的來源裝置誤差設計測量裝置時，由于采用近似原理所帶來的工作原理誤差組成設備的主要零部件的制造誤差與設備的裝配誤差設備出廠時校準與定度所帶來的誤差讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差數(shù)字式儀器所特有的量化誤差元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差誤差的來源條件誤差環(huán)境溫度、濕度的變化，氣流及振動的影響；對野外作業(yè)的經(jīng)緯儀和測距儀，受到大氣擾動及陽光照射后角度的變化等；對于電子測量，電源電壓和電磁干擾對其測量誤差有影響。激光光波比長測量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會影響到空氣折射率，因而影響激光波長，產(chǎn)生測量誤差。高精度的準直測量中，氣流、振動也有一定的影響誤差的來源1.絕對誤差定義

測得值被測量的真值，常用約定真值代替絕對誤差

特點①絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。單位給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。②絕對誤差不能完全說明測量的準確度。誤差的表示方法

與誤差絕對值相等、符號相反的值，一般用c表示。

在自動測量儀器中，可將修正值編成程序存儲在儀器中，儀器輸出的是經(jīng)過修正的測量結果。修正結果是將測得值加上修正值后的測量結果，這樣可提高測量準確度。

在測量儀器中，修正值常以表格、曲線或公式的形式給出。修正值誤差的表示方法【例1-1】用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V，被測電壓的修正值為－5V，則修正后的測量結果為226+(－5V)=221V。測得值真值絕對誤差2.相對誤差定義被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值來代替

相對誤差特點①相對誤差只有大小和符號，而無量綱，一般用百分數(shù)來表示。②相對誤差常用來衡量測量的相對準確程度。絕對誤差誤差的表示方法3.引用誤差定義該標稱范圍（或量程）上限引用誤差儀器某標稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對誤差引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。誤差的表示方法我國電工儀表、壓力表的準確度等級（accuracyclass）就是按照引用誤差進行分級的。當一個儀表的等級s選定后，用此表測量某一被測量時，所產(chǎn)生的最大絕對誤差為最大相對誤差為絕對誤差的最大值與該儀表的標稱范圍（或量程）上限xm成正比選定儀表后，被測量的值越接近于標稱范圍（或量程）上限，測量的相對誤差越小，測量越準確（公式2）（公式1）電工儀表、壓力表的準確度等級誤差的表示方法儀表準確度等級選擇原則

①不應單純追求測量儀表準確度越高越好，而應根據(jù)被測量的大小，兼顧儀表的級別和標稱范圍（或量程）上限合理進行選擇。②選擇被測量的值應大于均勻刻度測量儀表量程上限的三分之二，即測量的最大相對誤差不超過即測量誤差不會超過測量儀表等級的1.5倍。誤差的表示方法【例1-2】

某被測電壓為100伏左右，現(xiàn)有0.5級、量程為300伏和1.0級、量程為150伏兩塊電壓表，問選用哪一塊合適？

【解】當用0.5級、量程為300伏的電壓表測量時，有

當用1.0級、量程為100伏的電表測量時，有

可見，如果量程選擇適當，用1.0級電壓表進行測量與用0.5級一樣準確。考慮到儀表等級越高，成本越高，故應選擇1.0級電壓表進行測量。

【例1-3】檢定一只2.5級、量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小于2V，問這只電壓表是否合格？該電壓表的引用誤差為由于所以該電壓表合格。【解】【例1-4】某1.0級電流表，滿度值（標稱范圍上限）為100微安，求測量值分別為100，80和20微安時的絕對誤差和相對誤差。根據(jù)題意得最大絕對誤差為他們的相對誤差分別為可見，在同一標稱范圍內(nèi)，測量值越小，其相對誤差越大。【解】誤差的分類按誤差的性質(zhì)分類

