第三章函數(shù)逼近與計(jì)算與曲線擬合§1函數(shù)逼近的基本概念1.問題的提出通過觀測(cè)、測(cè)量或試驗(yàn)得到某一函數(shù)在的函數(shù)值我們可以用插值的方法對(duì)這一函數(shù)進(jìn)行近似,而插值方法要求所得到的插值多項(xiàng)式經(jīng)過已知的這n＋1個(gè)插值結(jié)點(diǎn);在n比較大的情況下,插值多項(xiàng)式往往是高次多項(xiàng)式,這也就容易出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象（龍格現(xiàn)象）:雖然在插值結(jié)點(diǎn)上沒有誤差,但在插值結(jié)點(diǎn)之外插值誤差變得很大,從“整體”上看,插值逼近效果將變得“很差”。于是,我們采用函數(shù)逼近的方法。1所謂函數(shù)逼近是求一個(gè)簡單的函數(shù)例如是一個(gè)低次多項(xiàng)式,這兒不要求通過已知的這n＋1個(gè)點(diǎn),而是要求在整體上“盡量好”的逼近原函數(shù)。這時(shí),在每個(gè)已知點(diǎn)上就會(huì)有誤差數(shù)據(jù)擬合就是從整體上使誤差盡量的小一些。22.數(shù)學(xué)描述“對(duì)函數(shù)類A中給定的函數(shù)

，要求在另一類較簡單的便于計(jì)算的函數(shù)類B中，求函數(shù)使

與之差在某種度量意義下最小。”函數(shù)類A通常是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，記作C[a,b]；函數(shù)類B通常是代數(shù)多項(xiàng)式，分式有理函數(shù)或三角多項(xiàng)式。還可用一組C[a,b]上線性無關(guān)的函數(shù)集合所張成的子空間3度量標(biāo)準(zhǔn)最常用的有兩種，一種是在這種度量意義下的函數(shù)逼近稱為一致逼近或均勻逼近；另一種度量標(biāo)準(zhǔn)是用這種度量的函數(shù)逼近稱為均方逼近或平方逼近這里符號(hào)是范數(shù)。本章主要研究在兩種度量標(biāo)準(zhǔn)下用代數(shù)多項(xiàng)式及來逼近43.維爾斯特拉斯定理用Pn

(x)一致逼近f(x)，首先要解決存在性問題，即對(duì)[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x),是否存在多項(xiàng)式Pn(x)一致收斂于f(x)？維爾斯特拉斯（Weierstrass）給出了下面定理：定理1設(shè)f(x)∈C[a,b]，則對(duì)任何ε>0總存在一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式P(x)，使在[a,b]上一致成立。伯恩斯坦構(gòu)造性證明(P63)54.連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]區(qū)間[a,b]上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)組成一個(gè)空間，記作C[a,b]。f∈C[a,b]的范數(shù)定義為稱其為∞—范數(shù)，它滿足范數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：III式稱為三角不等式。III)對(duì)任意I)a為任意實(shí)數(shù)II)6伯恩斯坦構(gòu)造性證明：假定函數(shù)的定義區(qū)間是[0,1],可通過線性代換：t=(b?a)x+a把x∈[0,1]映射到t∈[a,b]。對(duì)給定的f(x)∈C[0,1]，構(gòu)造伯恩斯坦多項(xiàng)式,此為n次多項(xiàng)式:在[0,1]上一致成立7空間C[a,b]可與向量空間類比，函數(shù)f∈C[a,b]可看成向量。與向量空間類似，當(dāng)f,g∈C[a,b]時(shí)定義f與g的距離為由III式可得到及8當(dāng)k取所有合乎條件的正整數(shù)時(shí)，對(duì)于有[0,1]中的每一固定的x及任一固定正整數(shù)n，有其中

與分別表示對(duì)滿足如下條件的一切k所取得和：9令M=maxf(x)，則有由10此不等式的右端與x無關(guān),隨著n的無限增大趨于零。這就證明了多項(xiàng)式序列對(duì)于f(x)的一致收斂性。這不但證明了定理1，而且給出了f(x)的一個(gè)逼近多項(xiàng)式它與拉格朗日插值多項(xiàng)式因此11是有界的，因而只要f(x)≤δ對(duì)任意x∈[0,1]成立，則有界，故是穩(wěn)定的至于拉格朗日插值多項(xiàng)式由于無界，因而不能保證高階插值的穩(wěn)定性與收斂性。相比之下，多項(xiàng)式有良好的逼近性質(zhì)，但它收斂太慢，比三次樣條逼近效果差得多，實(shí)際中很少被使用。1213§2正交多項(xiàng)式系

