[例]一塊很長的木板，下面裝有活動輪子，靜止地置于光滑的水平面上，如圖。質量分別為和的兩個人A和B站在板的兩頭，他們由靜止開始相向而行，若，A和B對地的速度大小相同，則木板將[]（A）向左運動（B）靜止不動（C）向右運動（D）不能確定ABX解：系統（兩個人A和B以及車）水平方向不受外力作用，水平方向動量守恒A[例]體重、身高相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦輕滑輪的繩子各一端．他們從同一高度由初速為零向上爬，經過一定時間，甲相對繩子的速率是乙相對繩子速率的兩倍，則到達頂點的情況是

(A)甲先到達．(B)乙先到達．(C)同時到達．(D)誰先到達不能確定．［］

CO甲乙系統所受合外力矩對O點為：系統角動量守恒（初始時刻）甲、乙對地速率相同，所以同時到達。第四章

功和能

本章主要內容§4-1功§4-5

由勢能求保守力§4-2動能定理§4-6機械能守恒定律§4-3

勢能§4-7

守恒定律的意義§4-4

引力勢能§4-8

碰撞§4-1功

時間積累：沖量空間積累：功研究力在空間的積累效應功、動能、勢能、動能定理、機械能守恒定律。

功的定義

功的計算

直線運動中恒力的功功——力在位移方向上的分量與位移大小的乘積。注意：功是一個標量，沒有方向，但有正負。當時，；當時，。

當時，。

變力的功設質點受力為，它的空間位置發生一無限小的位移——位移元

，則該力做功表示為元功質點沿曲線從到，整個路徑上的功為元功之和：線積分在直角坐標系中表示為：在自然坐標系中表示為：

變力呈現隨位置變化的函數關系0

合力的功結論：合力的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數和。

如果質點同時受到多個力的作用，計算它們等效合力的功：思考：寫這個等號的條件？所以在計算功的過程中特別要分清研究對象對質點有：即，各力作功之和等于合力作的功。但對質點系：寫不出像質點那樣的簡單式子，即，各力作功之和不一定等于合力的功。

功率功率的定義：單位時間內所做的功。即例：一個質點同時在幾個力作用下的位移為，其中一個力為恒力，則此力在該位移過程中所做的功為（）（A）（B）（C）（D）C解：該問題是計算恒力的功。L緩慢拉質量為m的小球，解xy例求已知用力保持方向不變=0

時，作的功。[例]一個力作用在質量為1.0Kg的質點上，使之沿x軸運動。已知在此力作用下質點的運動方程為。在0到4s的時間間隔內：（1）力的沖量大小I=（2）力對質點所作的功W=解：§4-2動能定理

質點的動能定理力對空間的積累（即做功）會給質點帶來怎樣的結果？考慮合力的功：即過程量狀態量在B點的取值狀態量在A點的取值引入動能

Ek：動能定理：合外力對質點所做的功等于質點動能的

增量。功是能量傳遞或轉化的量度。質點運動的動能定理例.將一重物勻速推上一斜坡,因其動能不變,所以(A)推力不做功．(B)推力功和摩擦力功等值反號．(C)推力功和重力功等值反號．(D)此重物所受的外力的功之和為零．答案：D例.質點在外力作用下運動,下述哪種說法正確？(A)質點的動量改變時,其動能一定改變.(B)質點的動能不變時,其動量也一定不變.(C)外力的沖量是零,則外力的功一定是零.(D)外力的功是零,則外力的沖量一定是零.答案：C[例]把一質量為m＝0.4?kg的物體，以初速度v

0＝20?m/s豎直向上拋出，測得上升的最大高度H＝16?m，求空氣對它的阻力f（設為恒力）等于多大？

解：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量v

0mgf正[例]質量為M的木快靜止在光滑的水平面上，質量為m、速度為的子彈沿水平方向打入木塊并陷在其中，試計算相對于地面木塊對子彈所做的功W1及子彈對木塊所作的功W2。解：木塊、子彈系統水平方向不受外力作用，動量守恒。設子彈打入后二者的共同運動速度為V木塊對子彈所做的功：（對子彈應用動能定理）子彈對木塊所作的功：（對木塊應用動能定理）例：光滑水平臺面上有一質量為m的物體栓在繩的一端，輕繩的另一端穿過臺面上的小孔被一只手拉緊，并使物體以初速度作半徑為的圓周運動。求半徑減小為時，拉力對物體做的功。解：設半徑為r時，速度為v

