第三章集中趨勢和離中趨勢3·1集中趨勢的測度3·2離中趨勢的測度3·3偏態與峰度的測定1

3·1集中趨勢的測度集中趨勢是指一組數據（或總體各單位標志值）向某一中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢也就是尋找資料一般水平代表值或中心值，即平均指標。所謂平均指標，是說明同質總體內各單位某一數量標志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平。趨勢的測度值（平均指標）主要有算術平均數、調和平均數、幾何平均數、眾數和中位數等。本節將分別介紹它們的計算方法、特點及應用場合。

22集中趨勢測度方法：

平均指標

算術平均數調和平均數幾何平均數位置平均數眾數中位數分位數3北京46507天津34938內蒙古21884山西21525河北19911

遼寧23202吉林20513黑龍江19386

上海49310江蘇27374浙江31086安徽22180福建22283江西18400山東22844河南20935湖北19818湖南21534廣東29443廣西21898海南19357

重慶23098四川21312貴州20668云南20481西藏46098

陜西21296甘肅20987青海26166寧夏26210新疆2143407年各地職工平均工資12345678912314

北

京

(2)56328

天

津

(4)41748

河

北

24756

山

西

(16)25828

內蒙古

(14)26114

遼

寧

(10)27729

吉

林

23486

黑龍江

23046

上

海

(1)56565

江

蘇

(7)31667

浙

江

(5)34146

安

徽

(13)26363

福

建

(17)25702

江

西

21000

山

東

(12)26404

河

南

24816

湖

北

22739

湖

南

24870

廣

東

(6)33110

廣

西

(18)25660

海

南

21864

重

慶

(11)26985

四

川

25038

貴

州

24602

云

南

24030

西

藏

(3)47280

陜

西

(15)25942

甘

肅

24017

青

海

(8)30983

寧

夏

(9)30719

新

疆

2468708年各地職工平均工資5全國平均數據

2007年全國城鎮單位在崗職工年平均工資為24932元，日平均工資為99．31元

2008年全國城鎮單位在崗職工平均工資為２９２２９元，日平均工資為１１１．９９元。

2009年，全國城鎮單位就業人員平均工資為32244元。2010年，全國城鎮單位就業人員平均工資為36539元。

年份19902000200920102011城鎮居民人均可支配收入(元)1510

6280

17175

1910921810農村居民人均純收入(元)

686

2253

5153

59196977

2011年城鎮居民收入中位數19118元，農村居民收入中位數6194元。608年中國城鎮職工平均工資為2.9萬元,同比增17.2%平均數背后存在三大差異：平均工資存在地區差異。２００８年城鎮單位在崗職工平均工資高于全國平均水平的有９個省區市，低于全國平均水平的有２２個省區市。分四大區域看，平均工資由高到低排列依次是東部、西部、東北和中部，分別為３４３１６元、２５６０２元、２５１０１元和２４３９０元。平均工資存在行業差異。２００８年平均工資最高的行業是證券業１７２１２３元，最低的行業是木材加工及木竹滕棕草制品業１５６６３元。受國際金融危機影響較大的紡織業和紡織服裝鞋帽制造業在崗職工平均工資分別為１６２２２元和１８５７２元。

不同類型單位平均工資存在差異。２００８年機關在崗職工平均工資為３３８６９元，事業單位平均工資為２９７５８元，企業平均工資為２８３５９元。機關、事業單位平均工資略高于全國平均水平，企業平均工資略低于全國平均水平的格局多年來一直沒有改變。7女性為購物一年走247公里

不少女性是商場的忠實擁躉：新貨上市時要去嘗鮮，商品打折時要去“掃貨”，有時為找到自己喜歡的東西，更是不惜“長途跋涉”。那么，這樣下來，愛逛街的女性一年會走多遠的路？

女性年均逛街160小時

英國德貝納姆百貨公司調查2000名顧客后發現，女性平均每周花費2.5小時逛商場，行走大約4.7公里。男性每周逛商場的平均時間約為50分鐘，行走大約2.4公里。

分解來看，女性平均每次逛街買衣服需要1小時59分，買食品需要1小時22分，到住所附近買其他雜物需要38分鐘。

按每年買24次服裝、60次食品和48次雜物來算，女性每年花在買衣服上的時間為47小時36分，花在買食品上的時間為82小時，花在買雜物上的時間為30小時24分。

8女性為購物一年走247公里

也就是說，女性平均每年有160小時的時間在逛街，相當于約20個8小時工作日。行走長度達到約247公里。

購物3小時熱量消耗相當一個漢堡

逛街除了可以滿足女性的消費欲望外，還可以“順便”鍛煉身體。

統計數字顯示，女性每次出去逛街時大約要走7305步，相當于國家醫療服務系統推薦的“日行萬步”的四分之三。如果再算上她們手提肩背的“戰利品”，那么效果不亞于去健身房鍛煉。

