第三章靜磁場StaticMagneticField§3.1矢勢及其微分方程一、矢勢穩恒電流磁場的基本方程比較靜電場：有源、無旋——引入標勢φ

磁場：無源、有旋——引入一個矢量矢勢A的物理意義：矢勢A沿任一閉合回路的環量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。注意：只有A的環量才有物理意義，而在每點上的A(x)值沒有直接的物理意義。矢勢A可確定磁場B，但由B并不能唯一地確定A，這是因為對任意函數即A+▽ψ

和A對應于同一個B，A的這種任意性是由于A的環量才有物理意義的決定的，A可以加任意的法向分量。電勢也有：可加任意常數，對應相同電場.二、矢勢微分方程在均勻線性介質內有B=μH，代入到▽×H=j中，即——庫侖規范由于A的法向分量不會影響B的值，故取：取什么樣的規范，主要取決于數學處理的方便.可見，矢勢A和標勢φ在靜場時滿足同一形式的方程.可得到矢勢的特解：寫成直角分量：Pisson'sequation.對比靜電勢方程對比靜電勢的解：替換作變換——畢奧.薩伐爾定律▽只對場點微分用到3、矢勢邊值關系——場量在邊界小面積為零因此，A在切向連續，即：②若取庫侖規范①A在法向連續，即：磁場的總能量為4、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢A和電流j表示總能量，即化為∞積分＝0不能看作為能量密度分布于，矢勢分布于，矢勢磁場總能量為考慮兩個獨立電流系之間的相互作用能外電流系:電流系:電流系各自的自能相互作用能為兩式相等電流在外場中的相互作用能量【例1】無窮長直導線載電流I，求空間的矢勢A和磁場B。【解】比較靜電場的勢R0為參考點根據A方向與j方向一致.作替換：因此：常矢量結果與安培定理求解一致。【例2】求長螺線管的矢勢和磁感應強度。面電流密度：αx在管外的矢勢應該與面電荷密度的靜電場相似.問題：如何求靜電勢？想像沿z軸放置分別帶正負電的無限長導線，在y軸上錯開一小段距離.面電荷密度k值的計算由于長直導線：故，長直導線對的電勢：點電荷勢電偶極子勢因此同理顯然管內：【例3】電流為I的小回路在遠處的矢勢和磁感應強度。在z軸沒有電流，故Az=0Ax應該和下圖的電荷產生的靜電勢類似.同理S為小回路面積令：磁感應強度完全不同的定律，卻能得到同樣的場，可能是由于在遠處，散度和旋度都為零的緣故.但是源卻根本不同.——與E相似，p沿z方向注意：的方向為z方向.§3.2磁標勢本節所研究的問題是避開矢量A求磁感應強度B。類比于靜電場，引入磁標勢。然后討論所滿足的微分方程，繼而討論靜磁問題的唯一性定理。1、磁標勢引入的條件（1）所考慮的空間區域沒有傳導電流（2）空間應為單連通區域2、磁標勢的方程因為，代入上式，則得在能引入磁標勢的區域內，磁場滿足：在磁介質中，的關系是（不論是鐵磁質還是非鐵磁質）：與電介質中極化電荷密度類比，可以假想磁荷密度為得到與電介質中的靜電場方程類似的形式將代入出現的原因：與對應邊值關系界面上沒有傳導電流時界面上有傳導電流時對于非鐵磁質對于任意介質為束縛磁荷面密度對比

靜電場靜磁場如果可均勻分區的區域V中沒有傳導電流分布，只要在邊界S上給出下列條件之一，則V內磁場唯一地確定：3、靜磁問題的唯一性定理當所考慮的區域是單連通的，其中沒有傳導電流分布時，可引入磁標勢.磁標勢之值磁場強度的法向分量

磁場強度的切向分量[例1]

證明μ→∞的磁性物質表面為等磁勢面。兩式相除，得解：由磁場邊界條件：以及在該磁性物質外面，H2與表面垂直（切向分量與法向分量之比→0)，因而表面為等磁勢面。得到[例2]求磁化矢量為的均勻磁化鐵球產生的磁場。解：球外：球內：均勻磁化磁荷只分布在鐵球表面上球內、外磁勢都滿足Laplace’sequation由于軸對稱性，極軸沿方向，上式解的形式為：邊條件：鐵球表面邊界條件：球外為真空，則由邊值條件得：當時，當n=1時，比較的系數：得到鐵球內、外的磁場強度為其中：。由此可見鐵球外的磁場相當于一個磁偶極子所激發的場。把取在方向上，即有討論

B

線總是閉合的，H線且不然，H線是從右半球面上的正磁荷發出，終止于左半球面的負磁荷上。線是閉合的線由正磁荷發出到負磁荷止在鐵球內，B與H反向。說明磁鐵內部的B與H

是有很大差異的。B代表磁鐵內的總宏觀磁場，而H僅為一輔助場量.

