第1次課庫倫定律電場強度第1章靜止電荷的電場1.1電荷1.物質的電結構質子帶正電電子帶負電中子不帶電,正負電總和為零+e-e基元電荷e=1.6×10–19C(1)電荷不能產生,不能消滅;只能轉移,中和,與分離;(2)帶電:是失去或得到電子.(3)電荷消失:是正負電中和.2.電荷的量子化|Q|=NeNZ

3.電荷守恒定律孤立系統內,無論進行怎樣的過程(物理,化學,核反應),系統內電量的代數和為一常量.1.2庫侖定律與疊加原理1.點電荷的物理模型其大小遠小于問題所涉及的線度的帶電體.(形狀任意)2.庫侖定律q1q2r21F21F21=q1q2

r2k4πε01rr3q1q2=(1)真空中的電容率ε0ε0=8.85×10–12C2/(N·m2)k無物理意義,以后不用k.(2)

q1,q2同號F=q1q2/(4πε0r2)>0斥力q1,q2異號F=q1q2/(4πε0r2)<0引力(3)庫侖定律只適用與點電荷.(4)原子內電力是萬有引力的1039倍,一般不考慮萬有引力.

(=r/r)1.21.3電場和電場強度一.電場1.電荷間作用力靠電場實現電荷電場電荷力力2.電場的對外表現(1)對電場中的電荷有作用力;(2)對電場中的運動電荷作功;(3)與電場中的物質相互作用:導體,靜電感應;介質,極化.3.描述電場的物理量(1)電場強度E;(2)電勢

U.二.電場強度E1.試驗電荷q0電量極小的點電荷(1)電量足夠小:不改變產生電場的電荷分布;(2)體積足夠小:所占據的空間真正代表一點.2.電場強度的定義E=F/q0F為試驗電荷受的電場力電場強度是矢量大小:E=F/q0方向:q0>0,E與F同向q0<0,E與F反向電場強度E是描述電場固有性質的物理量,只與場源電荷有關,與試驗電荷q0無關3.單位N/C或V/m4.電場力dF=Edq三.點電荷q激發的電場E=F/q04πε01rr3qq0=q0E=qr/(4πε0r3)q>0,E與r同向q<0,E與r反向1.3四.電場疊加原理(由力的疊加原理得出)將帶電體分成無數個點電荷.試驗電荷受力為Fi=q0qiri/(4πε0ri3)F==q0qiri/(4πε0ri3)E=F/q0q0E=

qiri/(4πε0ri3)=Ei1.獨立性任何電荷的電場不因其它電荷的存在而受影響;2.疊加性空間電場是所有電荷產生電場的矢量和.3.求電場的基點(1)點電荷激發的電場;(2)電場疊加原理.五.電場強度的計算1.點電荷系激發的電場E=

qiri/(4πε0ri3)2.連續帶電體激發的電場E=

rdq/(4πε0r3)(1)體電荷體電荷密度ρ=dq/dVE=

rρdV/(4πε0r3)(2)線電荷截面尺寸遠小于長度.也遠小于問題所涉及線度線電荷密度λ=dq/dlE=

rλdl/(4πε0r3)(3)面電荷厚度遠小于表面尺寸,也遠小于問題所涉及線度面電荷密度σ=dq/dSE=

rσdS/(4πε0r3)1.41.4靜止點電荷的電場及疊加一.電偶極子1.定義(物理模型)其距離較問題涉及線度小得多l<<r–q+qlPr的等量異號的點電荷系統.2.電矩(電偶極矩)p=ql–q+qlpp與l同向,l從負指向正.3.電偶極子電場的電場強度(1)延長線上的電場強度–q+qlA坐標如圖OxA的坐標為x.

E+=qi/[4πε0(x–l/2)2]E+

E–=–qi/[4πε0(x+l/2)2]E–E=E++E–=[iq/(4πε0)][1/(x–l/2)2–1/(x+l/2)2]={iq/[4πε0(x2–l2/4)2]}··[(x+l/2)2–(x–l/2)2](x>>l)~i2qxl/(4πε0x4)=iql/(2πε0x3)(p=ql=iql)E=2p/(4πε0x3)E與p同向問題A點在電偶極子左方如何?(2)中垂線上的電場強度–q+qlByr+E+=qr+/(4πε0r+3)E+r–E–=–qr–/(4πε0r–3)E–=qr+/(4πε0r3)=–qr–/(4πε0r3)E=E++E–=–q(r––r+)/(4πε0r3)=–ql/(4πε0r3)(y>>l)=–p/(4πε0y3)E與p反向.1.54.電偶極子在電場中受力(1)在均勻電場中–q+qEF–=–qE–F–F+=qE+F+=–qE=qEF=F++F–=(q–q)E=0r+r–M=r+×F++r–×F–

=r+×(qE)+r–×(–qE)=(r+–r–)×(qE)=l×(qE)=ql×E=p×E大小:M=pEsin方向:p,E,M成右手螺旋.電偶極子無平動,有轉動.(2)在非均勻電場中F=F++F–=qE+–qE–0M=r+×F++r–×F–

=r+×(qE+)+r–×(–qE–)~(r+–r–)×(qE)0=l×(qE)=ql×E=p×E電偶極子有平動,也有轉動.例1(P18例1.4)求帶電為q,長為l的均勻帶電直線外一點電場強度.alrdE解:元電荷取坐標如圖.xyO取微dldq=dl(=q/l)=dxdE=dq/(4πε0r2)E==dx/[4πε0(x2+a2)]令x/a=cot(–)=–cotx=–acotdx=ad/sin2x2+a2=a2/sin21=arccot(–x1/a)2=arccot(–x2/a)=d/(4πε0a)=(2–1)/(4πε0a)