隨機誤差系統(tǒng)誤差粗大誤差按表示方法分類

絕對誤差相對誤差隨機誤差

定義：誤差單獨出現(xiàn)，其符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但就誤差的整體來說，服從統(tǒng)計規(guī)律。（測得值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。又稱為偶然誤差。）特征：在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因：實驗條件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。性質(zhì)：隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正。雖然一次測量的隨機誤差沒有規(guī)律，不可預定，也不能用實驗的方法加以消除。但是，經(jīng)過大量的重復測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計規(guī)律的。系統(tǒng)誤差

定義：誤差的大小及符號在測量過程中不變，或按一定的規(guī)律變化。（在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。）特征：在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

例如：用天平計量物體質(zhì)量時，砝碼的質(zhì)量偏差（保持不變）刻線尺的溫度變化引起的示值誤差（按某一確定規(guī)律變化）由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術措施，設法消除或減小；也可以在相同條件下對已知約定真值的標準器具進行多次重復測量的辦法，或者通過多次變化條件下的重復測量的辦法，設法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，對測量結果進行修正。粗大誤差定義：明顯超出在規(guī)定條件下測量誤差的預期范圍，是測量誤差的統(tǒng)計異常值。又稱為疏忽誤差或簡稱粗差。產(chǎn)生原因：由于某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。例如：測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等）測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。三類誤差的關系及其對測得值的影響標準差期望值

均值

某次測得值

奇異值

系統(tǒng)誤差和隨機誤差的定義是科學嚴謹，不能混淆的。但在測量實踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說一個具體誤差究竟屬于哪一類，應根據(jù)所考察的實際問題和具體條件，經(jīng)分析和實驗后確定。

如一塊電表，它的刻度誤差在制造時可能是隨機的，但用此電表來校準一批其它電表時，該電表的刻度誤差就會造成被校準的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準，用它來測量某電源的電壓時必帶來系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負，就使得這些測量誤差具有隨機性。誤差性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化第三節(jié)精度精度的高低用誤差來衡量，并且誤差大，精度低。誤差小，精度高。精度是誤差的反義詞。誤差大就不準確，因此精度的高低就意味著準確的程度，即所謂的準確度，而精確度可以理解為準確度的同義詞。精度的一般含義精度的具體含義

1、正確度：由系統(tǒng)誤差引起的測得值與真值的偏離程度，偏離越小，正確度越高。系統(tǒng)誤差越小，測量結果越正確。2、精密度：由隨機誤差引起的測得值與真值的偏離程度，偏離越小，精密度越高。隨機誤差越小，測量結果越精密。3、準確度：由系統(tǒng)誤差和隨機誤差共同引起的測得值與真值的偏離程度，偏離越小，準確度越高。綜合誤差越小，測量結果越準確。準確度、正確度和精密度三者之間的關系彈著點全部在靶上，但分散。相當于系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，即精密度低，正確度高。彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當于系統(tǒng)誤差大而隨機誤差小，即精密度高，正確度低。彈著點集中靶心。相當于系統(tǒng)誤差與隨機誤差均小，即精密度、正確度都高，從而準確度亦高。精度的其他含義1、測量的重復性：用同一測量方法，同一觀察者，同一測量儀器，在同一實驗室，用很短的時間間隔對同一量作連續(xù)測量時，其測量結果間相一致的接近程度。一般用測量結果的分散性來定量表示。2、測量的復現(xiàn)性：用不同的測量方法，不同的觀察者，不同的測量儀器，在不同的實驗室內(nèi)，用較長的時間間隔對同一量作多次測量時，其測量結果間相一致的接近程度。一般用測量結果的分散性來定量表示。分辨力、精密度和準確度的關系1、要想提高儀器的測量精密度，必須相應地提高儀器的分辨力。若分辨力很低，而測得值的一致性很好，很可能是一種假象。例如，若數(shù)字式測角儀的分辨力為0.5arc，則小于0.5arc的變化量，儀器是無法分辨的。2、分辨力和準確度有時是緊密聯(lián)系的，提高儀器的分辨力能提高測量的準確度，但有時是完全獨立的。例如測量放射性“衰減”試驗中的損耗，可以采用放射性示蹤技術和天平來測定。放射性示蹤技術有很好的分辨力，能檢測到的微量損耗可以小到10-10，但準確度不高。比如當損耗量達到1g，放射性示蹤技術的準確度不高于3×10-2；天平測定時，分辨力為10-4g，而測量準確度為10-4。第四節(jié)