不超過n次的多項(xiàng)式可以看成是冪函數(shù)基底｛1,x,x2,…,xn｝的線性組合.如果選擇基函數(shù)為正交多項(xiàng)式系.可以有更好的性質(zhì).正交多項(xiàng)式系數(shù)值積分中也有重要用途.下面介紹正交多項(xiàng)式系.

正交函數(shù)系

定義

某函數(shù)系｛k(x)｝k=0,…,m.中每一個(gè)函數(shù)

k(x)都在［a,b］上連續(xù)且不恒為零，如果滿足則稱此函數(shù)系｛

k(x)｝為區(qū)間［a,b］上的正交函數(shù)系.更一般地，若有權(quán)函數(shù)ρ(x)≥0，即14則稱此函數(shù)系｛k(x)｝,k=0,…,m,為區(qū)間［a,b］上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)的正交函數(shù)系.例三角函數(shù)系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…是區(qū)間［-π，π］上的正交函數(shù)系，因?yàn)閷?shí)際上，這就是付里葉(Fourier)逼近的基函數(shù).15正交多項(xiàng)式系如果正交函數(shù)系為多項(xiàng)式系｛Pi(x)｝i=0,…,m，則稱之為正交多項(xiàng)式系，即則稱此多項(xiàng)式系為區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)的正交多項(xiàng)式系.只要給定區(qū)間及權(quán)函數(shù)

均可由線性無關(guān)的冪函數(shù)系｛1,x,x2,…,xn…..｝逐個(gè)正交化造出正交多項(xiàng)式系且性質(zhì)見(P70)161.切比雪夫(Чебыщев)多項(xiàng)式當(dāng)權(quán)函數(shù)區(qū)間為[-1,1]時(shí),由冪函數(shù)系｛1,x,x2,…,xn｝正交化所得的正交多項(xiàng)式就是切比雪夫多項(xiàng)式(系)｛Tn(x)｝

可表示為

Tn(x)=cos(n

arccon

x)

x∈[-1,1]

如令x=cosθ,則Tn(x)=cosnθ切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì):(P74)性質(zhì)5遞推關(guān)系T0(x)=1，T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)，n≥1(2.11)性質(zhì)6

正交性Tk(x)它在[-1,1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)=1/(1-x)2正交，即17它的前7個(gè)多項(xiàng)式如下表：T0(x)=1

T1(x)=xT2(x)=2x2-1T3(x)=4x3-3xT4(x)=8x4-8x2+1T5(x)=16x5-20x3+5xT6(x)=32x6-48x4+18x2-1性質(zhì)7

T2k(x)只含x的偶次冪,T2k+1(x)只含x的奇次冪.

即Tn(x)隨n為奇或偶函數(shù).18性質(zhì)８

Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個(gè)零點(diǎn)性質(zhì)

Tn(x)的最高項(xiàng)系數(shù)為2n-1(n1).性質(zhì)

|Tn(x)|1這是因?yàn)門n(x)=cos(narccosx)的緣故.192.勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式系｛Pk(x)｝(P71)性質(zhì):

Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n+1個(gè)不同的極值點(diǎn)使Tn(x)輪流取得最大值1和最小值-1.也稱為Tn(x)的交錯(cuò)點(diǎn)組．當(dāng)權(quán)函數(shù)區(qū)間為[-1,1]時(shí),由冪函數(shù)系｛1,x,x2,…,xn｝正交化所得的正交多項(xiàng)式就是勒讓德多項(xiàng)式(系)記為｛Pk(x)｝證:20在實(shí)際計(jì)算中，往往需要計(jì)算有：１=T0(x)

x=T1(x)x2=(T0(x)+T2(x))/2x3=(

3T1(x)+T3(x))/4x4=(3T0(x)+4T2(x)+T4(x))/8x5=(10T1(x)+5T3(x)+T5(x))/16x6=(10T0(x)+15T2(x)+6T4(x)+T6(x))/3221它也可由如下遞推公式(P71性質(zhì)3)P0(x)=1，P1(x)=x(2.9)Pk+1(x)=[(2k+1)/(k+1)]x