1.6dEx=dEcos=[λdx/(4πε0r2)](–x/r)=–λxdx/(4πε0r3)=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]dEx=dEsin=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]Ex=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]–λ(–acot)ad/sin24πε0(a2/sin2)3/2==[λ/(4πε0a)]cosd=λ(sin2–sin1)/(4πε0a)Ey=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]λaad/sin24πε0(a2/sin2)3/2==λ(cos1–cos2)/(4πε0a)λsind4πε0a=討論1.中垂線上1+2=πsin2=sin1cos1=–cos2Ex=0=(l/2)/(a2+l2/4)1/2Ey=λcos1/(2πε0a)=(q/l)[(l/2)/(a2+l2/4)1/2]/(2πε0a)=q/[4πε0a(a2+l2/4)1/2](1)當l>>a1=0Ey=λ/(2πε0a)(2)當l<<aEy=q/(4πε0a2)(3)當a=0帶電體不再是線電荷2.延長線上lxOdlrdE所有電荷元產生的電場強度都沿x正向λdx4πε0r2E=–λd(l+b–x)4πε0(l+b–x)2=λ4πε0=1b1l+bq4πε0b(b+l)=Pb點電荷1.7例2(P20例1.5)求半徑為R帶電為Q的均勻帶電細圓環軸線上一點的電場強度.ROdEⅡdE⊥解:以中心軸為x軸.取x微元電荷dqdq=dlrdE=dq/(40r2)=dl/(40r2)dEdEⅡ=dEcos

=xdl/(40r3)因對稱,dE⊥相互抵消.故E=EⅡ=dEⅡ=[xdl/(40r3)]=2Rx/[40(x2+R2)3/2]=Qx/[40(x2+R2)3/2]方向沿x軸.討論如環開一小口a,可用補賞法(1)當x=0,中心處:E=0E=Qa/(8

20R3)求中心場強.(2)當x>>R,E=Q/(4πε0x2)點電荷(3)E~x曲線:xEOR/–R/E極大值點x=±R/例3(P21例1.6)求半徑為R帶電為Q的均勻圓盤軸線上的場強.OP解:取中心軸為xx軸,圓環元電荷rdrdq=2rdrdEdE=dqx/[40(x2+r2)3/2]dE=xrdr/[20(x2+r2)3/2]E==

xd(x2+r2)/[40(x2+r2)3/2]=[

/(20)][1–x/(x2+R2)1/2]=[Q/(20R2)][1–x/(x2+R2)1/2]當x<<R,無限大帶電平面E=σ/(2ε0)第2次課電場強度(續)

電通量例1.“無限長”均勻帶電半圓柱面,半徑R,設柱面沿軸線單位長度上電量為,如圖.試求軸線上一點的電場強度.xyORO解:過場點O作橫截面并在其上取坐標如下圖,在柱面上取窄條微元,dldθθ密度為其電荷線'=(/π)dθdE=λ'/(2πε0R)dE=λdθ/(2π2ε0R)dEx=dEcos(θ+π)=–λcosθdθ/(2π2ε0R)dEy=dEsin(θ+π)=–λsinθdθ/(2π2ε0R)Ex=–λcosθdθ/(2π2ε0R)=λ/(π2ε0R)Ey=–λsinθdθ/(2π2ε0R)E=Ex=λ/(π2ε0R)=0方向沿x正向.例2.(P401.10)如圖,細帶電圓環,半徑R,電荷線密度=0sinθ,求圓心處電場強度.ORθxy解:在圓上取電荷元dq=RdθdEdE=dq/(4πε0R2)=0sinθdθ/(4πε0R)dEx=dEcos(π+θ)

=–0sinθcosθdθ/(4πε0R)dEy=dEsin(π+θ)

=–0sin2θdθ/(4πε0R)Ex=–0sinθcosθdθ/(4πε0R)=0Ey=–0sin2θdθ/(4πε0R)=–0/(4ε0R)E=Exi+Eyj=–j0/(4ε0R)2.2例3.一半徑為R的半球面,均勻地帶有電荷,電荷面密度為.求球心處的電場強度.O解:x取環帶微元θdq=dS=2(Rsin)Rd

=2R2sinddEdE=dqx/[40(r2+x2)3/2]=–sincosd/(20)方向x軸正向.例4.用絕緣細線彎成的半圓環,半徑為R,其上均勻地帶有正點荷Q,試求圓心O處的電場強度.O解:xy取園弧微元dldq=dl=[Q/(R)]Rdθ=Qdθ/dEdE=dq/(4ε0r2)=Qdθ/(4π2ε0R2)dExdEydEx=dEcos(θ+)=－dEcosθ

dEy=dEsin(θ+)=－dEsinθ

Ex=dEx=Q/(2

2ε0R2)Ey=dEy=0故

E=Ex=Q/(2

2ε0R2)方向沿x軸正向.2.3例5.寬為a的無限長帶電薄平板,電荷線密度為,取中心線為z軸,x軸與薄板在同一平面內,y軸垂直薄板.如圖.求y軸上距薄板為b的一點P的電場強度的大小和方向.zxyOabP解:取無限長窄條電荷元dx,電荷線密度=dx/adE=/(20r)=dx/(20ar)dEx=dEcos=–xdx/[20a(b2+x2)]dEy=dEsin=bdx/[20a(b2+x2)]yxdxdEbPEx=∫dEx=–xdx/[20a(b2+x2)]=–ln(b2+x2)/[40a]=0Ey=∫dEy=bdx/[20a(b2+x2)]=arctan(x/b)/[20a]=arctan[a/(2b)]/(0a)E=Eyj=jarctan[a/(2b)]/(0a)1.5–1.7電通量