測量的基本問題測量與測量過程測量：以確定量值為目的的一組操作，該操作可以通過手動的或自動的方式來進行。從計量學的角度上講，測量就是利用實驗手段，把待測量與已知的同類量進行直接或間接的比較，將已知量作為計量單位，求得比值的過程。測量范疇舉例能夠做到準確定量的實驗，都屬于測量的范疇。在實驗室對各種機械工件、光學材料以及電子器件等反映他們特定的物理化學屬性的量值進行的精密測量在工廠車間對產(chǎn)品性能的檢驗，在商貿(mào)部門對商品的檢驗在部隊靶場對武器系統(tǒng)的性能進行的試驗和測試在計量部門對測量量具與儀器的檢定、校準、比對，對標準物質(zhì)和標準器具的定值，乃至對整個測量設備的計量確認活動，以及對整個實驗室的認可活動只是為了定性確定某對象的物理或化學屬性的實驗活動，則不宜稱為測量。非測量舉例在化學實驗室用分析濾紙觀察溶液的化學反應，以確定溶液的酸堿性等化學性能，通常稱為定性的化學實驗，而不叫化學測量。與實施該測量有關的一組相互關聯(lián)的資源、活動和影響量統(tǒng)稱為測量過程（measurementprocess）測量過程包括實施測量中用到的測量設備、測量程序和操作者，也包括準備測量所需的資金、技術和其他設施等

實施測量是一種操作的活動

在實施測量的整個活動中，不是被測量但對測量結果有影響的量

測量可以視為一種通過實驗手段來獲得對某客觀事物取得定量信息的過程。

測量的分類測量直接測量間接測量工程測量精密測量電量測量非電量測量等權測量非等權測量靜態(tài)測量動態(tài)測量直接測量

指通過直接測量與被測量有函數(shù)關系的量，通過函數(shù)關系求得被測量值的測量方法。按測量結果的獲取方式分類指被測量與該標準量直接進行比較的測量，指該被測量的測量結果可以直接由測量儀器輸出得到，而不再需要經(jīng)過量值的變換與計算。用游標卡尺測量小尺寸軸工件的直徑時，游標卡尺的讀數(shù)即是被測工件的直徑間接測量用游標卡尺測大尺寸軸工件的直徑，因量程不夠，采用測量弦長與矢高的方法，間接得到工件直徑

指在測量過程中被測量可以認為是固定不變的。因此，不需要考慮時間因素對測量的影響

指被測量在測量期間隨時間（或其他影響量）發(fā)生變化根據(jù)被測量對象在測量過程中所處的狀態(tài)分類靜態(tài)測量在日常測量中，大多接觸的是靜態(tài)測量。對于這種測量，被測量和測量誤差可以當作一種隨機變量來處理動態(tài)測量彈道軌跡的測量、環(huán)境噪聲的測量等。對這類被測量的測量，需要當作一種隨機過程的問題來處理。

指在測量過程中，測量儀器、測量方法、測量條件和操作人員都保持不變。因此，對同一被測量進行的多次測量結果可認為具有相同的信賴程度，應按同等原則對待。

指測量過程中測量儀器、測量方法、測量條件或操作人員某一因素或某幾因素發(fā)生變化，使得測量結果的信賴程度不同。對不等權測量的數(shù)據(jù)應按不等權原則進行處理。

根據(jù)測量條件是否發(fā)生變化分類等權測量不等權測量指電子學中有關量的測量。包括表征電磁能的量，信號特征的量，元件和電路參數(shù)的量，網(wǎng)絡特性的量。