Pk(x)-[k/(k+1)]Pk-1(x)，k≥1它的前7式如下表：P0(x)=1P1(x)=xP2(x)=(3x2-1)/2P3(x)=(5x3-3x)/2P4(x)=(35x4-30x2+3)/8P5(x)=(63x5-70x3+15x)/8P6(x)=(231x6-315x4+105x2-5)/1622性質(zhì)1它在［-1,1］上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)≡1正交，即3.其他常用的正交多項(xiàng)式(P77)拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式系｛Lk(x)｝(2.7)

性質(zhì)2

Pn(-x)=(-1)n

Pn(x)(2.8)性質(zhì)4

Pn(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)有n個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn).性質(zhì)

Pn(x)的的最高冪次xn系數(shù)為故是最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式23正交多項(xiàng)式還有一個(gè)重要性質(zhì)：以上各種正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)全部是單實(shí)根，且都分布在它的正交定義區(qū)間內(nèi).這個(gè)性質(zhì)在數(shù)值積分中有應(yīng)用.它的前7式如下表：H0(x)=1,H1(x)=2x,H2(x)=4x2-2H3(x)=8x3-12xH4(x)=16x4-48x2+12H5(x)=32x5-160x3+120xH6(x)=64x6-480x4+720x2-120第二類切比曉夫多項(xiàng)式(P77)24它也可用如下遞推公式寫出：L0(x)=1，L1(x)=1-xLk+1(x)=(2n+1-x)Lk(x)-n2Lk-1(x)，k≥1(7.18)它在[0，+∞)上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)=e-x正交，即它的前7式如下：L0(x)=1L1(x)=1-xL2(x)=2-4x+x2L3(x)=6-18x+9x2-x3L4(x)=24-96x+72x2-16x3+x4L5(x)=120-600x+600x2-200x3+25x4-x5L6(x)=720-4320x+5400x2-2400x3+450x4-36x5+x625埃爾米特(Hermite)多項(xiàng)式系｛Hk(x)｝它可由如下遞推公式寫出H0(x)=1,H1(x)=2xHk+1(x)=2xHk(x)-2kHk-1(x)，k≥1它在(-∞，+∞)上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)=e-x2正交，即26§3最佳一致逼近多項(xiàng)式常稱之為三維歐幾里德空間,就是一個(gè)線性賦范空間.

基本概念及理論線性賦范空間定義

在線性空間X中,對(duì)每一個(gè)元x引進(jìn)一個(gè)度量‖x‖,稱為x的范數(shù),這時(shí)線性空間X就稱為線性賦范空間,若

yX,則稱‖x-y‖為元素x與y的距離.例

在R3中,任一xR3定義范數(shù)27例在連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]中.定義范數(shù),設(shè)fC[a,b],則C[a,b]成為線性賦范空間.如果設(shè)MC[a,b],M是C[a,b]的一個(gè)子空間,為最小,尋找(x)M,使得則稱(x)為M中對(duì)f(x)的最佳一致逼近函數(shù).2828定義

設(shè)f(x)C[a,b],‖f‖

已定義,Hn為不超過n次的多項(xiàng)式的集合,Hn顯然是C[a,b]的子空間,尋找Pn(x)Hn,使為最小,則稱Pn(x)為Hn中對(duì)f(x)的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式.最佳一致逼近多項(xiàng)式以下定理保證了最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在唯一性.定理4

設(shè)f(x)C[a,b],Hn為不超過n次的多項(xiàng)式的集合,則存在唯一的En稱為f(x)在[a,b]上的最小偏差.證明略.29最佳一致逼近多項(xiàng)式的特征為討論最佳一致逼近多項(xiàng)式的構(gòu)造方法,先討論它的特征.先給出偏差點(diǎn)的概念:對(duì)連續(xù)函數(shù)f(x)和p(x),其差的絕對(duì)值也必連續(xù),故在[a,b]上存在x0,使x0稱為p(x)對(duì)f(x)的偏差點(diǎn).若p(x0)-f(x0)>0,稱x0為正偏差點(diǎn)若p(x0)-f(x0)<0,稱x0為負(fù)偏差點(diǎn)切比曉夫給出了最佳一致逼近多項(xiàng)式的特征定理.30定理5