怪不得有超過半數的受調查者說，逛街一天比去健身房累得多。

研究人員進一步推算得出：購物3小時能幫助女性消耗495卡路里，相當于一個麥當勞巨無霸漢堡；逛街2小時也能用掉約283卡路里，等于一杯中號拿鐵咖啡。

從平均值來看，女性每周逛街可以消耗385卡路里，相當于一塊胡蘿卜蛋糕或兩大杯紅酒。

(新華社供本報特稿)9一、算術平均數

算術平均數是集中趨勢中最常用、最重要的測度值。它是將總體標志總量除以總體單位總量而得到的均值。（一）算術平均數的基本公式算術平均數＝總體標志總量/總體單位總量注意：式中分子、分母指標必須屬于同一總體，即各標志值與各單位之間是一一對應的。這也是算術平均數與強度相對指標的區別。（二）兩種計算形式：首先看兩個資料。10例一：設有一組大學生的月生活費支出為：150，200，240，300，350，500（單位：元）。(x=290)例二：有一班級的大學生月生活費支出如下表：

月生活費（元）x人數（人）f頻率（%）15035.3620058.93240712.503002442.853501628.5750011.79合計56100.00

1111

加權算術平均數計算表

月生活費（元）x人數（人）f頻率（%）xfx*頻率15035.364508.0420058.93100017.86240712.50168030.003002442.857200128.553501628.575600100.0050011.795008.95合計56100.0016430293.40資料欄計算欄解：該班級學生平均月生活費=（公式）=16430/56=293.39(元)

121、簡單算術平均數（適用于未分組資料）計算公式為：

如果所給的數據是已經分組的次數分布數列，則算術平均數的計算應采用加權算術平均數的形式。

132、加權算術平均數（適用于分組資料）（為什么由分組資料計算平均指標不能將各組的標志值簡單平均？）。

計算公式為：

式中：f——代表各組的次數或頻數（即各組的單位數）。

比較兩個公式，并解釋為什么次數f又稱之為權數？1415

平均數的大小不僅取決于各組標志值x的大小，同時還受各組次數f多少的影響。各組標志值次數的多少在平均數的計算中具有權衡輕重的作用，因而把各組的次數又稱為權數，用各組的次數去乘以各組的標志值，就是對各組的標志值進行加權。所以，用這種方法計算的算術平均數，稱為加權算術平均數。試想，如果各組次數完全相同，結果會怎樣？16實務中給定的權數資料，既可以是絕對數，也可以是相對數，即頻率或稱權數系數。當權數為相對數時，加權算術平均數的表達公式如何呢？

算術平均數既可依據單項變量數列計算也可依據組距數列計算；既可根據絕對數計算，也可根據相對數或平均數進行計算。17如果根據相對數或平均數進行計算，則應注意的問題是：（1）

只能用加權形式計算；（2）

權數的選擇問題。18

【例三】見下表所給資料。某市某局18個企業稅收計劃完成情況計劃完成（%）企業數（個）計劃任務數（萬元）95——1005100100——10581200105——1103100110以上260合計181460要求：計算18個企業稅收收入平均計劃完成程度。

19

計算表計劃完成（%）組中值x（%）計劃任務數f（萬元）實際完成數xf（萬元）95——10097.510097.5100——105102.512001230.0105——110107.5100107.5110以上112.56067.5

合計—14601502.5計算欄

解：平均計劃完成程度x=∑xf/∑f

=1502.5/1460=102.91%

20【例四】（用于計算調和平均數）

計劃完成（%）企業數（個）實際完成數（萬元）

95——100597.5100——10581230.0105——1103107.5110以上267.5合計181502.5要求同上：計算18個企業稅收收入平均計劃完成程度。

21計算表計劃完成（%）組中值x（%）實際完成數m

計劃任務數m/x（萬元）（萬元）95—10097.597.5100100—105102.51230.01200

105—110107.5107.5100110以上112.567.560合計—1502.51460

計算欄解：=1502.5/1460=102.91%

22(三)算術平均數的數學性質1、各個變量值與算術平均數的離差總和等于零。表達式:∑(x-x)=0或∑(x-x)f=02、各個變量值與算術平均數的離差平方總和為最小值。表達式:

∑(x-x)2=最小

或

最小

23二、調和平均數——又稱“倒數平均數”，它是根據各變量值的倒數來計算的平均數。具體地講，調和平均數是各變量值倒數的算術平均數的倒數。（一）調和平均數的計算方法1、

簡單調和平均數（適用于未分組資料）計算公式為：

xH==(1/x1+1/x2+……+1/xn)/n∑(1/x)

1n24二、調和平均數（一）調和平均數的計算方法2、加權調和平均數（適用于分組資料）計算公式:

25二、調和平均數以m加權的調和平均數與以f加權的算術平均數的關系.因為，各組標志總量m=所以，各組的單位數（次數）f=則：

26（二）加權算術平均數和加權調和平均數的采用

1、由平均數計算[例五]以某種蔬菜為例，資料見表。

某種蔬菜的有關資料

價格x（元/公斤）采購金額m（元）早市0.5010.00中市0.4513.50晚市0.408.00合計—31.50

27

【例六】價格x（元/公斤）采購量f（公斤）早市0.5020中市0.4530晚市0.4020合計——70分別依據表一和表二的資料，計算該種蔬菜的平均價格。

思路：平均每公斤價格＝購買金額/采購量=0.45（元／公斤）

282、由相對數計算

例題見前述計劃完成程度的計算。結論：在由相對數或平均數計算平均數時，在什么情況下采用加權算術平均數或加權調和平均數，首先要明確所求平均指標的分子、分母是什么，而后再根據所掌握的資料條件來選擇。如果所掌握的權數資料是計算公式的分母數值時，則直接采用加權算術平均數的形式；如果所掌握的權數資料是計算公式的分子數值時，則需采用加權調和平均數的形式。

29三、幾何平均數幾何平均數是計算平均比率或平均發展速度的最適用的一種方法。凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的現象，都采用幾何平均數反映現象總體的一般水平。根據所掌握資料的不同，也有簡單和加權兩種形式:（一）簡單幾何平均數是n個變量值連乘開n次方根的結果。

30三、幾何平均數（二）加權幾何平均數

31幾何平均數應用案例：【例七】某機械廠有四個連續作業的車間：毛坯車間、粗加工車間、精加工車間和裝配車間，某月份各車間的產品合格率依次為：95%，90%，92%，85%。要求計算四個車間的平均產品合格率。（90.43%）【例八】投資銀行某項投資是按復利計算，18年間年利率的分配情況是：利率（%）3581015期限（年）14562要求：計算18年間的平均年利率。（8.45%）32四、切尾均值切尾均值是一種新的集中趨勢測度方法，在大賽中得到廣發應用。切尾均值是去掉大小兩端的若干數值后計算中間數據的均值。

33四、切尾均值式中：n表示觀察值的個數；表示切尾系數，各觀察值是經排隊后由小到大形成的順序統計量值。2834五、位置平均數（一）眾數（二）中位數（三）分位數四分位數十分位數百分位數35

（一）眾數1、眾數的概念眾數是總體中出現次數最多的標志值，即最普遍、最常見的標志值。眾數只有在總體單位較多而又有明確的集中趨勢的資料中才有意義。2、眾數的確定

單項數列中，出現次數最多的那個組的標志值就是眾數。若在數列中有兩組的次數是相同的，且次數最多，則就是雙眾數或復眾數。

組距數列中，眾數的確定要分兩步：第一步，用直接觀察法確定眾數組即次數最多的那一組；第二步，計算眾數的近似值。比較精確的方法是用眾數組次數與相鄰兩組次數之差來推算眾數的近似值。

五、位置平均數36眾數一般有兩種計算公式：

Δ1

下限公式：M0=L+d

Δ1+Δ2上限公式：M0=U-Δ2/(Δ1+Δ2)d

組距數列眾數的確定一般與其相鄰兩組的頻數分布有關。若眾數組前一組的頻數比眾數組后一組的頻數多，則眾數小于眾數組的組中值；反之，眾數大于其組中值。若眾數組前一組的頻數等于其后一組的頻數，則眾數就是眾數組的組中值。