高斯定理一.電場線1.定義

其線上每點的切線都與該點

電場強度方向重合的一條有指向的曲線.形象直觀的描述電場E2.電場的圖示法方向:沿切線正向;大小:用疏密表示疏,E小.密,E大;電場線數密度de/dS

dSndS'dS

'2.4E=de/dS

dS⊥E,即dS

∥E.3.幾種特殊電場的電場線(1)點電荷正,發散;負,收斂.(球對稱):(3)無限大帶電平面平行,等距(2)兩點電荷起于正終于負.4.電場線的性質(1)起于正電荷終于負電荷；(2)不閉合,不相交,連續.二.電通量

1.定義通過電場中一給定曲面的電場線的總條數.2.表達式(1)過微小曲面dS的電通量deEdSEdS為dS在垂直E方向的投影θdS=dScosθde=EdS

=EdScosθnθ=E·dS(2)過某曲面S的電通量ee=3.討論(1)電通量e是標量,不是矢量;(2)計算電通量時要對面選取法線方向(閉合曲面的法線指向面外).求電通量大小時一般讓n與E的夾角小于π/2.2.5例4.在點電荷Q產生的電場中,求通過如圖所示的圓面的電通量.xRQ解:設圓面法線向左,n取細圓環面元dS=2πrdrrdrE=Q/[4πε0(x2+r2)]Eθcosθ=x/(x2+r2)1/2dΦe=E·dS=EdScosθ=2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2]=xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]Φe=dΦe=

xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]=[xQ/(4ε0)]d(r2+x2)/(x2+r2)3/2=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2]=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)或用通過圓面對應球冠面的電通量來計算:S=2πR0h=2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x]=2π[R2+x2–x(R2+x2)1/2]E=Q/(4πε0R02)=Q/[4πε0(R2+x2)]Φe=ES=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)三.高斯定理求過閉合曲面的電通量1.點電荷激發的電場(1)閉合曲面是以電荷為心的球面SΦe=E·dS=[Q/(4πε0r2)]dS=[Q/(4πε0R2)]dS=Q/ε0(2)閉合曲面是包圍點電荷的任意曲面S

'2.6Φ'e=

E·dS=Φe=

E·dS=Q/ε0(3)閉合曲面不包圍點電荷S"電場線進入高斯面又穿出高斯面Φ"e=

E·dS=02.任意電荷激發的場將其分成若干點電荷q=Σqiq激發電場E是每個點電荷激發電場Ei

的矢量和E=ΣEiΦe=

E·dS=

ΣEi·dS=Σ[Ei·dS]=Σqint/ε0Σqint是高斯面S所包圍的電荷.3.結論

E·dS=Σqint/ε0量只與曲面內所包圍電荷的代數和有關,與曲面的形狀,曲面外的電荷無關.注意:曲面上的電場強度與面內外所有電荷有關.這說明通過閉合曲面的電通4.靜電場的一個性質靜電場是有源場.(1)當Σqint>0,有Φe>0.表明有電場線從S穿出,面內有正源;(2)當Σqint<0,有Φe<0.表明有電場線進入S面,面內有負源;(3)當Σqint=0,有Φe=0.表明電場線進入又穿出S,電場線連續;三.高斯定理的應用質,任何時候都是正確的.1.

高斯定理是靜電場的基本描述了靜電場的基本性方程第3次課高斯定理2.

用高斯定理求電場強度例1.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球面在球內外產生的場強.RQ解:由于電荷球對稱,必然電場球對稱:E沿徑向,且距球心r相等處E大小等.過場點作與帶電球同心的球面,Sr依高斯定理,有=Σqint/ε0==E=4πr2E當r<R:Σqint=0E=0當r>R:Σqint=QE=Q/(4πε0r2)考慮方向E=Qr/(4πε0r3)故r<R:E=0;r>R:E=Qr/(4πε0r3)均勻帶電球面在

球內的

場強為零,在球外的場強等效于將電荷集中在球心

的

點電荷產生的場強.其E–r關系如圖.Q4πε0R21/r2用高斯定理求場強的步驟(1)分析電荷與場的對稱性;(2)選取合適的高斯面(其目的能將寫成ES);(3)用高斯定理列方程,解方程,指出場的方向.對稱性與對應高斯面:球對稱:球電荷柱對稱:無限長柱電荷面對稱:無限大面電荷柱形高斯面球形高斯面高斯面上的E

:①大小處處等,E

dS;②大小處處不等,EdS.rORE3.2例2.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球體在球內外產生的場強.RQ解:因電荷球對稱,電場球對稱:

E沿徑向,且距球心r相等處E大小等.過場點作與球同心的球面,有Sr=Σqint/ε0==4πr2E當r<R:Σqint

=ρ(4πr3/3)=[Q/(4πR3/3)](4πr3/3)Q4πε0R21/r2=Qr3/R3考慮方向,有E=Qr/(4πε0R3)當r>R:Σqint=QE=Q/(4πε0r2)E=Qr/(4πε0R3)r>R:E=Qr/(4πε0r3)r<R:均勻帶電球體

球內場強與r成正比,球外場強等效于將電荷集中在球心

的

點電荷產生的場強.其E–r關系如圖.例3.求半徑為R帶電線密度為λ的無限長均勻帶電圓柱面在柱內外產生的電場強度.解:因電荷柱對稱,

電場柱對稱:E

沿徑向,

且距軸線r

相等處E大小等.