Pn(x)Hn,Pn(x)為最佳一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2個(gè)交錯(cuò)偏差點(diǎn),即

a

x0<x1<…<xn<xn+1

b使得為1或-1.證明見P79.定理5說明Pn(xi)-f(xi)至少在n+2個(gè)點(diǎn)上交錯(cuò)變號(hào),都達(dá)到最大偏差幅度‖f-Pn

‖

,因此在整個(gè)[a,b]上誤差分布比較均勻.求最佳一致逼近多項(xiàng)式是十分困難的,以下定理可解決在某些簡單情況下的求解.定理

f

(n+1)(x)在(a,b)上存在且保號(hào)（保持恒正或恒負(fù)),則

Hn中對(duì)f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式恰有n+2個(gè)交錯(cuò)偏差點(diǎn),且兩端點(diǎn)a,b都是偏差點(diǎn).證：用反證法,設(shè)偏差點(diǎn)超過n+2個(gè)或至少有一個(gè)端點(diǎn)不是偏差點(diǎn),則(a,b)內(nèi)部的偏差點(diǎn)至少有n+1個(gè).這些偏差點(diǎn)即誤差函數(shù)的極值點(diǎn),即該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零.有R'(xi)=f'(xi)-P'n(xi)=0,i=1,2,…,n+1由羅爾定理R"(x)應(yīng)至少有n個(gè)互異零點(diǎn)在(a,b)內(nèi).R

(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P

(n+1)

n(x)應(yīng)至少有一個(gè)零點(diǎn)i

(a,b).注意到P

(n+1)

n(x)0,得f

(n+1)(i)=0,與假設(shè)的f(n+1)(x)在[a,b]內(nèi)保號(hào)矛盾，得證.因此,在f

(n+1)(x)在(a,b)上存在且保號(hào)，只要在(a,b)內(nèi)再找出n個(gè)交錯(cuò)偏差點(diǎn),特別地,在n=1時(shí),只要在(a,b)內(nèi)找出一個(gè)偏差點(diǎn),問題比較簡單.最佳一次逼近多項(xiàng)式(P82)假設(shè)f(x)二次連續(xù)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)不變號(hào),求最佳一致逼近多項(xiàng)式根據(jù)定理5知至少有3個(gè)點(diǎn)x0,x1,x2,使且x0=a,x2=b例求最佳一致逼近多項(xiàng)式解上恒負(fù),設(shè)交錯(cuò)偏差點(diǎn)為x0,x1,x2,則有x0=1/4,x2=1，還要求一個(gè)x1就行了。可解得:見P82圖3-3由偏差點(diǎn)定義有由(2)解出由(3)解出代入(1)得到在一般情況下,求最佳一致逼近多項(xiàng)式很困難.一是采取逐次逼近的方法,如雷米茲(Remes)方法,二是退而求其次,求近似最佳一致逼近多項(xiàng)式.近似最佳一致逼近多項(xiàng)式對(duì)一般函數(shù),求最佳一致逼近多項(xiàng)式極為困難.常用近似最佳一致逼近多項(xiàng)式替代.為此,先討論切比雪夫多項(xiàng)式的最小零偏差性質(zhì),然后引入兩種近似方法.定理6(最小零偏差定理)在[-1,1]上,首項(xiàng)系數(shù)為1的一切n次多項(xiàng)式Pn(x)中,wn(x)=21-nTn(x)對(duì)0的偏差最小,即:證由性質(zhì)知wn(x)是首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式.若另有一首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式Pn(x)對(duì)零的偏差比wn(x)對(duì)零的偏差小,即:由性質(zhì)知是Tn(x)的交錯(cuò)偏差點(diǎn)組,輪流取(-1)k.得知wn(x)在x*k處輪流取(-1)k21-n,所以因此Pn(x*k)-wn(x*k)在n+1個(gè)點(diǎn)上輪流取正負(fù)號(hào),由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知,Pn(x*k)-wn(x*k)在(-1,1)上至少有n個(gè)不同的零點(diǎn).但由于Pn(x)-wn(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)均為1,故Pn(x)-wn(x)只能是不超過n-1的多項(xiàng)式,不可能有n個(gè)零點(diǎn).引出矛盾，得證。切比雪夫節(jié)點(diǎn)插值即拉格朗日插值余項(xiàng)的極小化設(shè)在[-1,1]上n+1個(gè)點(diǎn)xk,(k=0,1,…,n)上的代數(shù)插值多項(xiàng)式為Pn(x),其截?cái)嗾`差如何選取xk使為最小?由最小零偏差定理,只要選擇xk使為n+1次切比雪夫多項(xiàng)式Tn+1(x)零點(diǎn)就可以了,這里此時(shí)有當(dāng)插值區(qū)間不是[-1,1]而是一般[a,b]時(shí),可作變換后得到為[a,b]上的所求節(jié)點(diǎn).在此基礎(chǔ)上作插值函數(shù)Pn(x)它可作為最佳一致逼近多項(xiàng)式的一種近似.這種求f(x)在[a,b]上的近似最佳一次多項(xiàng)式的方法稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)插值.以上方法將誤差項(xiàng)中的兩個(gè)影響因素中之一控制到最小.對(duì)很多函數(shù),這樣的近似方法是相當(dāng)好的.特別地,當(dāng)f(x)是只比Pn(x)高一次的多項(xiàng)式時(shí),Pn(x)就是最佳一致逼近多項(xiàng)式.