37五、位置平均數（二）中位數1、中位數的概念中位數是將總體單位某一變量的各個變量值按大小順序排列，處在數列中間位置的那個變量值就是中位數。

2、中位數的確定（1）未分組資料確定中位數在資料未分組的情況下，將各變量值按大小順序排列后，

首先，確定中位數的位置，即(n+1)/2；

然后，根據中點位置確定中位數。

38（二）中位數2、中位數的確定

單項數列

（2）分組資料確定中位數組距數列

由單項數列計算中位數：

首先，計算各組的累積次數；

然后，根據中點位置（總次數/2）在累積次數中確定中位數所在組，以確定中位數。

39（二）中位數2、中位數的確定（2）分組資料確定中位數由組距數列計算中位數（情況要復雜一些）：分三步驟：第一步，計算累積次數；第二步，計算中位數位置（總次數/2），以確定中位數組；

第三步，用比例推算法估計中位數的近似值。40組距數列中位數的計算公式下限公式：上限公式：41下限公式的比例推算法：累積次數Sm-1=180中點位置f/2=215

中位數所在組次數fm=180215-180=35中位數在該組分攤組距的比例為：35/18042五、位置平均數（三）分位數中位數是將統計分布從中間分成面積相等的兩部分（即兩邊數據個數相等）。與中位數性質相似的還有四分位數十分位數百分位數43（三）分位數1、四分位數（Qi）

又稱四分位點，它是通過3個點將排好序的全部數據等分為4部分，其中每部分包含25%的數據，處在分割點上的數值就是四分位數。很顯然，其中中間的四分位數就是中位數。所以，通常所說的的四分位數是指第一個和第三個四分位數，分別又稱作下四分位數和上四分位數。44（三）分位數四分位數的計算方法：與中位數計算相類似（1）未分組資料計算首先對數據進行排序，然后確定四分位數所在位置。設：下四分位數為上四分位數為中間四分位數為45（三）分位數四分位數的計算方法：（1）未分組資料計算

的位置=的位置=46（三）分位數四分位數的計算方法：（1）未分組資料計算

的位置=47（三）分位數四分位數的計算方法：（1）未分組資料計算當四分位數的位置不在某個數值上時，可根據四分位數的位置，按比例分攤四分位數位置兩側數值的差值。48（三）分位數四分位數的計算方法：（2）分組資料計算首先，確定和的位置，并確定和所在的組。

的位置=N/4的位置=3N/449（三）分位數四分位數的計算方法：（2）分組資料計算

然后，仿照中位數的計算公式確定和的具體數值。

50（三）分位數四分位數的計算方法：（2）分組資料計算51四分位數的計算方法：（2）分組資料計算式中：和分別為和所在組的下限值；

和分別為和所在組的次數；

52（三）分位數四分位數的計算方法：（2）分組資料計算案例p2753（三）分位數2、十分位數(Di)3、百分位數(Pi)十分位數和百分位數是分別將排好序的數據分布10等分和100等分的分割點上數值。計算公式仿照四分位數計算即可。54六、平均指標之間的相互關系

（一）算術平均數、幾何平均數和調和平均數的關系三者存在的數量關系表現在：根據同一資料所計算的三種平均數，幾何平均數大于調和平均數而小于算術平均數，即X≥XG≥XH

；當變量數列中所有的標志值都相等時，三種平均數相同，即X＝XG＝XH。（二）中位數、眾數與算術平均數的關系這三者之間的關系，決定于總體內部的次數分布狀況。

55（二）中位數、眾數與算術平均數的關系

在對稱分布的情況下，中位數,眾數和算術平均數合而為一，即：Me=M0=在非對稱分布的情況下，中位數,眾數和算術平均數之間存在一定的差別。如果分布右偏，則三者之間的關系是:M0＜Me＜；如果分布左偏，則三者之間的關系是:M0＞Me＞。可見，無論是右偏還是左偏，中位數總是介于算術平均數和眾數之間。適度偏態時，-Me的距離是-M0的1/3。

56對稱分布M0=Me

=

X；57MeM0X右偏分布58左偏分布XMeM059（三）眾數、中位數和算術平均數的特點和應用

場合眾數是一組數據分布的峰值，是一種位置代表值。其優點是易于理解，不受極端值的影響。當數據的分布具有明顯的集中趨勢時，尤其是對于偏態分布，眾數的代表性比均值要好。其缺點是具有不唯一性。中位數是一組數據中間數據的代表值，其特點是不受數據極端值的影響，因此，對于具有偏態分布的數據，中位數的代表性要比均值好。算術平均數是就全部數據計算的，它具有優良的數學性質，是實際應用最廣泛的集中趨勢測度值。其主要缺點是易受極端值的影響，對于偏態分布的數據，均值的代表性較差。