過場點作與

帶電柱R面同軸的圓柱面,其高為h.有rS=++λ2πε0R1/rrORErORE3.3=0+0+2πrhE=Σqint/ε0當r<R:Σqint=0E=0當r>R:Σqint=λhE=λ/(2πε0r)方向垂直軸線并沿徑向.無限長均勻帶電圓柱面在柱面內的場強為零,在柱面外的場強等效于將電荷集中在軸線的無限長均勻線電荷產生的場強.其E–r關系如圖.例4.求半徑為R帶電線密度為λ的無限長均勻帶電圓柱體在柱內外產生的電場強度.R解:因電荷柱對稱,

電場柱對稱:E

沿徑向,

且距軸線r

相等處E大小等.

過場點作同軸柱面,其高為h.有rS=++=0+0+2πrhE=Σqint/ε0當r<R:Σqint

=ρ(πr2h)=[λh/(πR2h)](πr2h)=λhr2/R2E=λr/(2πε0R2)當r>R:Σqint=λhE=λ/(2πε0r)方向垂直軸線并沿徑向.無限長均勻帶電圓柱體在柱體內場強與r成正比,在柱面外場強等效于將電荷集中在軸線的無限長均勻線電荷產生的場強.其E–r關系如圖.λ2πε0R1/r例5.求面電荷密度為σ的無限大均勻帶電薄平板在空間產生的電場強度.rORE3.4σE解:因電荷面對稱,電場面對稱:

E垂直帶電面,指向外,距帶電面等距處E大小等.過場點作柱形高斯面

(側面垂直帶電面,底面以帶電面對稱,面積ΔS).有SΔS=++=EΔS+EΔS+0=2EΔSΣqint=σΔS由=Σqint/ε0得E=σ/(2ε0)考慮方向,有x>0,E=iσ/(2ε0);x<0,E=–iσ/(2ε0)其E–x關系如圖.Oxσ/(2ε0)–σ/(2ε0)例6.半徑為R的無限長圓柱體內有一個半徑為a(a<R)的球形空腔,球心到圓柱軸的距離為d(d>a),該球形空腔的無限長圓柱體內均勻分布著電荷體密度為的正電荷,如圖所示.求:(1)在球形空腔的球心O處的場強EO;(2)在柱體內與O點對稱的P點處的電場強度EP.RadPOd解:球形空腔無限長圓柱帶電體可認為是均勻帶正電(體電荷密度為)無限長圓柱體與

均勻帶負電(體電荷密度為)球體組成.分別用高斯定理求無限長均勻帶電圓柱體激發的電場

E1與均勻帶電3.5球體激發的電場E2.為求E1,在柱體內作同軸的圓柱形高斯面,有E1=

r1/(20)方向垂直于軸線指向外;為求E2,在球體內外作同心的球形高斯面,有球內r<aQ=4

r23/3E2=

r2/(30)球外r>aQ=4a3/3E2=a3/(30r22)負號表示方向指向球心.對于O點E1=d/(20)(因r2=0)E2=r2/(30)=0得EO=d/(20)方向向右;對于P點E1=d/(20),E2=a3/(120d2)得EP=d/(20)a3/(120d2)

方向向左.(因r2=2d)第4次課靜電場的環路定理

電勢第3章電勢3.3~3.5靜電場環路定理

電勢

一.靜電場力的功討論點電荷q0在靜電場中運動,靜電場力做功q0lab1.點電荷q激發的電場qE=qr/(4πε0r3)F=qq0r/(4πε0r3)FrA=F·dldl4πε0r3qq0r·dl=θ=[qq0dlcosθ/(4πε0r2)]r1r2(dlcosθ=dr)=[qq0dr/(4πε0r2)]

=[qq0/(4πε0)](1/r1–1/r2)即點電荷q0在點電荷q激發的電場中運動時靜電場力做功與路徑l無關,只與q0的始末位置有關.2.任意電荷激發的電場E=

rdq/(4πε0r3)F=q0E=q0

rdq/(4πε0r3)A=F·dl4πε0r3dqr·dl=q04πε0r3r·dldq=q04πε0r2drdq=q04πε0q0dq=r11r21式中r1和r2分別為點電荷q0運動路徑的起點和終點到電荷元dq的距離.結果表明:點電荷q0在任意電荷激發的電場中運動時靜電場力做功與路徑無關,只與q0的始末位置有關.二.靜電場環路定理1.安培環路定理A=F·dl=qE·dl4.2=qE·dl+qE·dlabl1l2=qE·dl–

qE·dl=0

E·dl

=0得安培環路定理靜電場力對點電荷q沿閉合路徑運動做的功為零2.靜電場的又一性質靜電場是保守場.靜電場是(1)有源場(由高斯定理得出)(2)保守場環路定理說明:靜電場沿任意閉合路徑積分為零.做功與路徑無關的力是保守力,故靜電場力是保守力;積分與路徑無關的場是保守場.(由環路定理得出)三.電勢能與電勢位置所決定的做功本領保守力勢能靜電場力是保守力電勢能(只討論點電荷的電勢能)1.電勢能點電荷在某點電勢能等于電場力將其從該點移到參考點所做的功.WP=qE·dl=qE·dl由電荷與電場的相對2.電勢電勢能與電荷有關,qE·dl=E·dl與電荷無關,由WP/q電場本身固有性質決定.(1)定義(描述電場的又一物理量)=E·dlUP=WP/q電場中某點電勢數值上等于4.3單位正電荷從場點移到零勢點靜電場力作的功.(2)單位伏特(V)E的又一單位:(N/C)V/m3.電勢差場中兩點電勢之差(電壓)Uab=Ua–Ub=E·dl–