例f(x)=ex,用切比雪夫節(jié)點(diǎn)插值求[-1,1]上的近似最佳一致逼近多項(xiàng)式P1(x)=a1x+a0解取二次切比雪夫多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn):作一次插值多項(xiàng)式此處t是可選擇的常數(shù),選擇t使f(x)與tT3(x)的3次項(xiàng)系數(shù)一樣,以消去x3項(xiàng).解因?yàn)閒(3)(x)=24,切比雪夫節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式就是最佳一致逼近多項(xiàng)式.例f(x)=4x3+2x2+x+1,x[-1,1],

求作次數(shù)不超過2次的多項(xiàng)式P2(x)為f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式.選擇t=1,消去x3項(xiàng).P2(x)=2x2+4x+1是f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式縮減冪級(jí)數(shù)法對(duì)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)就是f(x)的一種近似,但泰勒級(jí)數(shù)的誤差分布極不均勻,在展開點(diǎn)附近誤差很小,但x的值稍偏離展開點(diǎn),誤差迅速增大.而切比雪夫多項(xiàng)式的誤差分布則比較均勻.于是可以設(shè)計(jì)出以下方法:將f(x)作m次泰勒展開,得部分和Pm(x),然后將Pm(x)中的x各次冪全部表為切比雪夫多項(xiàng)式之和,整理后,將Pm(x)縮減為n次多項(xiàng)式(n<m)Pn(x),Pn(x)可作為近似最佳一次逼近多項(xiàng).例15f(x)=ex,x[-1,1],求其一次和四次近似最佳一致逼近多項(xiàng)式.解:將ex作泰勒展開到第7項(xiàng)由表7-11,可得:注意到|Tn(x)|1,T5和T6的系數(shù)又已很小,于是有誤差若ex直接展開到第4次得到的泰勒級(jí)數(shù),誤差約為0.0227,比|R|大得多.同是四次近似多項(xiàng)式,可知P4(x)的誤差相當(dāng)小,也可作為近似最佳一致逼近多項(xiàng)式.若在(7.21)中只取前二項(xiàng),得可作為近似最佳一致逼近的一次多項(xiàng)式.最佳一致逼近考慮的是整個(gè)區(qū)間上絕對(duì)誤差的最大值,計(jì)算時(shí)非常困難.另一方面,對(duì)于那些僅有個(gè)別小區(qū)段上有較大誤差的函數(shù),反而不能很好地反映其真實(shí)情況.本節(jié)介紹最佳平方逼近,引入另一個(gè)近似標(biāo)準(zhǔn).§4最佳平方逼近內(nèi)積和內(nèi)積空間對(duì)C[a,b]空間引進(jìn)內(nèi)積:若f,gC[a,b],則為f與g的內(nèi)積.這樣C[a,b]就成為一種線性賦范空間,通常稱為內(nèi)積空間.內(nèi)積可用來定義2-范數(shù):內(nèi)積空間中,若兩個(gè)元素內(nèi)積為零,則稱此二元素正交,如f,gC[a,b],有則稱函數(shù)f和g

