《函數的概念及其表示習題課》教學設計教學目標1．復習函數的概念以及構成函數的要素，能求簡單函數的定義域；在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數；能用分段函數正確表示一些相關的函數問題，構建函數性質的概念及其表示的知識結構．2．能應用函數與方程、化歸與轉化、數形結合、分類與整合的思想進行抽象概括、運算求解，提升數學抽象、直觀想象和數學運算素養．教學重難點教學重點：理解函數的概念，結合實際問題選擇恰當的方法表示函數，掌握分段函數的表示及其圖象．教學難點：在具體的問題中，如何抓住條件，解決問題．課前準備用軟件制作動畫；PPT課件．教學過程一、復習導入問題1：請同學們瀏覽第節（課本P60～P71）的內容，你能梳理一下本小節的學習過程嗎？師生活動：學生先獨立閱讀思考，老師根據學生的回答補充．預設的答案：答案如圖1．圖圖1設計意圖：引導學生梳理學習內容，構建函數的概念及其表示的知識結構．引語：函數是貫穿高中數學課程的主線，這節課我們一起來夯實與之相關的基本概念．（板書：函數的概念及其表示習題課）二、新知探究1．函數的概念及其構成要素例1（習題P72第1題）求下列函數的定義域：（1）f(x)＝eq\f(3x,x－4)；（2）f(x)＝eq\r(x2)；（3）f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)；（4）f(x)＝eq\f(\r(4－x),x－1)．師生活動：老師先引導學生回憶求定義域的一般步驟，然后學生獨立完成，老師點評．追問：求解函數定義域的一般步驟是什么？（第一步：根據解析式有意義轉化成不等式；第二步：解不等式或不等式組求得原來函數的定義域．）預設的答案：（1）要使該函數有意義，則需x－4≠0．解得：x≠4．所以函數f(x)的定義域為(－∞，4)∪(4，＋∞)．（2）要使該函數有意義，則需x2≥0．解得：x∈R．所以函數f(x)的定義域為R．（3）要使該函數有意義，則需x2－3x＋2≠0．解得：x≠1且x≠2．所以函數f(x)的定義域為{x|x≠1且x≠2}．（4）要使該函數有意義，則需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x≥0,x－1≠0))．解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤4,x≠1))．所以函數f(x)的定義域為(－∞，1)∪(1，4]．設計意圖：例1借助求解函數的定義域，加深學生對函數概念的理解，訓練學生運用函數與方程的思想進行運算求解的能力．例2（習題P72第2題）下列哪一組中的函數f(x)與g(x)是同一個函數？（1）f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2,x)－1；（2）f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4；（3）f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(,x6)．追問：判斷兩個函數是否相等的一般的步驟是什么？（第一步，求兩個函數的定義域．第二步，判斷定義域是否相同．若否，則不是相等函數，結束判斷；若是，則進行第三步．第三步，化簡兩個函數的解析式，若解析式也相同，則為相等函數；若解析式不相同，則不是相等函數．）師生活動：老師先引導學生回憶判斷函數是否相等的一般步驟，然后學生獨立完成，老師點評．預設的答案：第（3）組中，二者的定義域均為R，且eq\r(,x6)＝x2，因此解析式也相同，所以f(x)＝x2與g(x)＝eq\r(,x6)是同一個函數．第（1）組中，f(x)＝x－1的定義域為R，g(x)＝eq\f(x2,x)－1的定義域為{x|x≠0}，定義域不同，所以不是同一個函數．第（2）組中，f(x)＝x2的定義域為R，g(x)＝(eq\r(x))4的定義域為{x|x≥0}，定義域不同，所以不是同一個函數．設計意圖：例2借助判斷函數是否相等，加深學生對函數概念的理解，訓練學生運用化歸與轉化的思想進行運算求解的能力．例3（習題第16題）給定數集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①（1）任給u∈A，對應關系f使方程①的解v與u對應，判斷v＝f(u)是否為函數并說明理由；（2）任給v∈B，對應關系g使方程①的解v與u對應，判斷u＝g(v)是否為函數并說明理由．