E·dl=E·dl+

E·dl=E·dl靜電場中兩點間電勢差等于將單位正電荷從起點移到終點靜電場力作的功.4.說明(1)電勢能是電場與電荷共有的,而電勢是電場固有的;(2)電勢能與電勢是相對的,與零點的選取有關,零點的選取任意;(3)兩點電勢差與零點選取無關.(4)電勢,電勢能是標量,不是矢量.5.電勢零點的選取(1)電勢零點的選取以方便為準;(2)有限帶電體場的零勢點選;(3)無限帶電體場的零點不能選.四.靜電場力對點電荷的功A,點電荷與電場的電勢能W及電勢U之間的關系W=qE·dl=qE·dl=qUA=qE·dl=qE·dl=qUab五.電勢的計算(選為勢零點)1.點電荷電場的電勢UP=E·dl4πε0r3qr·dl==4πε0r2qdr=[–q/(4πε0r)]=q/(4πε0r)2.電勢疊加原理將帶電體分成點電荷:4.4q=qiE=EiU=E·dl=Ei·dl=Ei·dl=Ui=Σ[qi/(4πε0ri)]連續帶電體U=[dq/(4πε0r)](1).獨立性任何電荷在某點產生的電勢不因其它電荷而受影響;(2).疊加性電場中某點的電勢是所有電荷產生電勢的標量和.,3.知電荷分布求電勢的基點(1)點電荷在某點產生的電勢;(2)電勢疊加原理(標量疊加).(1)定義法(2)疊加法4.計算電勢的兩種方法：U=E·dlU=[dq/(4πε0r)]例1.求電偶極子場中一點P的電勢.q–qlP解:由疊加原理xy(x,y)r+r–rU=U++U–=q/(4πε0r+)–q/(4πε0r–)=q(r––r+)4πε0r+r–r––r+θ'而r––r+~lcosθ'θ~lcosθ,r–~r+~r得U=qlcosθ/(4πε0r2)=pcosθ/(4πε0r2)=prcosθ/(4πε0r3)=p·r/(4πε0r3)=px/[4πε0(x2+y2)3/2例2.求半徑為R帶電為Q的均勻帶電細圓環軸線上一點的電勢.RO解:定義法x軸上x處,E沿x軸,大小為EE=Qx/[40(x2+R2)3/2]4.5U=E·dl={Qx/[40(x2+R2)3/2]}dx

=

Qd(x2+R2)/[80(x2+R2)3/2]

={–Q/[40(x2+R2)1/2]}

=Q/[40(x2+R2)1/2]

疊加法取微元電荷dq=dldU=dq/(40r)=dl/[40(x2+R2)1/2]U=dU=dl/[40(x2+R2)1/2]=2R/[40(x2+R2)1/2]=Q/[40(x2+R2)1/2]

例3.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球面在球內外產生的電勢.r<R:E1=0;r>R:E2=Qr/(4πε0r3)解:疊加法困難,用定義法U=E·dl球內電勢球外電勢r<R=E1·dl+E2·dl=0+[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0R)r>RU=E·dl=E2·dl=[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0r)均勻帶電球面在球內產生的電勢等于在球面上產生的電勢

(即均勻帶電球面為等勢

體);在球外產生的電勢等效于將電荷集中在球心

的點電荷產生的電勢.其U–r關系如圖.Q4πε0RrORU1/r4.6例4.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球體在球內外產生的電勢.r>R:E2=Qr/(4πε0r3)解:用定義法r<R:E1=Qr/(4πε0R3)U=E·dl球內電勢r<R=E1·dl+E2·dl+[Qdr/(4πε0r2)]=Qrdr/(4πε0R3)=[Qr2/(8πε0R3)]+[–Q/(4πε0r)]=Q/(8πε0R)–Qr2/(8πε0R3)+Q/(4πε0R)=3Q/(8πε0R)–Qr2/(8πε0R3)球外電勢r>RU=E·dl=E2·dl=[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0r)均勻帶電球體在球內產生的電勢是到球心距離的函數(即均勻帶電球體不是等勢體);在球外產生的電勢等效于將電荷集中在球心

的點電荷產生的電勢.其U–r關系如圖.rORU–r21/r球心與球面的電勢分別為U0=8πε0R3Q8πε0R3QQ4πε0RUR=Q4πε0R例5.(P883.9)一無限長均勻帶電圓柱,體電荷密度為ρ,截面半徑為a,(1)用高斯定理求柱內外電場;(2)

求柱內外電勢,以軸線為電4.7勢零點;(3)畫出E–r和U–r曲線.a解:(1)因電場柱對稱:E

沿徑向,距軸r

等處E值等.