正交.若C[a,b]中已定義內(nèi)積,則最佳平方逼近可描述為:fC[a,b],則S*(x)稱?中對(duì)f(x)的最佳平方逼近函數(shù).為C[a,b],的子空間,選擇S*(x)?,使最佳平方逼近定理

C[a,b]是內(nèi)積空間,?是其有限維子空間,fC[a,b],?中S*(x)是f(x)的最佳平方逼近函數(shù)的充要條件是f-S*與?中任一元正交.(證明)根據(jù)以上特征定理,不難得出最佳平方逼近函數(shù)的求法.設(shè)?的基底為{

k}k=0,1,…,n,則對(duì)任意S(x)?,有由上述定理,誤差函數(shù)應(yīng)與?中任意元正交,即與基底k,k=0,1,…,n中任一元正交:或改寫為這是一個(gè)關(guān)于aj(j=0,1,…,n)的n+1階線性方程組,稱為正規(guī)方程組(或法方程組),簡記為定理(4.3)的解存在且唯一.故由矩陣形式:求解出a0,a1,…,an即可得到最佳平方逼近函數(shù):證任給n+1維非零向量x=(x0,x1,…,xn)

T因?yàn)?/p>

i是?的基底,故

i線性無關(guān),它的線性組合在x

i不全為0時(shí)不恒為0.所以xTAx>0.這表明A是對(duì)稱正定矩陣,故A非奇異.(4.3)的解存在且唯一。例10設(shè)f(x)=ex,x[0,1],求最佳二次平方逼近多項(xiàng)式

P2(x)=c0+c1x+c2x2解這里?=span{1,x,x2}則有解c0=1.013,c1=0.851,c2=0.839所以P2(x)=1.013+0.851x+0.839x2注意系數(shù)陣是以自然數(shù)的倒數(shù)順序排成的對(duì)稱矩陣,稱為希爾伯特矩陣(P85).當(dāng)n稍高時(shí),它是典型的病態(tài)矩陣,求解時(shí)舍入誤差很大,可能導(dǎo)致計(jì)算失敗,所以以上方法不適用于較高次數(shù)的多項(xiàng)式逼近.正交多項(xiàng)式在逼近和擬合中的應(yīng)用正交多項(xiàng)式系在最佳平方逼近中可使問題大大簡化，由(4.3)式當(dāng)選擇?的基函數(shù)為正交多項(xiàng)式系時(shí),所以以上系數(shù)陣就成了對(duì)角陣，即因?yàn)楦居貌恢夥匠探M，只要計(jì)算上式就行了.為此fC[a,b],在?中的最佳平方逼近函數(shù)為誤差為:定理9在所有最高項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中,勒讓德多項(xiàng)式在[-1,1]上與零的平方誤差為最小.(P89)例12設(shè)求它在［-1,1］上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解:取勒讓德多項(xiàng)式系中為基函數(shù)證(充分性)設(shè)S是?中任意元,則S

*-S也是?中元素,有所以S

*是最佳平方逼近函數(shù).(必要性)反證法設(shè)?中S*是f的最佳平方逼近函數(shù),但存在S

?使記(S,S)=,易證

>0(因?yàn)槿?/p>

=0,則S=0,則

=0).所以S*不是f的最佳平方逼近函數(shù),引出矛盾.繼續(xù)討論用簡單函數(shù)近似代替較復(fù)雜函數(shù)的問題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標(biāo)準(zhǔn)是在插值點(diǎn)處誤差為零.但在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)不要求具體某些點(diǎn)誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制,這就引出了擬合和逼近的概念.§5曲線擬合的最小二乘對(duì)離散型函數(shù)(即數(shù)表形式的函數(shù))考慮數(shù)據(jù)較多的情況.若將每個(gè)點(diǎn)都當(dāng)作插值節(jié)點(diǎn),則插值函數(shù)是一個(gè)次數(shù)很高的多項(xiàng)式,比較復(fù)雜.而且由于龍格振蕩現(xiàn)象,這個(gè)高次的插值多項(xiàng)式可能并不接近原函數(shù).同時(shí)由于數(shù)表中的點(diǎn)一般是由觀察測(cè)量所得,往往帶有隨機(jī)誤差,要求近似函數(shù)過所有的點(diǎn)既不現(xiàn)實(shí)也不必要.