對圓心角動量守恒，有：根據質點的動能定理，拉力所做的功為：m1、m2組成一個系統一對力:分別作用在兩個物體上的大小相等、方向相反的力，稱之為“一對力”。一對力通常是作用力與反作用力。此“一對力”做的功之和：om1m2在dt時間內：

一對力的功

表示m2相對于m1的相對位移。意義：兩質點間的一對力作功之和等于一個質點受的力沿該質點相對于另一質點移動的路徑所作的功。

1）在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，一對力的功必為零。討論：3）A對與參考系選取無關。2）一對滑動摩擦力的功恒小于零。質點系：m1，m2

初速度：

末速度：內力：外力：兩式相加得：

質點系的動能定理注意：內力能改變系統的總動能，但不能改變系統的總動量。即：外力的功之和+內力的功之和=質點系的總動能的增量記作例:一質量為m的質點，在xoy平面上運動。其位置矢量為：其中a,b,為正值常數，a>b。(1)求質點在A(a,0)點和B(0,b)點時的動能。(2)求質點所受的作用力以及當質點從A運動到B的過程中分力Fx、Fy所做的功。解：A(a,0)點：cost=1sint=0B(0,b)點：cost=0sint=1§4-3勢能

§4-4引力勢能

幾種常見力的功xyzO一.重力的功重力mg在曲線路徑M1M2上的功為重力所作的功等于重力的大小乘以質點起始位置與末了位置的高度差。(1)重力的功只與始、末位置有關，而與質點所行經的路徑無關。(2)質點上升時，重力作負功；質點下降時，重力作正功。mG結論②①二.萬有引力的功結論：萬有引力的功與質點運動的相對路徑無關，只決定于質點初、終態的相對位置。Mmab三.彈性力的功

(1)彈性力的功只與始、末位置有關，而與質點所行經的路徑無關。(2)彈簧的變形減小時，彈性力作正功；彈簧的變形增大時，彈性力作負功。彈簧彈性力由x1到x2

路程上彈性力的功為彈性力的功等于彈簧勁度系數乘以質點始末位置彈簧形變量平方之差的一半。結論xO結論：摩擦力的功與質點運動的相對路徑有關，不只決定于質點初、終態的相對位置。考慮一質點,從A運動到B，在這個過程中，所受的摩擦力大小恒為在位移上的元功為摩擦力做的總功為對直線對曲線四.摩擦力的功[例]已知地球質量為M，半徑為R．一質量為m的火箭從地面上升到距地面高度為2R處．在此過程中，地球引力對火箭作的功為

___________________．

O解：選擇地心為原點，坐標軸如圖所示[例]如圖所示，質量為m的隕石在距地面高h處時速度為v0．忽略空氣阻力，求隕石落地的速度.令地球質量為M,?半徑為R,?萬有引力常量為G．

v0h地球O解：

隕石落地過程中，萬有引力的功

根據動能定理

例：光滑的水平桌面上有一環帶，環帶與小物體的摩擦系數m

，在外力作用下小物體（質量m）以速率v做勻速圓周運動，求轉一周摩擦力做的功。r解：小物體對環帶壓力摩擦力的大小為轉一周摩擦力做的功為

一輕彈簧的勁度系數為k=100N/m，用手推一質量m=0.1

kg

的物體把彈簧壓縮到離平衡位置為x1=0.02m處,如圖所示。放手后，物體沿水平面移動到x2=0.1m而停止。

放手后，物體運動到x1

處和彈簧分離。在整個過程中，解例物體與水平面間的滑動摩擦系數。求摩擦力作功彈簧彈性力作功根據動能定理有例：一根柔繩長為，質量為，繩的一部分在桌面上，其余長度為的部分從桌面上懸下，如圖所示。設繩與桌面之間的摩擦系數為，求：柔繩全部滑離桌面時，重力和摩擦力所做的功。解：這是一個變力做功的問題。應先求出物體發生微小位移時力做的元功，然后再積分求力做的總功。設下滑過程中，懸在桌面下的長度為y時，柔繩又向下滑落dy距離，重力的元功為：繩全部離開桌面時，重力做的總功為：同理，摩擦力的元功為繩全部離開桌面時，摩擦力做的總功為：保守力數學表達：一、保守力與非保守力--做功與路徑無關，只與始末(相對)位置有關例如：重力、彈簧的彈力、萬有引力非保守力——做功與路徑有關的力例如：摩擦力二、勢能：關系:保守力做的功等于系統勢能的減少量。在具有保守力的系統內，存在著由系統內質點間的相對位置決定的能量----稱為勢能。記若規定零勢能點：選狀態b為零勢能點，則有：記（1）重力勢能建立坐標：以地面為零勢能點，有:注意：1).零勢能點可以任意選取。