§3.3磁多極矩Magneticmultipolemoment

主要內容：研究空間局部范圍內的電流分布所激發的磁場在遠處的展開式，與電多極矩（electricmultipolemoment)對應。引入磁多極矩概念，并討論這種電流分布在外磁場中的能量問題。1、矢勢的多極展開給定電流分布在空間中激發的磁場矢勢為把矢勢作多極展開，即把在區域內的某一點展開成的冪級數。如果電流分布集中在一個小區域V中，而場點又距離該區域比較遠.若展開點取在坐標的原點，則第一項：沒有與自由電荷對應的自由磁荷存在第二項先就一個閉合線圈情形計算。若線圈電流為I，有在被積式中，R/R3為固定矢量，與積分變量無關。x′為線圈上各點的坐標，因此利用全微分繞閉合回路的線積分等于零A(1)可寫為電流線圈的磁矩因為得磁矩對于一個小線圈，設它所圍的面元為△S，有特例：圓面積S=R2因此表示把整個電流系的磁矩集中在原點時，一個磁矩對場點所激發的矢勢，作為一級近似結果。展開式的第三項：是更高級的磁矩激發的矢量勢。因為比較復雜，一般不去討論。綜上所述：小區域電流分布所激發的磁場，其矢勢可看作一系列在原點的磁多極子對場點激發的矢勢的迭加。2、磁偶極矩的場和磁標勢根據因為討論的是區域V外的場，在處，有由此可見在電流分布以外的空間中3、小區域內電流分布在外磁場中的能量設外場的矢勢為，電流分布在外磁場中的能量為：對于環形小電流，則有當電流環線度很小，變化不大時，取原點在線圈所在區域適當位置上，把在原點附近展開：和電偶極子在外電場中的能量－pE對比，相差一個負號。這是否意味著磁偶極子受外磁場作用時將會傾向于與外磁場反向呢?設外場由另一帶有電流Ie的線圈Le產生。把相互作用能寫為Φ為線圈L上的電流產生的磁場對線圈Le的通量線圈運動時，若保持電流I和

Ie不變，則磁能的改變為由于磁通量改變，在線圈上產生感應電動勢，它對電流作功，就會改變I和Ie的值。為了保持I和Ie不變，必須由電源提供能量，以抵抗感應電動勢所作的功。在線圈L和Le上的感應電動勢分別為在時間δt內感應電動勢所作的功為電源為抵抗此感應電動勢必須提供能量在這樣的條件下才能保持I和Ie

不變。因此總磁場能量的改變等于相互作用磁能的改變δW

。現在體系包括有相互作用的三個方面：外電源，電磁場，以及兩個線圈上的電流。必須把這三個方面包括在內，才能應用能量守恒定律。設線圈移動時場對它作功δA。能量守恒要求：電源提供的能量δWs應等于總磁能的改變δW加上對線圈所作的功δA:總磁能改變對線圈做功電源提供的能量即對線圈所作的功等于磁能的增量而不是其減小量如果定義力學中的勢函數U使作功等于勢函數的減小，應有磁偶極子在外場Be中的勢函數為這式子和電偶極子在外場中的能量－pE完全對應.磁偶極子在外磁場中所受的力由于產生外場的電流一般都不出現在磁矩m所在的區域內磁偶極子所受的力矩計及力矩的方向，得電偶極子磁偶極子比較受力所受力矩4、磁矩在外磁場中受力和力矩體積V內的電流受外磁場的作用力為展開第一項：外磁場對磁單極的作用力第二項：因此考慮一個小區域內的電流在外磁場中受到的力矩為：第一項§4Aharonov－Bohm效應

經典電磁理論中，E和B能完全描述電場和磁場，φ

和A是輔助物理量，φ和A不具有獨立物理意義。一般地，矢勢可相差一縱矢量場。即便是在（人為外加）規范條件下，矢勢也可相差一常矢量；另外，電勢也可相差一常數，這表明矢勢和標勢不具有可觀測的物理效應。Yakir

Aharonov

1932年出生于以色列。以色列量子物理學家、加州Chapman大學講座教授、以色列TelAviv大學教授、以色列Iyar高等研究院院長。他的主要研究興趣為量子力學和量子場論中的非局域性和拓撲效應，量子力學的解釋。1959年他和他的導師合作提出這對量子力學的解釋是一個概念性的突破，使量子力學的公式的正確性和完整性得到補強。并且獲得實驗的證實以及推動了理論的進一步深入。DavidJosephBohm

1917年12月20日出生于美國的英國量子物理學家，1992年10月27日不幸去世。在理論物理、哲學和JohnBell的不等式的發明。許多諾貝爾獎獲得者都認為有史以來最好的量子物理學家之一，應該獲得諾貝爾獎，但是可能由于政治上的原因沒有被授予。一、電子束干涉實驗經典電磁理論的困惑實驗裝置：電子雙縫干涉實驗，在雙縫后放一細長螺線管。實驗現象：螺線管通電后，干涉條紋發生移動。現象分析：螺線管細長而密集，管外B=0，干涉條紋移動不可能由B導致。干涉條紋的移動說明電子狀態發生了改變。螺線管外，盡管B=0，但是管外矢勢不為零。實驗表明，矢勢具有不同于B的物理觀測意義。或者說，B不能完全描述磁場，矢勢具有獨立于B

的可觀測效應。這種效應稱為A-B

效應。它是Aharonov和Bohm在1959年提出的。實驗的困難：電子的波長很小，雙縫寬度很小，要求螺線管很小。鐵晶體生長成細絲（晶須），被磁化時，表現像螺線管.二、A-B效應的量子理論解釋經典力學量子力學力能量(ν)和動量(λ)軌道概率幅軌道的變化量相位的變化量根據量子力學：正則動量自由電子狀態用平面波描述，磁場引起相位的改變雙縫干涉實驗（干涉條紋取決于相位差）相位差相位為：相位差：磁場引起相位的變化量根據因此雖然通過計算A的環流或B的通量都可以得到相位的改變量，但是，在粒子通過的區域只有A不等于零.干涉條紋中心：相位差考慮雙縫后面加上一小