如果不是要求近似函數(shù)過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是要求它反映原函數(shù)整體的變化趨勢(shì),可得到更簡單更適用的近似函數(shù),這樣的方法稱為數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合最常用的近似標(biāo)準(zhǔn)是最小二乘法則：設(shè)f(x)為原函數(shù),S(x)為近似函數(shù),(xi

,f(xi))(i=0,1,…,m)為數(shù)據(jù)點(diǎn),要求選擇S(x)使為最小.這里即找:S*當(dāng)S(x)選擇為多項(xiàng)式時(shí),稱為多項(xiàng)式擬合.最小二乘擬合,特別是多項(xiàng)式擬合,是最流行的數(shù)據(jù)處理方法之一.它常用于把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(離散的數(shù)據(jù))歸納總結(jié)為經(jīng)驗(yàn)公式(連續(xù)的函數(shù)),以利于進(jìn)一步的推演分析或應(yīng)用.如果記:類似于平方逼近得法方程(P92):超定方程組的最小二乘解設(shè)Ax=b中A=(aij)m×n,b是m維已知向量,x是n維解向量.當(dāng)m>n時(shí),即方程組中方程的個(gè)數(shù)多于未知量個(gè)數(shù)時(shí),稱此方程組為超定方程組或矛盾方程組.一般說,超定方程組無解.但有時(shí)需要尋找一個(gè)“最近似”的解.記r=b-Ax,定義使‖r‖2為最小的解x*為Ax=b的最小二乘解.關(guān)于超定方程組的最小二乘解有如下定理定理

x*為Ax=b的最小二乘解的充要條件為ATAx*=ATb.以上定理說明求解超定方程組Ax=b的最小二乘解可轉(zhuǎn)化為求解它對(duì)應(yīng)的正規(guī)方程組ATAx*=ATb.ATA是對(duì)稱正定的系數(shù)陣,此方程組可用平方根法或SOR方法求解.證明多項(xiàng)式擬合最小二乘如k(x)=xk仍假設(shè)有已知數(shù)據(jù)組(xi,yi)(i=0,1,2,…,m).現(xiàn)求作一個(gè)不超過n(n<m)次多項(xiàng)式使得記ri=yi-Sn(xi)(i=0,1,2,…,m),r=(r0,r1,…,rm)T,不難看出以上多項(xiàng)式最小二乘擬合問題就是求解關(guān)于ak(k=0,1,…,n)的超定方程組.把a(bǔ)k當(dāng)作變量,上述方程組的矩陣記法為是一個(gè)超定方程組.由定理可得對(duì)應(yīng)的正規(guī)方程組以上的∑記號(hào)均為從0到m求和,記;則上式可改寫為通過解該正規(guī)方程組便可解出ak

,從而確定出擬合多項(xiàng)式Sn(x).多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為：(1)根據(jù)具體問題,確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n；(2)計(jì)算(3)寫出正規(guī)方程組(4)解正規(guī)方程組,求出a0,a1,…,an；(5)寫出擬合多項(xiàng)式Sn(x)

解首先作平面散點(diǎn)圖如下：

從圖中觀察,這5個(gè)點(diǎn)大致在一條拋物線的附近,可考慮用二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。yx12345123456789100

然后計(jì)算正則方程組(m=4)設(shè)正規(guī)方程組的解為：則以此解為系數(shù)的多項(xiàng)式就是最小二乘擬合多項(xiàng)式。

例設(shè)5組數(shù)據(jù)如下表,用一多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行擬合。的系數(shù)如下表：用高斯-若當(dāng)無回代消去法解此方程組,得a0=13.454,a1=-3.657,a2=0.272。正則方程組為

最小二乘擬合多項(xiàng)式為：非線性曲線轉(zhuǎn)化為線性:有些非線性曲線可以轉(zhuǎn)化為線性,從而用線性擬合進(jìn)行處理,比如：例3:已知數(shù)據(jù)為x12345678y15.320.527.436.649.165.687.811