2).只有系統的內力為保守力，才有相應的勢能。

3).勢能屬于相互作用的系統。

4).勢能與參考系無關(相對位移)。abPyx0yayb（2）彈簧的彈性勢能baox平衡位置以彈簧原長為零勢能點，有：（3）

萬有引力勢能特點：引力做功與路徑無關。Mmab----萬有引力是保守力以無窮遠為零勢能點，有：3-10已知地球的半徑為R，質量為M．現有一質量為m的物體，在離地面高度為2R處。以地球和物體為系統，若取地面為勢能零點，則系統的引力勢能為__________；若取無窮遠處為勢能零點，則系統的引力勢能為____________。（萬有引力常量為G）§4-5由勢能求保守力

由勢能求保守力其中，于是，有：保守力沿某一給定的方向的分量等于此保守力相應的勢能函數沿方向的空間變化率的負值。1.直角坐標系中由勢能函數求保守力的表達式2.由勢能曲線求保守力勢能曲線上某點斜率的負值，就是該點對應的位置處質點所受的保守力。

，斜率為正，彈力為負，這表示彈力與正方向相反。

，斜率為負，彈力為正，這表示彈力與正方向相同。

，斜率為零，彈力為零，這表示彈簧處于原長。§4-6機械能守恒定律

定義機械能:

E=Ek+EP即：在運動過程中系統外力做的功與系統內非保守力做的功的總和等于質點系的機械能的增量。A外＋A非保內＝E-Eo功能原理一、質點系的功能原理質點系的動能定理：A外+A內=Ek-Eko

A保內＝－

（EP－EPo)A內=A保內＋A非保內因為：A外+A保內＋A非保內=Ek-EkoA外＋A非保內＝(Ek+EP)-(Eko+EPo)所以：二、機械能守恒定律三、能量守恒定律封閉系統（孤立系統）：不受外界作用的系統。一個封閉系統內經歷任何變化過程，該系統的總能量保持不變。能量守恒定律：則:E＝Eo＝常量如果:A外＋A非保內＝0

例：如圖所示的系統中（滑輪質量不計，軸光滑）外力F通過一根不可伸長的繩與勁度系數為200N·m-1輕彈簧，緩慢地拉地面上的物體。物體的質量為2kg，初始時彈簧為自然長度，在把繩子拉下20cm的過程中，所做的功為（重力加速度取10m·s-2）[](A)1J(B)2J(C)3J(D)4JC圖3-10習題3-4圖M

20cm

Fv

解：當彈簧的彈性力等于重力時，物體將開始離開地面。此時，彈簧的伸長量為即：于是，當把繩子拉下20cm時，物體上升的高度為：根據功能原理，可知，外力的功為：例：如圖，勁度系數為k的輕彈簧在質量為m的木塊和外力（未畫出）作用下，處于被壓縮的狀態，其壓縮量為x，當撤去外力后彈簧被釋放，木塊沿光滑斜面彈出，最后落到地面上（）。（A）在此過程中，木塊的動能和彈性勢能之和守恒（B）木塊到達最高點時，高度h滿足（C）木塊落地時的速度v滿足（D）木塊落地點的水平距離隨θ的不同而異，θ愈大，落地點愈遠。C圖3-9習題3-3圖例：行星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽質量為，行星質量為，行星在近日點和遠日點時離太陽中心的距離分別為和，求行星在軌道上運動是的總能量。解：將行星與太陽視為一個系統，由于只有萬有引力做功，系統的機械能守恒。行星在軌道上運動時，受太陽的萬有引力作用，引力方向始終指向太陽，以太陽為參考點，行星所受力矩為零，故行星的角動量守恒，即：解得行星在軌道運動的總能量為：用輕質彈簧連接兩個木板m1

、m2

，彈簧倔強系數為k。解整個過程只有保守力作功，機械能守恒例給m2

上加多大的壓力才能使該力突然撤去后，m2跳起到最高點，m1離開桌面？求§4-8碰撞（自學）

碰撞的特點物體由接近、產生強烈的相互作用，到分離的過程。碰撞中總動量和總機械能特點：持續時間短、作用力大

物體運動狀態變化明顯（有動量、能量傳遞）動量不變，動量守恒。減少（形變部分恢復）—非彈性碰撞不變（形變完全恢復）—彈性碰撞減少最嚴重（形變無恢復）—完全非彈性碰撞機械能碰撞問題的求解設有兩個質點發生碰撞。碰撞前動量為，碰撞后動量為，

例：完全非彈性碰撞（三維）：彈性碰撞完全非彈性碰撞（形變無