追問1：判斷某個給定的對應關系是否函數的依據是什么？（函數的概念，具體內容是：對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．）師生活動：老師引導學生尋找判斷的依據，學生應用函數的概念獨立判斷，老師點評．預設答案：（1）根據u2＋2v＝0，可得v＝－eq\f(u2,2)，任給u∈A，根據對應關系v＝－eq\f(u2,2)，在數集B中都能找到唯一的元素v＝－eq\f(u2,2)與之對應，所以是函數．（2）根據u2＋2v＝0，可得u＝±eq\r(－2v)，任給v∈B且v≠0，根據對應關系u＝±eq\r(－2v)，在數集A中都能找到兩個元素u＝±eq\r(－2v)與之對應，所以不是函數．追問2：結合v＝f(u)和u＝g(v)的圖象驗證你的判斷，其中v＝f(u)和u＝g(v)的圖象分別如圖2和圖3．圖圖2圖3圖圖4圖5（根據圖4，在橫軸上任取一點u＝u0，過該點作橫軸的垂線，與曲線有且僅有一個交點（u0，v0），即對于任意的u0∈R，按照對應關系①有唯一的v0與之對應，所以v＝f(u)是函數．根據圖5，在橫軸負半軸上任取一點v＝v0，過該點作橫軸的垂線，與曲線有兩個交點（v0，u0）、（v0，－u0），即對于任意的v0∈(－∞，0)，按照對應關系①有兩個值與之對應，所以u＝g(v)不是函數．）追問3：根據方程u2＋2v＝0，寫出一個對應關系h使它成為u關于v的函數．（u＝－eq\r(－2v)或u＝eq\r(－2v)．）設計意圖：通過例3對函數概念進行辨析，幫助學生深入理解函數的概念，感受函數對應關系的多樣性．2．求函數的解析式例4（1）已知f(x)是二次函數，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；（3）已知函數f(x)對于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．師生活動：第（1）小題大部分學生能比較順利地完成，其它兩個小題需要老師合理的引導、講解、示范以及學生的模仿練習完成．預設答案：（1）由f(x)是二次函數，設f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f(0)＝1，得c＝1，則f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x這個式子對于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，解析式為f(x)＝x2－x＋1．（2）方法一：令x＋1＝t，則x=t－1．將x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，則解析式為f(x)＝x2－5x＋6．方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，則解析式為f(x)＝x2－5x＋6．（3）因為對于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2……②，所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2……③，2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，則解析式為f(x)＝－3x－eq\f(2,3)．教師點撥：第（1）題中的方法叫待定系數法，適用于當函數類型給定，且函數某些性質已知時求函數解析式的題型．第（2）題中的方法一叫換元法，適用于已知函數f(g(x))的表達式，求f(x)的解析式的題型．具體步驟為：令g(x)＝t，并反解出x，然后x把代入f(g(x))中，求出f(t)，從而求出f(x)；第（2）題中的方法二叫湊配法，適用于已知函數f(g(x))的解析式，且f(g(x))的表達式可變形為關于g(x)的形式，從而將式子兩端的g(x)看成一個整體代換為函數的自變量，從而求出f(x)；在這兩種方法中，都要注意函數的定義域，方法一中函數的定義域為新元t的取值范圍；方法二中函數的定義域為g(x)的值域．第（3）題中的方法叫方程組法，適用于當函數f(x)滿足形如af(x)＋bf(－x)＝g(x)（a≠b且ab≠0）或af(x)＋bf(eq\f(1,x))＝g(x)（a≠b且ab≠0）等關系時，我們可以用－x或eq\f(1,x)代替關系式中的x，將得到的新式子與原關系式聯立方程組，經消元后將f(x)從方程組中解出來．