過場點作高h同軸柱面,有rS=++=0+0+2πrhE=Σqint/ε0當r<a:Σqint

=ρ(πr2h)E1=ρr/(2ε0)當r>a:Σqint=ρ(πa2h)E2=ρa2/(2ε0r)E

方向垂直于軸線且指向外.(2)當r<a:U1=E·dl=E1·dl=[ρr/(2ε0)]dr=–ρr2/(4ε0)當r>a:U2=E·dl=E2·dl+E1·dl=ρa2dr/(2ε0r)+ρrdr/(2ε0)=ρa2ln(a/r)/(2ε0)–ρa2/(4ε0)=–ρa2/(4ε0)[2ln(r/a)+1](3)rOaEr=0:E0=0,r=a:Ea=ρa/(2ε0)ρa2ε01/rrOUU0=0–r2Ua=–ρa24ε0ρa24ε0–ln(r/a)說明:

無限長帶電圓柱場的零勢點不能選在.數學上講,結果發散;物理上講,帶電圓柱不再是無限長.“無限長”公式不再適用.第5次課電勢梯度靜電場中的導體

3.4電勢梯度一.等勢面1.定義等電勢點組成的面.2.等勢面的性質由dU=0得出dA=qdU=0(1)點電荷在等勢面上移動,E·dl=dU=0Edl(2)電場強度與等勢面正交;(3)等勢面密集處場強大,等勢面稀疏處場強小.由dU=E·dl知:設dU等,E||dl

.E大,則dl小,即等勢面密.3.兩種特殊電場的等勢面+1.電勢空間變化率(方向導數)二.電勢梯度dl為沿某方向的微小距離,對應兩等勢面的電勢差為dUdlUU+dUE·dl=U1–U2=U–(U+dU)=–dUE–dU

=E·dlθ=EdlcosθdU/dl=–Ecosθ=–El電勢沿某方向的空間變化率等于電場強度在該方向投影的負值.(1)電勢空間變化率隨方向而變;(2)空間變化率絕對值的最大值沿過該點等勢面的法線方向.2.電勢梯度gradU是矢量方向為電勢變化最快的方向,大小[dU/dl]max=dU/(dlcosθ)=dU/dngradU+=U電場力不作功;5.2=(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k3.電勢梯度與場強的關系由dU/dl=–El得Ex=–U/xEy=–U/yEz=–U/zE=–[(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k]E=–gradU電場強度等于電勢梯度負值.即電場強度指向電勢降落的方向=–U三.場強與電勢的關系積分關系=E·dlU=E·dl微分關系E=–gradU=–U例1.(P75例3.7)利用場強梯度關系,計算電偶極子場中的場強.解:

U=p·r/(4πε0r3)p

=pir=xi+yjr2=x2+y2=px/(4πε0r3)=[p/(4πε0)](x/r3)r/x=[(x2+y2)1/2]/x=(1/2)(x2+y2)1/2–12x=x/rr/y=y/rEx=–U/x=–{[p/(4πε0)](x/r3)}/x=–[p/(4πε0)][(1/r3)+x(–3r–4)r/x]=–[p/(4πε0)][(1/r3)–3x2/r5]=[p/(4πε0)][(2x2–y2)/r5]=p(2x2–y2)/(4πε0r5)Ey=–U/y=–{[p/(4πε0)](x/r3)}/y=–[p/(4πε0)]x(–3r–4)r/y=[p/(4πε0)]3xy/r5=3pxy/(4πε0r5)E=(Ex2+Ey2)1/2=[p/(4πε0r5)][(2x2–y2)2+(3xy)2]1/25.3=[p/(4πε0r5)](4x4+5x2y2+y4)1/2=[p/(4πε0r5)][(x2+y2)(4x2+y2)]1/2=[p/(4πε0r4)](x2+y2+3x2)1/2=[p/(4πε0r3)][1+3(x/r)2]1/2=p(1+3cos2θ)1/2/(4πε0r3)E與x軸的夾角滿足tan=Ey/Ex=3xy/(2x2–y2)第4章靜電場中的導體一.導體靜電平衡的條件1.靜電平衡的建立導體內有大量可自由移動的電荷外電場自由電荷運動電荷在導體內重新分布產生附加電場與外場合成再對自由電荷作用反復進行,直到對自由電荷的作用力為零時停止.一瞬間.導體體內與表面無定向移動電荷2.靜電平衡的條件(1)導體體內(內部自由電荷不受電場力)Eint=0;(2)導體表面外附近(表面自由電荷不受切向力)ES表面.3.推論(1)導體內任取兩點a,b,因Eint=0Ua–Ub==0Ua=Ub導體為等勢體;(2)導體表面為等勢面.導體表面取兩點c,d,因ESdlUc–Ud==0Uc=Ud二.導體靜電平衡時電荷分布1.導體體內各處宏觀電荷為零;對導體體內任一點O作任意5.4小高斯面S,因Eint=0,導體OS有Eint·

dS=0即q=02.導體電荷分布在表面其表面電荷分布狀況與表面形狀及周圍帶電體有關.(1)孤立導體表面電荷面密度與曲率半徑有關尖端處(曲率大)電荷密度大;平坦處(曲率小)電荷密度小;定性證明:用導線連接相距很遠的兩導體球,靜電平衡時等勢,有R1Q1R2Q2Q1/(4πε0R1)=Q2/(4πε0R2)4πR12σ1/(4πε0R1)=4πR22σ2/(4πε0R2)R1σ1=R2σ2σ1/σ2=R2/R1低凹處(曲率負)電密度更小.(2)空腔導體內表面帶凈電荷與腔內凈電荷等值反號證明:空腔導體ΣQQSint貼近內表作高斯面,因Eint=0,在導體內S有Eint·

dS=0即Σqint=0得QSint=–ΣQ空腔導體腔內無電荷時,內表面處處無電荷空腔導體證明:由QSint=–ΣQ得QSint=0因ΣQ=0說明內表面凈電荷為零.設內表某處A帶正電,A另一處B帶等量負電.B因腔內無電荷,從A到B必有電場線.沿一電場線5.5積分UA–UB=

E·dl0與導體為等勢體矛盾,故導體內表面不同處有等量異號電荷的假設不成立,所以當腔內無電荷時,內表面處處無電荷.靜電平衡時導體表面附近的電場導體ES1.