60

結論：從各種代表值之間的關系及其特點可看出：當數據呈對稱分布或接近對稱分布時，三個代表值相等或接近相等，這時，應選擇均值作為集中趨勢的代表值（為什么？）；當數據為偏態分布，特別當偏斜的程度較大時，則應選擇眾數或中為數等位置平均數，這時它們的代表性要比均值好。此外，均值只適用于定距或定比尺度的數據，而對于定類或定序尺度的數據無法計算均值，但卻可以計算眾數和中位數。

61補充介紹：箱線圖箱線圖是由一組數據的最大值、最小值、中位數和兩個四分位數5個特征值繪制而成的。對于單組數據，可繪制簡單箱線圖；對于多組數據，可繪制多批比較箱線圖。箱線圖可反映出一組數據分布特征，還可進行多組數據分布特征的比較。62箱線圖的繪制方法箱線圖是由一個箱子和兩條線段組成。（1）找出一組數據的5個特征值；（2）連接兩個四分位數畫出箱子；（3）將兩個極值點與箱子相連接。63第二節頻數分布離中程度的測度[案例1]有兩組男生身高分別為：甲組（cm）：168，172，172，173，175，190乙組（cm）：168，172，175，175，178，182兩組平均身高均為175cm，它們的代表性一樣嗎？64

[案例2]有男、女兩組身高：男組（cm）:168，172，172，173，175，190女組（cm）：163，164，165，165，167，171男組平均身高175cm；（7.02cm,4.01%）女組平均身高165.83cm。(2.61cm,1.57%)思考：兩組平均身高的代表性如何評價？第二節頻數分布離中程度的測度65

[案例3]從某校一年級大學生中隨機抽取100人，測得他們的身高和體重平均值分別是168厘米和52千克,相應的標準差為9厘米和5千克，問身高和體重哪一個差異大？(5.36%,9.62%)第二節頻數分布離中程度的測度66案例1計算表:

甲組乙組

身高xx-x(x-x)2身高xx-x(x-x)2168-749168-749172-39172-39172-3917500173-2417500175001783919015225182749合計296合計116

甲組：σ=[∑(x-x)2/n]1/2=7.02（厘米）乙組：σ=[116/6]1/2=4.4（厘米）67第二節頻數分布離中程度的測度

離中程度，是各個變量值遠離其中心值的程度，又稱離散程度，或變異指標。

為什么要測度離中程度？集中趨勢只是數據分布的一個特征，它所反映的是總體各單位變量值向其中心值聚集的程度。而各變量值之間的差異狀況如何，均值的代表性有多大，這就需要用離中程度對其進行考察。數據的離中程度是數據分布的另一個重要特征，它與均值的關系是：

變量值的差異大，離散程度就大，均值的代表性就小；變量值差異小，離散程度就小，均值的代表性也就大。

68

描述數據離散程度的測度值主要有極差、平均差、方差和標準差、離散系數等。

一、極差

極差亦稱全距，即兩極之差。根據全距的大小來說明變量值變動范圍的大小。極差R＝最大值-最小值對于組距分組數據，極差也可以近似表示為：R=最高組的上限值-最低組的下限值優缺點：極差是描述數據離散程度的最簡便測度值，其計算簡單，易于理解，但它容易受極端值的影響。第二節頻數分布離中程度的測度69補充：內距內距，是兩個四分位數之差，即：

內距=上四分位數-下四分位數與極差比較，內距基本不受極端值的影響，且內距反映的是中間50%數值大小的差異，故能給出比極差更多的數據差異信息。70二、平均差

平均差是表明總體各單位變量值與其均值之間絕對離差的算術平均數，又稱平均離差，一般用A·D表示。

為什么采取離差的絕對值，即

71平均差兩種計算形式（1）簡單平均差(適用于未分組資料)其公式為：

（2）加權平均差（分組資料）其公式為：

72二、平均差優缺點：平均差是根據全部變量值計算的，受極端值的影響比較小，所以，它能夠綜合反映總體中各單位變量值的離散程度。但由于它采用絕對值計算不符合代數方法的演算，所以在統計研究中應用較少。

73

三、方差和標準差（一）

方差和標準差的含義方差，是總體各單位變量值與其算術平均數的離差平方的算術平均數，用σ2表示，方差的平方根就是標準差σ。與方差不同的是，標準差是具有量綱的，它與變量值的計量單位相同，其實際意義要比方差清楚。因此，在對社會經濟現象進行分析時，更多使用標準差。