指非電子學中量的測量。根據(jù)被測量的屬性分類電量測量電流、電壓、功率、電場強度、噪聲等如頻率、相位、波形參數(shù)等如電阻、電容、電感、介電常數(shù)等如帶寬、增益、帶內(nèi)波動、帶外衰減等非電量測量溫度、濕度、壓力、氣體濃度、機械力、材料光折射率等非電學參數(shù)的測量

指對測量誤差要求不高的測量。用于這種測量的設備和儀器的靈敏度和準確度比較低，對測量環(huán)境沒有嚴格要求。因此，對測量結果只需給出測量值。

指對測量誤差要求比較高的測量。根據(jù)對測量結果的要求不同分類工程測量精密測量用于這種測量的設備和儀器應具有一定的靈敏度和準確度，其示值誤差的大小一般需經(jīng)計量檢定或校準。在相同條件下對同一個被測量進行多次測量，其測得的數(shù)據(jù)一般不會完全一致。對于這種測量往往需要基于測量誤差的理論和方法，合理地估計其測量結果，包括最佳估計值及其分散性大小。測量要素對象與被測量測量資源測量環(huán)境計量單位測量結果測量設備測量人員測量方法測量要素測量某個圓形工件的直徑測量環(huán)境測量資源測量結果測量單位和量綱測量對象和被測量mm立式測長儀、測量人員、按規(guī)程接觸測量重復測量五次（90.001±0.002）mm恒溫防震的實驗室某個圓形工件及其直徑第五節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算有效數(shù)字含有誤差的任何數(shù)，如果其絕對誤差界是最末尾數(shù)的半個單位，那么從這個近似數(shù)左方起的第一個非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。數(shù)字有效數(shù)字位數(shù)3.1430.002722.7×10-322.70×10-33保留有效數(shù)字位數(shù)的原則對于直接測量來說，是由測量精度來決定的，即代表被測量取值的算術平均值的最末一位有效數(shù)字應與測量精度是同一量級的。例如用測量精度為0.01mm的千分尺測量長度時，若測出長度

，顯然小數(shù)點后第二位數(shù)字已不可靠，而第三位數(shù)字更不可靠，此時只應保留小數(shù)點后第二位數(shù)字，即寫成，為四位有效位數(shù)。由此可知，測量結果應保留的位數(shù)原則是：其最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應是可取的。測量誤差一般取l～2位有效數(shù)字，因此上述用千分尺測量結果可表示為。2.對于間接測量來說，算術平均值的最末一位有效數(shù)字應與不確定度或極限誤差的末位數(shù)對齊。換句話說，測量不確定度的大小決定了有效數(shù)字的位數(shù)。例如，測量某物體的體積，測量不確定度的大小為0.006，而計算所得物體的體積為2.85324，由于測量不確定度發(fā)生在千分之一位上，所以體積的千分之一位及以后的數(shù)位都是存疑位，最終結果應表示為:(2.853±0.006)。測量不確定度的有效位數(shù)與修約原則測量不確定度有效位數(shù)的選擇根據(jù)規(guī)范，測量結果的不確定度的有效位數(shù)可以是1～2位。但是，在保留１位時，有些情況下會產(chǎn)生較大的修約誤差，特別是保留下的這位數(shù)值較小時更是如此。例如，經(jīng)計算某個被測量的測量結果不確定度0.13m，若將其修約成0.1m，因修約引起的誤差為-0.03m，是測量結果不確定度的30%，對評價測量質(zhì)量影響很大。因此本教材規(guī)定，當測量不確定度在修約前第１位非零數(shù)字小于或等于３時，有效位數(shù)應取2位；第１位非零數(shù)字大于或等于4時，有效位數(shù)取1位、2位均可。2．測量不確定度有效位數(shù)的修約：（３舍4進）

在保留測量不確定度的有效位數(shù)時，需要對數(shù)值進行進位或舍位處理。為了避免因舍位而過多地降低測量不確定度的可靠性又便于操作，可以采取３舍4進的處