ES表面;S表面附近作如圖的柱形高斯面,依高斯定理=++=EΔS+0+0=qint/ε0=σΔS/ε0E=σ/ε02.

ES=σ/ε0;尖端處,電荷密度大,電場強;平坦處,電荷密度小,電場弱.3.空腔導體腔內無電荷時,腔內電場為零因導體腔內無電荷,內表面處處無電荷,故腔內無電場線,即腔內電場為零.四.靜電感應的應用1.靜電屏蔽(1)腔外電荷及外表電荷對腔內電場無影響;(2)接地導體腔內部電荷也不影響腔外電場;(3)靜電屏蔽裝置:接地導體空腔因導體電勢為零.腔內,腔外的電場互不影響2.尖端放電:避雷針尖端處,E值大,空氣電離.帶因腔外及外表電荷在導體體內和腔內產生合電場為零.5.6電與尖端相反的離子中和尖端處電荷,使尖端電荷減少.有導體存在時求靜電場物理量的討論方法1.導體靜電平衡的條件2.靜電場基本性質方程3.電荷守恒定律Eint=0或導體為等勢體

E·dS=Σqint/ε0

E·dl

=0ΣQi=const例2.兩“無限大”導體板A,B,面積S,分別帶電Q1,Q2,平行對稱放置.求:(1)A,B上電荷分布;(2)空間電場分布;(3)將B板接地,求電荷分布.ABQ1Q2abσ1σ2σ3σ4E1E2E3解:設電荷面密度及電場分布如圖.σ1/(2ε0)–σ2/(2ε0)–σ3/(2ε0)–σ4/(2ε0)=0σ1/(2ε0)+σ2/(2ε0)+σ3/(2ε0)–σ4/(2ε0)=0σ1+σ2=Q1/Sσ3+σ4=Q2/S整理得σ1–σ2–σ3–σ4=0σ1+σ2+σ3–σ4=0另有解得σ1=σ4=(Q1+Q2)/(2S)σ2=–σ3=(Q1–Q2)/(2S)(2)E1=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)=(Q1+Q2)/(2Sε0)向左E2=(σ1+σ2–σ3–σ4)/(2ε0)=(Q1–Q2)/(2Sε0)向右E3=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)=(Q1+Q2)/(2Sε0)向右(3)σ4=0σ1=0因σ1+σ2=Q1/Sσ2=Q1/Sσ3=–Q1/S(1)在兩板取a,b兩點,因Ea=Eb=0,有UB=0第6次課靜電場中的導體(續)

靜電場中的電介質例1.帶電q的金屬球A與帶電Q的金屬球殼B同心放置,A半徑r,B內外半徑R1,R2.(1)求電荷分布;(2)求A和B的電勢UA,UB.(3)今將球A接地,再求電荷分布及電勢差UA–UB.解:(1)因AB同心,電荷球對稱,故球A表面均勻帶電q;球殼B內表面均勻帶電q,外表面均勻帶電Q+q.(2)UA=q/(4πε0r)–q/(4πε0R1)+

(Q+q)/(4πε0R2)UB=q/(4πε0R2)–q/(4πε0R2)+(Q+q)/(4πε0R2)=(Q+q)/(4πε0R2)(3)球A接地,U'A=0.設A帶電q'知B內外表帶電q',Q+q',有U'A=0=q'/(4πε0r)–q'/(4πε0R1)+

(Q+q')/(4πε0R2)q'/r–q'/R1+(Q+q')/R2=0

q'(1/r–1/R1+1/R2)=–Q/R2q'=(–Q/R2)/(1/r–1/R1+1/R2)故球A表面均勻帶電q'=–QrR1/[R1(r+R2)–rR2]<0球殼B內表面均勻帶電–q'=QrR1/[R1(r+R2)–rR2]>0球殼B外表面均勻帶電rR1R2qQAB>0Q+q'=QR2(R1–r)R1(r+R2)–rR2UA–UB=–UB=–(Q+q')/(4πε0R2)=–Q(R1–r)4πε0[R1(r+R2)–rR2]6.2解:接地即U=0.設感應電量為例2.半徑為R的接地導體球附近有一線電荷密度為λ長為l的均勻帶電直線,如圖所示.求導體上感應電量.alλROQ.導體等勢,U球=U心=0由電勢疊加原理,有0=U球=U心=dq/(4πε0r)+dq/(4πε0r)=[1/(4πε0R)]

dq+λdx/(4πε0x)=Q/(4πε0R)+λln[(l+a)/a]/(4πε0)Q=–λRln[(l+a)/a]得導體上感應電量為例3.一平行板電容器,極板面積S,相距d,若B板接地,且保持A板電勢UA=U0不變,如圖.把一塊面積相同帶電量