設計意圖：解析式是高中階段函數的主要表示方法，同時也是我們研究函數的主要依據．但函數解析式較為抽象，求解析式對于高一學生是一個難點，例4涉及了四種常見的求函數解析式的方法，幫助學生初步理解抽象問題的處理方法，提升學生的數學抽象和數學運算素養．3．分段函數例5（習題第13題）函數f(x)＝[x]的函數值，表示不超過x的最大整數，例如，[－]＝－4，[]＝2．當x∈(－，3]時，寫出函數f(x)的解析式，并畫出函數f(x)的圖象．預設答案：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3，－＜x＜－2，,－2，－2≤x＜－1，,－1，－1≤x＜0，,0，0≤x＜1，,1，1≤x＜2，,2，2≤x＜3，,3，x＝3．,))函數f(x)的圖象如圖6．圖6圖6追問1：設函數g(x)＝x－[x]，x∈(－，3]，寫出函數g(x)的解析式，并畫出函數g(x)的圖象．（g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，－＜x＜－2，,x＋2，－2≤x＜－1，,x＋1，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，,x－1，1≤x＜2，,x－2，2≤x＜3，,0，x＝3．,))函數g(x)的圖象如圖7．）圖7圖7追問2：求函數f(x)與g(x)的值域．（函數f(x)的值域為{－3，－2，－1，0，1，2，3}，函數g(x)的值域為[0，1)．）追問3：求方程g(x)＝的解集.（當－＜x＜－2時，令g(x)＝，則x＋3＝，解得x＝－，－?(－，－2)，此時方程無解；當－2＜x＜－1時，令g(x)＝，則x＋2＝，解得x＝－，－∈[－2，－1)，此時方程的解為x＝－；同理可以求得其他區間內的解．綜上，方程g(x)＝的解集為{－，－，，，}．）設計意圖：例4加深學生對分段函數的了解，訓練學生運用分類與整合、數形結合的思想進行運算求解的能力，提升學生的直觀想象和數學抽象素養．三、歸納小結，布置作業問題2：回憶本節課的內容，請你回答以下幾個問題：（1）你能談談對函數的對應關系的認識嗎？（2）你能談談函數圖象在解決問題中的作用嗎？師生活動：師生一起總結．預設的答案：（1）對應關系f是函數的核心要素，只要滿足：對于數集A中的任意一個數x，按照對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么f：A→B就為從集合A到集合B的一個函數；它的表現形式多種多樣：文字語言、解析式、表格、圖象、方程等，可以根據需要靈活選擇．（2）函數圖象很直觀，在解題過程中常用來幫助理解問題的數學本質，依托函數圖象可以更直觀地尋求問題的解決思路和要點．設計意圖：引導學生提煉本節課的主要內容和方法．作業布置：教科書復習參考題3第1，2，7，8，13題．四、目標檢測設計1．下列四組函數中，表示同一函數的一組是（）A．y＝|x|，u＝eq\r(v2)B．y＝eq\r(x2)，s＝(eq\r(t))2C．y＝eq\f(x2－1,x－1)，m＝n＋1D．y＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，y＝eq\r(x2－1)設計意圖：考查對函數概念的理解．2．函數y＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)定義域是___________．設計意圖：考查函數定義域的求解．3．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x＞0，,))若f(x)＝10，則x＝___________．設計意圖：考查對分段函數的了解，以及運用函數與方程的思想進行運算求解的能力．4．某位同學要在暑假的八月上旬完成一定量的英語單詞的記憶，計劃是：第一天記憶300個單詞；第一天后的每一天，在復習前面記憶的單詞的基礎上增加50個新單詞的記憶量．（1）該同學記憶的單詞總量y是關于記憶天數x的函數嗎？如果是，你能用哪些方法表示這個函數；如果不是，請你說明理由．設計意圖：考查對函數概念的理解，以及運用函數與方程的思想進行抽象概括的能力．參考答案：1．A．2．[－1，2)∪(2，＋∞)．3．－3．4．解：用x表示記憶天數，用y表示記憶的單詞總量，那么y＝50x＋250，x∈A，其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，