思考：與平均差比較，標準差的優點是什么？74

平均差與標準差的比較：標準差與平均差雖都是變量值與均值的平均離差，但不同的是平均差所平均的是離差絕對值，而標準差平均的是離差平方。標準差徹底解決了正負離差不能相加的問題。它在抽樣調查、相關分析中應用較多，所以標準差是應用較為廣泛的一種離中趨勢的測度值。

75標準差的計算有兩種形式——

簡單平均式和加權平均式（1）在未分組資料情況下，采用簡單平均式。公式為：

（2）在分組資料情況下，采用加權平均式。公式為：

76(二)方差的數學性質：

1、變量的方差等于變量平方的平均數減去變量平均數的平方。即：2、變量對算術平均數的方差，小于對任意常數的方差。（三）標準差的應用

標準差可用于計算標準化值。

標準化值是某一數據與平均數的距離以標準差為單位的測量值。其計算公式為：

77一組數據中的每一個原始數據都可以計算出對應的標準化值，這一組標準化值組成一個標準化值的平均數為零，標準差為1。

當Zi=0時,即xi=x，這時原始數據正好等于這一組數據的平均數；

當Zi>0時，原始數據高于其平均數；當Zi<0時，原始數據低于其平均數。標準化數據越大，說明它距離平均數越遠。標準化值的作用：標準化值不僅能表明各原始數據在一組數據分布中的相對位置，而且還能在不同分布的各原始數據間進行比較，同時還能接受代數方法的處理。因此，標準化值在統計分析中起這十分重要的作用。

78標準化值的應用：比如，已知某班統計學平均成績為80分，標準差為10分；會計學平均成績為70分，標準差為8分。甲學生統計學成績為82分，會計學成績為78分。試比較甲學生兩門課程考試成績的優劣。若僅從原始分數看，甲學生統計學的成績高于會計學成績。但由于甲學生這兩門課的成績分屬于不同的分布，所以無法直接比較。要正確比較，首先要把原始數據轉化為標準分數，使這兩個分數放在標準差為1、平均數為0的統一尺度下進行比較。統計學的標準分數為：Z=（82-80）/10=0.2會計學的標準分數為：Z=（78-70）/8=1從標準分數可看出，甲學生統計學成績超過全班平均成績0.2個標準差，即接近于平均成績；會計學成績超過平均成績1個標準差。顯然，甲學生的會計學成績相對地更優些。79四、變異系數平均差和標準差其數值大小，不僅決定于各標志值的差異程度，還決定于數列平均水平的高低，同時它們具有與標志值相同的名數。因而，對于具有不同平均水平和不同計量單位的數列，就不能直接利用標準差等來比較其標志變動程度的大小，而需要用變異系數，以消除不同數列水平的影響。80四、變異系數變異系數是將標準差或平均差與其平均數對比所得的比值，又稱離散系數。公式為：

或（被常用）

變異系數是一個無名數的數值，可用于比較不同數列的變異程度。

81五、成數（一）成數的概念

所謂成數是總體中具有某種屬性或特征的單位數占全部單位數的比重，它反映了總體中“是”或“非”屬性的構成，并且代表著該種屬性或特征反復出現的程度，即頻率。

成數的計算。在一個是非標志總體中，如果全部總體單位數用Ｎ來表示，具有某種屬性或特征的單位數用Ｎ1表示，它在全部總體單位數中所占的比重（即成數）用P表示。則：P＝Ｎ1/Ｎ

82

將不具有某種屬性或特征的單位數用Ｎ0表示，它在全部總體單位數中所占的比重（成數）用Q表示，則：Q＝Ｎ0/Ｎ

兩個成數之和等于１，即：Ｎ1/Ｎ＋Ｎ0/Ｎ＝１亦即，P＋Q＝１因而，Q＝１－P83（二）是非標志的平均數和標準差

是非標志是品質標志，因而無法直接計算其平均質量。要計算是非標志的平均數，就必須將是非標志在性質上的差別過渡到數量上的變異，即將是非標志數量化。如果以“１”表示具有某種屬性或特征的單位的標志值，以“0”表示不具有某種屬性或特征的單位的標志值，則是非標志就轉化為（0，1）的數量標志值。

列成統計表，則有：

是非標志值（變量值）x比重（成數）f1

P0

Q合計

184

是非標志平均數和標準差的計算表

是非標志值比重變量值×離差離差離差平方（變量值）（成數）比重平方×權數xfxfx-x(x-x)2(x-x)2f