Q的導體薄板C

平行地插入兩板之間,求板C的電勢UC.BUCU0ACQd/32d/3解:設A板下表面,C板上下表面,B板上表面電荷密度分別為σ1,–σ1,σ2,–σ2.則AC間場強為E1=σ1/ε0,

CB間場強為E2=σ2/ε0.UA=U0=E1·dl+E2·dl=(σ1/ε0)d/3+(σ2/ε0)2d/3,.(σ1+2σ2)d/(3ε0)=U0.C板電荷守恒–σ1+σ2=Q/Sσ1+2σ2=3ε0U0/d.解得σ1=ε0U0/d–2Q/(3S)

6.3σ2=ε0U0/d+Q/(3S)UC=E2·dl=E22d/3=(σ2/ε0)2d/3=2U0/3+2dQ/(9ε0S)第5章靜電場中的電介質1.介質的微觀結構極性分子一.電介質的極化正負電荷中心不重合的分子,等效一電偶極子,分非極性分子正負電荷中心重合的分子,分子電矩為零p=0p=ql0子有固有電矩.2.分子的極化(1)極性分子無外電場時因熱運動電矩排列雜亂,宏觀不呈電性;作用使p,E夾角變小,

p轉向E,熱運動反抗轉向.結果是pE在E正向投影大于負向投影.的取向極化(1)非極性分子無外電場時分子正負電荷中宏觀不呈電性;心重合,EF+F–位移,非極性分子變為極性分子,產生附加電矩p.的位移極化2.極化電荷介質極化后,分子電矩排列整齊,介質中出現極有外電場時分子受M=p×E有外電場時分子中正負電荷受相反力,正負電荷中心發生n6.4E極化電荷.對于各向同性均勻介質,極化電荷只出出現在表面.極化電荷的場要影響外電場.極化現象在外電場作用下介質中出現極化電荷,從而影響外電場的現象.二.極化強度矢量P極性分子電矩p排列的有序程度,非極性分子附加電矩p的大小反映介質的極化程度單位子電矩的矢量和為Σpi1.定義描述極化強弱的物理量取微小體積元V(宏觀上無限小微觀上無限大),V所中有分P=Σpi/VC·m–2與面電荷密度同單位2.極化電荷,極化強度的關系(1)逐點關系P|Σpi|=(σ'ΔS)l在極化介質內順P取長為l的微小斜柱體(可認為介質均勻極化),它是電偶極子,端面極化電荷σ'ΔS.有V=lΔScos|P|=|Σpi|/V=(σ'ΔS)l/(lΔScos)σ'=|P|cos=Pcos=P·n某處極化電荷面密度σ'等于該處極化強度P在面法線方向的投影.當<π/2,極化電荷σ'為正;當>π/2,極化電荷σ'為負;(2)整體關系某閉合曲面所包圍的極化電荷.便于理解,以平行板電容器內充滿各向同性均6.5勻介質為例.電容器充電后,介質極化.取柱形閉合面,它包圍的極化電荷為PSq'=σ'ΔS=–PΔS=–P·dS=–(++)P·dS=–P·dS三.介質中的高斯定理1.介質中的電場外場E0,極化電荷的場E

',合電場E=E0+E

'2.介質中的高斯定理

E·dS=Σqint/ε0=(q0+q')/ε0=(q0–P·dS)/ε0ε0E·dS+P=q03.電位移矢量(1)定義D=ε0E+P描述靜電場的輔助物理量

D·dS=Σq0int過閉合曲面的電位移通量等于曲面內自由電荷的代數和說明:①電位移矢量不僅取決于曲面內的自由電荷,還取決于曲面外的自由電荷,而且與整個空間的極化電荷有關;②過閉合曲面D的通量只與曲面內的自由電荷有關.(2)電位移線(D線)①起于正自由電荷,終于負自由電荷；②不閉合,不相交,連續.單位:C/m26.6(3)電位移線與電場線的區別以充電后的其間放各向同性均勻電介質的平行板電容器為例說明E

線D

線一般情況E線D線不平行,當介質為各向同性介質時E線D線平行.4.

D,E,P間的關系(1)普遍關系D=ε0E+P(2)各向同性介質中的關系①

D,E,P的關系實驗指出,在各向同性介質中P與E成正比:P=ε0χE②電極化率χ只與介質有關,D=ε0E+P=ε0E+ε0χE=ε0(1+χ)E是一個無量綱的純數.③相對電容率εrεr=1+χ與介質有關的無量綱的純數.=ε0εrE④電容率εε=ε0εr=εE與介質有關的量.⑤真空中的χ,εr,

εχ=0,

εr=1,ε=ε0.軸的半徑為R2的薄導體圓筒之間充以相對電容率為r的介質,設直導體圓柱和導體圓筒沿軸線的線電荷密度分別為+和－.求(1)介質中電場強度,電位移和極化強度;(2)電介質內外表面極化電荷面密度.例1半徑為R1的直導體圓柱和同R1rR2lrS第7次課靜電場中的電介質(續)

電容

靜電場的能量解:(1)由于導體柱對稱,得電荷柱對稱,作同軸高斯面,有

D·dS=Σq0int0+0+2πrlD=λlD=λ/(2πr)電介質中場強R1<r<R2E=D/(ε0εr)=λ/(2πε0εrr)極化強度為P=ε0χE=ε0(εr–1)E介質表面極化電荷面密度值=(εr–1)λ/(2πεrr)(2)介質表面處極化強度為D,E,P的方向均垂直軸線沿徑向向外.r=R1P1=λ(εr–1)/(2πεrR1)r=R2