第1講等差數列、等比數列專題三數列

知考情研考題析考向戰考場高頻考點考情解讀考查方式等差、等比數列的基本運算此知識點是高考命題的重點內容，一般不單獨命題，常與數列的概念，性質，前n項和等相綜合.多為客觀題等差、等比數列的判定與證明等差(比)數列的證明是高考命題的重點和熱點，多在解答題中出現，一般用定義法直接證明.多為解答題等差、等比數列的性質等差、等比數列的性質是高考的必考內容，以小題為主，十分靈活，解題時應主動發現題目中隱含的相關性質，運算簡捷.多為選擇題填空題[做考題查漏補缺](2011·大綱版全國)設等比數列{an}的前n項和為Sn·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·1．(2011·遼寧高考)Sn為等差數列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________.解析：依據已知條件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由等差數列性質得，a3＋a6＝a4＋a5，所以，a4＋a5＝0，又a4＝1，所以a5＝－1.答案：－1[悟方法觸類旁通]在等差或等比數列中，已知五個元素a1，an，n，d(或q)，Sn中的隨意三個，運用方程的思想，便可求出其余兩個，即“知三求二”．本著化多為少的原則，解題時需抓住首項a1和公差d(或公比q)．[做考題查漏補缺]

[解](1)證明：當m＝1時，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.假設數列{an}是等差數列，由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程無實根．故對于隨意的實數λ，數列{an}確定不是等差數列．3．(2011·四川高考)數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝ (

)A．3×44

B．3×44＋1C．43 D．43＋1解析：由an＋1＝3Sn?Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，可知Sn＝4n－1.于是a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.答案：A[悟方法觸類旁通]推斷或證明某數列是等差(比)數列有兩種方法:一、定義法．二、中項法．定義法要緊扣定義，留意n的范圍．若要否定某數列是等差(比)數列，只需舉一組反例即可．對于探究性問題，由前三項成等差(比)確定參數后，要用定義證明．在客觀題中也可通過通項公式，前n項和公式推斷數列是否為等差(比)數列.等差數列等比數列性質(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S－Sm，S－S，…仍成等差數列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)Sm，S－Sm，S－S，…仍成等比數列(Sn≠0)[聯學問串點成面][做考題查漏補缺](2011·大連模擬)等差數列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，則“d>|a1|”是“Sn的最小值為S1，且Sn無最大值”的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]依題意，當d>|a1|時，數列{an}是遞增的數列，無論a1的取值如何，Sn的最小值為S1，且Sn無最大值；反過來，當Sn的最小值為S1，且Sn無最大值時，如當a1＝1，d＝0時，此時Sn的最小值為S1，且Sn無最大值，但不滿足d>|a1|.綜上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值為S1，且Sn無最大值”的充分不必要條件．[答案]

A5．(2011·濟南模擬)已知正數組成的等差數列{an}，前20項和為100，則a7·a14的最大值是 (

)A．25 B．50C．100 D．不存在[答案]

A答案：B解析：由等比數列的性質易得a4a5，a6a7，a8a9三項也成等比數列，由等比中項可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4.又a6a7＝a4a5·q4＝q4>0，故a6a7＝4.答案：2解析：由題意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}單調遞增，得q＞1，∴q＝2.7．(2011·廣東高考)已知{an}是遞增等比數列，a2＝2，a4－a3＝4，則此數列的公比q＝________.[悟方法觸類旁通]等差數列與等比數列有很多類似的性質，抓住這些性質可以簡化運算過程，在學習時要對比記憶，熟知它們的異同點，靈敏應用性質解題．